3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
3.1 Hạt màu trong trường chuẩ n Phương trình Wong
Phương trình Wong là những phương trình chuyển động trong cơ học tương đối tính của một hạt với bậc tự do màu hoặc bậc tự do đối xứng nội tại chuyển động trong trường phi Abel. Đầu tiên Wong xây dựng các phương trình trường lượng tử, sau đó suy ra các phương trình mong muốn bằng cách lấy giới hạn gần đúng cổ điển. Toán tử tensor năng lượng ứng suất và toán tử dòng spin đồng vị của lý thuyết trường lượng tử tuân theo những điều kiện
(3.1)
(3.2)
Ta có thể thu được phương trình chuyển động cổ điển đối với những trạng thái định xứ của bó sóng lượng tử từ việc xét giá trị kỳ vọng của các điều kiện (3.1) và (3.2) như sau:
Ta đồng nhất 4-xung lượng chính tắc của hạt tại thời điểm với giá trị kỳ vọng của 4-xung lượng tổng cộng của trường lượng tử của nó tại thời điểm
∫ 〈 〉 (3.3)
Vị trí không-thời gian của hạt ký hiệu là , với
(3.4)
và đồng nhất với giá trị kỳ vọng của tâm năng lượng của trường lượng tử
∫ 〈 〉 (3.5)
Sử dụng điều kiện (3.1) và lấy tích phân từng phần, ta được
∫ 〈 〉〈 〉
Để đảm bảo một giới hạn cổ điển, hai giá trị kỳ vọng xuất hiện trong tích phân phải định xứ về một vị trí như nhau, vì vậy tích phân của được bỏ qua. Tiếp theo, ta tham số hóa chuyển động bởi thời gian riêng ,
(3.7)
với là khối lượng của hạt, ta có
(3.8)
Sử dụng điều kiện (3.1) và định nghĩa (3.3), ta được kết quả của tích phân từng phần là
∫
〈 〉 (3.9)
Giả sử giá trị kỳ vọng của dòng là định xứ tại vị trí của hạt trong một vùng đủ nhỏ khi so sánh với tốc độ biến thiên theo không gian của cường độ trường . Vì thế, có thể tính tại , đưa ra ngoài tích phân ta được
∫ 〈 〉 (3.10) khối lượng của hạt
(3.11)
phải là hằng số, vì vậy phải triệt tiêu. Sử dụng (3.10) ta có
∫ 〈 〉 (3.12) Khi là một tensor tùy ý, phản xứng, một hằng số khối lượng của hạt đòi hỏi
∫ 〈 〉 ∫ 〈 〉 (3.13) Điều này sẽ thỏa mãn nếu mật độ dòng 〈 〉 trực giao với mật độ xung lượng 〈 〉
∫ 〈 〉 (3.14) vì vậy phương trình (3.13) được viết lại như sau
∫ 〈 〉 (3.15) Từ đó (3.10) được viết thành (3.16)
Phương trình (3.16) là phương trình Wong thứ nhất.
Bây giờ ta hãy xét đến phương trình thứ hai từ điều kiện dòng đồng vị (3.2). Từ phương trình này ta dễ dàng suy ra
∫ 〈 〉 (3.17) Sử dụng tính định xứ của giá trị kỳ vọng dòng spin đồng vị để có thể được thay thế bởi và sử dụng phương trình (3.15), ta được
( )
(3.18)
Phương trình (3.18) là phương trình Wong thứ hai.
Từ những biến đổi trên ta có thể viết lại hai phương trình Wong (3.16) và (3.18) dưới dạng tường minh như sau
̈ ( ) ̇ (3.19)
̇ ( ) ̇ (3.20)
trong đó là vector spin đồng vị cổ điển nó mô tả các bậc tự do nội tại của hạt, là chỉ số spin đồng vị, dấu ̇ ký hiệu đạo hàm theo thời gian riêng.
Chú ý rằng phương trình (3.19) kéo theo ̇ ̇ , đồng nhất với ̇ ̇ ; còn phương trình (3.20) suy ra , để
là hằng số chuyển động. Phương trình (3.19) tương tự định luật Lorentz đối với trường gauge phi Abel, chứa một liên kết hiệu dụng phụ thuộc thời gian , tiến động theo phương trình (3.20). Khi liên kết hiệu dụng này thay đổi theo thời gian, chuyển động của hạt trong trường gauge phi Abel có thể rất khác so với hạt tích điện chuyển động trong trường điện từ Abel [61]. Sự khác nhau này được gọi là tính không đơn trị Wu-Yang. Sau đây, ta sẽ lấy một ví dụ cụ thể minh họa cho điều này.
Trước hết, ta hãy chỉ ra đây việc phân loại thế vector, rồi từ đó chọn một trường hợp cụ thể để xét chuyển động của hạt nhằm minh họa cho tính không đơn trị nêu trên.
Trường gauge không đổi và đều đối với nhóm : Các trường gauge đối với nhóm là những trường gauge phi Abel. Ta định nghĩa trường gauge không đổi và đều đối với lý thuyết phi Abel có dạng tổng quát của thế và cường độ trường như sau:
(3.21)
Theo đó, một trường gauge phi Abel là không đổi và đều nếu ở đó tồn tại một ma trận unita liên hệ các thế và cường độ trường giữa hai điểm bất kỳ bởi các phép biến đổi gauge
,
(3.22)
Phân loại thế vector: Từ tensor cường độ trường (2.2) và hàm Lagrange của trường gauge là
(3.23)
Đối với trường gauge đều, Lagrangian có thể được biểu diễn dưới dạng ba giá trị riêng của các ma trận
(3.24) Phép biến đổi gauge không đổi hàm chéo hóa
(3.25)
Do đó,
∑
(3.26) Như vậy, các thành phần spin đồng vị khác nhau của thế vector là các vector trực giao trong không thời gian. Điều này dẫn đến việc không thể có nhiều hơn một trong những vector này theo kiểu thời gian. Nghĩa là, với metric ( ) không thể có nhiều hơn một trong những giá trị riêng có thể dương. Do đó, ta có thể phân loại thế theo hạng của ma trận Y và số giá trị riêng dương .
(i) có số hạng không, , là trường tầm thường;
(ii) có số hạng một, , trường hợp này không có đóng góp gì vào Lagrangian, ;
(iii) có số hạng hai, .
Từ (3.25), ta thấy rằng các thành phần thế vector là các vector trực giao, chúng có module là Gọi ̂ ̂ ̂ lần lượt là các vector đơn vị của không gian trực giao theo các trục ; là một tham số tùy ý. Khi đó có hai khả năng:
(a) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là (√ ) ( ̂√ ) . Các thành phần của trường được cho bởi công thức
(3.27)
Do đó, thành phần của trường không bị triệt tiêu là
(b) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là ( ̂√ ) ( ̂√ ) ( ̂ ). Các thành phần không bị triệt tiêu là √ √ √ (3.29)
Với , vector triệt tiêu và trường hợp này nó sẽ trở thành trường với từ trường không đổi.
(iv) có số hạng 3, . Có hai khả năng:
(a) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là (√ ) ( ̂√ ) ( ̂√ ). Các thành phần không bị triệt tiêu là
√
√
√
(3.30)
Trường có hai thành phần điện và một thành phần từ;
(b) Nếu , thì các thế gauge có thể được chọn là ( ̂√ ) ( ̂√ ) ( ̂√ ). Các thành phần không bị triệt tiêu là
√
√
√
(3.31)
Bây giờ, ta xét chuyển động của hạt, chẳng hạn trong trường điện không đổi với một thành phần không triệt tiêu, còn tất cả các thành phần khác của triệt tiêu (trường hợp Y có hạng hai). Trường hợp này có thể được mô tả theo hai cách không tương đương: (i) Bởi các thế Abel, tuyến tính với các thành phần không triệt tiêu trong trường hợp này chỉ có một thành phần không triệt tiêu; (ii) bởi các thế Abel không đổi với hai thành phần không triệt tiêu là và với .
Đối với thế Abel, phương trình (3.20) cho thấy ̇ nghĩa là không đổi và quay xung quanh trục thứ ba này, phương trình (3.19) cho ta ̈ ̈ và
̇ , dẫn đến xung lượng cơ học tăng một cách tuyến tính theo thời gian. Nói cách khác, hạt chuyển động với gia tốc không đổi trong điện trường Maxwell không đổi.
Đối với các thế phi Abel không đổi, từ phương trình (3.20) ta có , nghĩa là không đổi trong quá trình chuyển động của hạt. Do đó, cả ba thành phần spin đồng vị phải thay đổi theo thời gian theo phương trình (3.20) nhưng trong một phạm vi nhất định. Vì dao động, phương trình (3.19) cho ta biết rằng dấu của lực tác dụng lên hạt thay đổi nên xung lượng cơ học ̇ bị ràng buộc, nghĩa là không thể thay đổi một cách tuyến tính theo thời gian.
Như vậy, cùng một cường độ trường nhưng được sinh ra bởi hai thế không tương đương sẽ cho chuyển động của hạt rất khác nhau.