y = 0
Vụựi múi x nguyeđn dửụng, chửựng minh raỉng caực ủa thửực sau ủađy chia heõt cho ủa thửực x2 + x + 1 1
Vụựi múi x nguyeđn dửụng, chửựng minh raỉng caực ủa thửực sau ủađy chia heõt cho ủa thửực x2 + x + 1 1
⇒ vụựi k ∈ N : x3k≡ 1k≡ 1 ; x3k + 1 ≡ x ; x3k + 2≡ x2 (mod x2 + x + 1 )
⇒ vụựi 3 soõ a, b, c chia cho 3 cho caực soõ dử khaực nhau ủođi moụt thỡ xa + xb + xc≡ 0 (mod x2
+ x + 1 )
{ Tửụng tửù : Chửựng minh raỉng x7 + x11 + x1995 chia heõt cho ủa thửực x2 - x + 1 }Cho p laứ moụt soõ nguyeđn toõ , haừy giại phửụng trỡnh y=x +px− Cho p laứ moụt soõ nguyeđn toõ , haừy giại phửụng trỡnh y=x +px−
x-
2 1
1 trong taụp Z
Ta coự y = x + 1 + p + x-1p ⇒x - 1 = ± 1 ; ± p
Toăn tỏi hay khođng nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : 2x - 3y = - 5xy + 39
Ta coự 2x - 3y = - 5xy + 39 ⇔ 2x = y.(3 - 5x) + 39 ⇒ y = 23 5x−−39x
ẹeơ y nguyeđn thỡ ủieău kieụn caăn ( chửa laứ ủk ủụ ) laứ 2x - 39≥3 - 5x ⇒ (2x - 39)2≥
(3 - 5x)2
⇔ (2x - 39)2 - (3 - 5x)2 ≥ 0 ⇔ ( -3x - 36)(7x - 42) ≥ 0 ⇔ -12 ≤ x ≤ 6Tỡm ngieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh 5x - 3y = 2xy - 11 Tỡm ngieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh 5x - 3y = 2xy - 11
Ta coự y = 52xx++113 ⇒ ủeơ y∈ Z , ta caăn coự 5x + 11 ≥2x + 3⇔ (5x + 11)2 ≥ (2x + 3)2
⇔ x≤ − 3 x≥ − 8; 2. Nhửng y = 2 5 2 3 + + + x
x ⇒ y nguyeđn khi x = -5 ⇒ (x , y) = (-5 , 2) laứ moụt nghieụm nghieụm
Vụựi x ≠ -5, ta thaõy ủkc ủeơ y nguyeđn laứ x + 5 ≥2x+ 3 ⇔ − ≤ ≤3
8 x 2⇔ x = -2 ; -1 ; 0; 1 ; 2 . ; 1 ; 2 .
Chửựng minh raỉng phửụng trỡnh : 4x2 + 231y2 = 1613 vođ nghieụm trong taụp soõ nguyeđn
ẹaịt X = x2≥ 0 ; Y = y2≥ 0 ⇒ 4X + 231Y = 1613 ⇒ X = 1613 231Y 58Y 1 Y4 4
− = − + +
4 403
⇒ 1 + Y = 4t ( t∈Z ) ⇒ Y = 4t - 1 ; X = 403 - 58(4t - 1) + t = 461 - 231t
Ta thaõy Y ≥ 0 khi t ≥ 14 ; X ≥ 0 khi t ≤ 461231 < 2 ⇒ ủeơ X , Y cuứng khođng ađm thỡ t = 1.Nhửng t = 1 thỡ Y = 3 = y2 ⇒ y ∉Z ⇒ ủpcm ! Nhửng t = 1 thỡ Y = 3 = y2 ⇒ y ∉Z ⇒ ủpcm !
Tỡm nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : x2 - 81y2 = 1
Ta coự y = 0 ⇒ x = ± 1. Ta tỡm caực nghieụm nguyeđn dửụng ủeơ suy ra caực nghieụm coứm lỏi .Phửụng trỡnh ủaừ cho coự theơ vieõt lỏi thaứnh 1 = (x + 9y)(x - 9y) Phửụng trỡnh ủaừ cho coự theơ vieõt lỏi thaứnh 1 = (x + 9y)(x - 9y)