phửụng )
{ ẹađy laứ moụt dỏng phửụng trỡnh Diophante baục 2, xuaõt phaựt tửứ moụt baứi toaựn do Archimeứdeủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa ủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Naớm 1880 ngửụứi ta ủaừ tỡm ra nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt cụa (1) vụựi x laứ soõ coự 45 chửừ soõ , y coự 38 chửừ soõ }
{ ẹađy laứ moụt dỏng phửụng trỡnh Diophante baục 2, xuaõt phaựt tửứ moụt baứi toaựn do Archimeứdeủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa ủaịt ra, baứi toaựn coự 8 aơn soõ thoỷa maừn 7 phửụng trỡnh, ủửa ủeõn vieục tỡm nghieụm nguyeđn cụa phửụng trỡnh : x2 - 4729494y2 = 1 (1). Naớm 1880 ngửụứi ta ủaừ tỡm ra nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt cụa (1) vụựi x laứ soõ coự 45 chửừ soõ , y coự 38 chửừ soõ }
Phửụng trỡnh Pell luođn coự vođ soõ nghieụm khođng taăm thửụứng.
Giạ sửỷ xo , yo laứ caực soõ nguyeđn dửụng nghieụm ủuựng phửụng trỡnh Pell, theõ thỡcaực caịp soõ (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuừng laứ nghieụm. Do ủoự ủeơ tỡm nghieụm khođng taăm caực caịp soõ (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) cuừng laứ nghieụm. Do ủoự ủeơ tỡm nghieụm khođng taăm thửụứng cụa phửụng trỡnh Pell, ta chư caăn tỡm caực nghieụm nguyeđn dửụng cụa phửụng trỡnh ủoự. Taõt cạ caực nghieụm nguyeđn dửụng (xk ; yk ) cụa phửụng trỡnh ủửụùc xaực ủũnh tửứ ủaỳng thửực : vụựiự k = 1, 2, 3,...trong ủoự (x1 , y1) laứ nghieụm nguyeđn dửụng nhoỷ nhaõt .
Vụựi P nhoỷ , vieục tỡm (x1 , y1) khođng khoự khaớn laĩm - chuựng ta chư vieục thửỷ laănlửụùt y = 1, 2, 3, 4, 5... ủeơ tỡm x2 = Py2 + 1 laứ moụt soõ chớnh phửụng . lửụùt y = 1, 2, 3, 4, 5... ủeơ tỡm x2 = Py2 + 1 laứ moụt soõ chớnh phửụng .
Tỏi sao P laứ soõ nguyeđn dửụng khođng chớnh phửụng ? . Ta haừy xeựt phửụng trỡnh toơng quaựthụn, ủoự laứ phửụng trỡnh : x2 - Py2 = 1 (*) trong ủoự P laứ soõ nguyeđn dửụng cho trửụực . hụn, ủoự laứ phửụng trỡnh : x2 - Py2 = 1 (*) trong ủoự P laứ soõ nguyeđn dửụng cho trửụực .
Vỡ x, y coự maịt ụỷ veõ traựi cụa (*) dửụựi dỏng bỡnh phửụng neđn ta coự theơ hỏn cheõ ụỷ vieục tỡmcaực nghieụm nguyeđn khođng ađm . caực nghieụm nguyeđn khođng ađm .
Hieơn nhieđn raỉng x = 1 ; y = 0 laứ moụt nghieụm - gúi laứ nghieụm taăm thửụứng cụa (*). Ta coứnphại tỡm caực nghieụm khođng taăm thửụứng (x, y > 0) phại tỡm caực nghieụm khođng taăm thửụứng (x, y > 0)
Neõu trong phửụng trỡnh P laứ moụt soõ chớnh phửụng P = k2 (k∈Z+) thỡ (*) chư coự nghieụmtaăm thửụứng, thaụt vaụy khi ủoự (*) coự dỏng x2 - (ky)2 = 1 vaứ chuự yự raỉng hieụu cụa hai soõ chớnh taăm thửụứng, thaụt vaụy khi ủoự (*) coự dỏng x2 - (ky)2 = 1 vaứ chuự yự raỉng hieụu cụa hai soõ chớnh phửụng baỉng 1 khi hai soõ chớnh phửụng aõy laứ 1 hoaịc 0 ⇒ x2 = 1 ; (ky)2 = 0 ⇒ x = 1 ; y = 0 .
Nhử vaụy : ẹieău kieụn caăn ủeơ phửụng trỡnh (*) coự nghieụm khođng taăm thửụứng laứ P khođng
phại laứ moụt soõ chớnh phửụng .
ẹeơ tỡm sửù thuự vũ khi nghieđn cửựu phửụng trỡnh nghieụm nguyeđn , mụứi caực Bỏn nghieđn cửựu kyừdaừy caực minh húa sau: daừy caực minh húa sau: