4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN
4.3 Chuyển động của hạt trong trường hấp dẫn với tiếp cận Yang-Mills
Yang-Mills
4.3.1 Thế hiệu dụng trong chuyển động của hạt [V]
Thế các cường độ trường và các thế gauge (3.83), (3.85)-(3.87) vào phương trình (3.79)-(a) ta được phương trình sau
[ √ ] (4.56) trong đó [ ] [ ]
với , vector là phần thực và phần ảo của isospin phức ; là những thành phần lực mà phụ thuộc tường minh vào vị trí và vận tốc tương ứng.
Các phương trình (3.79)-(a) và (3.79)-(b) được viết theo các thành phần và như sau ̇ ( ) [ ] ̇ ( ) [ ] (4.57)
Biểu thức của năng lượng và moment xung lượng là tích phân chuyển động, được suy ra từ các phương trình chuyển động (4.56), (4.57)
( ) (4.59) trong đó √ (4.60)
là momet quỹ đạo của hạt. Từ những biểu thức này ta nhận thấy rằng và cũng là những tích phân chuyển động.
Những phương trình (4.56) và (4.57) cho thấy hạt chuyển động phẳng. Chúng nhận các điều kiện sau: xung lượng ban đầu vuông góc với mặt phẳng spin xác định bởi vị trí đầu và vận tốc đầu , vector cũng trong mặt phẳng này. Vector liên quan đến sự bảo toàn moment xung lượng toàn phần trong phương trình (4.59). Từ (4.59) ta có . Sử dụng hệ tọa độ mà sự bảo toàn moment xung lượng dọc theo hướng trục ta thấy tại điểm ban đầu cả và đều định hướng dọc theo trục này và chuyển động trong mặt phẳng . Phương trình (4.57)-(a) chỉ ra rằng ̇ trực giao với mặt phẳng của chuyển động, có nghĩa là ̇ và hướng của không thay đổi. Vì là hằng số của chuyển động, đối với trường hợp này
được bảo toàn và vuông góc với mặt phẳng chuyển động. Cũng bởi và là những hằng số của chuyển động, nên vector isospin thứ hai là cũng bảo toàn trong mặt phẳng chuyển động. Với hai vector Isospin đó ta thấy rằng vector lực (số hạng ở vế phải của (4.56)) không có thành phần theo trục , tức là chuyển động chính chỉ nằm trong mặt phẳng .
Ta xét chuyển động của hạt trong giới hạn phi tương đối tính trong một vùng ở xa điểm kỳ dị , dẫn đến các phương trình (4.56), (4.57) trở thành dạng sau ̇ (4.61)
trong đó ta đặt , vector tuân theo công thức , vector nằm trong mặt phẳng và vuông góc với . Trong tọa độ cực , phương trình (4.61) trở thành hệ sau
̈ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇ ̇ (4.62)
Khử ̇ trong (4.62) ta rút gọn thành một phương trình cho một chiều ̈ (4.63) với [( ) ] [ ] (4.64)
Trong phương trình này việc chọn dấu được lấy từ các phương trình (3.85), (3.86). Nếu ta lấy dấu thì đối với khoảng cách bất kỳ ngoài vùng kỳ dị , ta có khi đó tất cả các số hạng trong (4.64) đều tương ứng với lực đẩy và như thế sẽ không có khả năng về giới hạn của quỹ đạo. Còn trường hợp lấy dấu trừ cho phép cả khả năng cả chuyển động giới hạn và vô hạn, nó phụ thuộc vào điều kiện ban đầu đối với chuyển động của hạt. Do đó, ta sẽ loại bỏ trường hợp ứng với dấu trong phương trình (4.64). Phương trình này xác định một thế hiệu dụng như là một hàm của và phụ thuộc vào các tham số: (1) là tham số nghiệm của trường gauge; (2) là những moment quỹ đạo của bậc tự do "nội tại" của hạt; (3) là tổng moment quỹ đạo toàn phần bảo toàn của hạt, như là điều kiện ban đầu của chuyển động.
Khảo sát thế hiệu dụng (4.64) cho ta biết thông tin định tính về chuyển động của hạt. Xét đạo hàm của theo và coi đạo hàm đó như một biểu thức bậc hai của ,
[ ][ ]
√
(4.65)
trong đó, ta đã đặt , . Ta thấy rằng đối với thì cả trong (4.65) là những hàm thực và (tương ứng với dấu trước căn thức) có giá trị âm. Do đó, chỉ triệt tiêu nếu thừa số [ ] trong (4.65) triệt tiêu. Vì tăng một cách đơn điệu và sẽ tiệm cận đến (√ ) khi , thế nên phương trình sẽ có nghiệm đơn trị nếu √ và nằm trong khoảng √ . Tình huống này được minh họa trong hình 4.1, ở đó chúng tôi vẽ cho trường hợp và lấy một thí dụ cho thỏa mãn √ . Đường cắt đường cong tại điểm , khoảng cách mà tại đó thế hiệu dụng đạt cực tiểu.
Hình 4.1. Đường biểu diễn tổng moment quỹ đạo toàn phần theo
Với cùng các giá trị của các thông số này chúng tôi vẽ đường biểu diễn thế hiệu dụng theo trong hình 4.2. Từ đó chúng tôi đã nhận ra sự khác nhau một cách định lượng những kiểu quỹ đạo chuyển động của hạt.
Hình 4.2. Đường biểu diễn thế hiệu dụng Schwarzschild-like theo
Nếu năng lượng tổng cộng của hạt lớn hơn ( trên hình 4.2) chuyển động của hạt sẽ tiến ra vô cực, trái lại nếu năng lượng nằm trong khoảng ( trên hình 4.2) chuyển động sẽ bị giam giữ. Hình vẽ 4.2 giống như thế hiệu dụng trong trường lực hấp dẫn.
Để có sự so sánh giữa các thế hiệu dụng (4.64) với các thế tương ứng trong lý thuyết hấp dẫn của Newton và Einstein ta sử dụng hệ đơn vị và các ký hiệu theo như trong sách tài liệu [77]. Theo đó , khối lượng, năng lượng và moment quỹ đạo chuyển thành độ dài. Dưới đây chúng tôi minh họa việc so sánh thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian Schwarzschild của thuyết tương đối rộng (GR):
[( ) ( )]
(4.66) trong giới hạn Newton
(4.67)
thông số được chọn là . Trong hình 4.3 chúng tôi vẽ đường cong của thế Yang-Mills tựa Schwarzschild theo phương trình (4.64), các thông số cho hạt thử đối với thế này được chọn là với , , , , , đơn vị trên trục hoành là .
Hình 4.3. Đường cong thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild, thế hiệu dụng trong giới hạn Newton và thế hiệu dụng trong lý thuyết tổng quát của Einstein theo
Hình vẽ cho thấy hầu hết phần đuôi của đoạn tiệm cận của các thế là như nhau. Ngoài ra còn có điều thú vị là, với vùng , chẳng hạn , thì sự khác nhau của các thế là đáng kể, song tại khoảng cách thì các thế hoàn toàn tương tự.
Đường (chấm đứt) cho thế hiệu dụng của hạt trong không thời gian Schwarzschild; đường nét đứt cho thế trong giới hạn Newton; đường nét liền cho thế hiệu dụng Yang-Mills tựa Schwarzschild.