3 PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MÀU TRONG
3.2 Suy rộng phương trình Wong cho trường chuẩn và
[V]
Trong mục 3.1 ở trên ta đã biết rằng phương trình mô tả tương tác của hạt màu trong trường gauge đối với hạt có các bậc tự do nội tại là phương trình Wong (3.19) và (3.20). Nhắc lại rằng, vế phải của (3.19) là sự khái quát hóa lực Lorentz trong trường điện từ hay nói cách khác đó là định luật Lorentz đối với các trường phi Abel chứa thành phần phụ thuộc thời
gian . Tức tương tác của hạt mang tích màu với trường gauge thông qua vector , nó mô tả các bậc tự do nội tại của hạt. Như vậy bức tranh trường gauge trong vật lý hạt cơ bản đã khá hoàn hảo, song vẫn thiếu vắng tương tác hấp dẫn. Trong mục này chúng tôi xem xét để tìm cách mở rộng phương trình mô tả hạt chuyển động trong trường gauge Lorentz. Khi đó, nó được coi như phương trình Wong tổng quát.
Trường gauge Yang-Mills và trường hấp dẫn có thể được biểu diễn qua một trường duy nhất bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học bó thớ được tham số hóa với một cấu trúc nhóm có tính đối xứng không thời gian nào đó [62, 63]. Hình thức luận tổng quát cho vấn đề chuyển động của hạt trong trường gauge qua ngôn ngữ bó thớ được mô tả như sau [64, 65]: Ta ký hiệu nguyên lý bó thớ là trong không gian Minkowski là một cấu trúc nhóm và ánh xạ là một phép chiếu. Quỹ đạo của một hạt ; là phép tham số hóa cho tham số . Mỗi trạng thái của hạt được xác định bởi ̇ . Do đó, mỗi điểm trong không gian của một hạt màu được xác định bởi các “tọa độ”: ( ) , trong đó ( là một tập mở của ), và , ở đây . Do đó ̇ ̇ ̇ , ̇ ̇ . Như vậy ta có cách mô tả động lực học của hạt màu trong trường gauge tương ứng với hạt trong đối xứng nội tại. Để chỉ vị trí của hạt trong không gian người ta dùng { } còn biến { } mô tả các bậc tự do nội tại trong đối xứng nội tại của hạt.
Tương tác của hạt với trường gauge được liên kết qua trên tập mà trong đại số Lie của nhóm nó có giá trị ( : Dấu gạch dưới các ký hiệu dành cho các đại lượng nhận giá trị trong đại số Lie)
(3.32) trong đó
(3.33)
là trên tập , ánh xạ phủ lên tập và là biểu diễn phó của nhóm trong , của hàm là những thế gauge được xác định bởi hằng số tương tác gauge.
Trong hình thức luận bó thớ, tác dụng của một hạt màu tương đối tính thỏa mãn bất biến Poincare và bất biến gauge, được cho bởi công thức có dạng sau [64]:
∫ ̇ (3.34)
trong đó, Lagrangian của hạt là
̇ ( ) (3.35)
với ̇ √ ̇ √ ̇ là một hàm tùy ý, và biến với giá trị trong đại số Lie của nhóm Lorentz , tức của nó là
( ̇ )
̇ ̇
(3.36)
trong (3.36) là những đại lượng lấy giá trị trong đại số Lie, ̇ là biến nội tại của hạt, đóng vai trò vận tốc nội tại của hạt.
Bây giờ ta hãy áp dụng hình thức luận tổng quát này cho nhóm gauge Lorentz trong ngôn ngữ nhóm bó thớ và thay vì sử dụng các giá trị trong đại số Lie của trong Lagrangian (3.35) và (3.36) ta sẽ sử dụng đại số cơ bản bởi việc sử dụng phép tham số hóa đối với nhóm Lorentz. Nhóm Lorentz là tập hợp các phép biến đổi của các tọa độ không - thời gian, nhóm này có 6 tham số. Các tham số này có thể được đưa vào trong một vector tham số phức Như vậy, ta có thể tham số hóa nhóm Lorentz bằng các vector phức ba chiều [66, 67]. Sự tham số hóa vector phức được thực hiện như sau
(3.37)
ở đây, là các ma trận (
là ma trận đối ngẫu với vector ba chiều với các yếu tố . Quy tắc kết hợp tham số đối với các tham số vector phức được cho bởi
〈 〉 [ ]
(3.39) Sự tham số hóa (3.37) có tính chất tuyến tính
〈 〉 (3.40) trong đó [ ( ) ] (3.41) và 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 (3.42) Theo cách tham số hóa (3.37), phép biến đổi Lorentz vô cùng bé có dạng
(3.43)
ở đây là các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz, chúng tuân theo các hệ thức giao hoán sau
[ ] [ ] (3.44) Trong sự tham số hóa này, các hệ thức giao hoán đối với các vi tử phản Hermit của nhóm Lorentz được cho bởi các công thức (3.44). Để thuận tiện, ta thay các vi tử phản Hermit này bằng các vi tử Hermit ; ̅ ̅ và khi đó (3.43) và (3.44) được viết lại như sau
̅ ̅ (3.45)
[ ] (3.46)
{
̅ ̅ ̅
(3.47)
Dựa trên các toán tử thỏa mãn phương trình (3.46) ta có thể viết các thế và tensor cường độ trường của trường gauge Lorentz như sau [66, 68]:
{ ̅ } (3.48) (3.49) các thành phần của cường độ trường trong (3.49) là
{ ̅ }
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅
(3.50)
Cùng với cách sử dụng ký hiệu này, những thành phần trong các số hạng của phương trình (3.36) có dạng
( ) ̇ (3.51)
Trong sự tham số hóa (3.37), phép tính nhóm trong (3.51) được xác định bởi phương trình sau [66]:
(3.52)
trong đó là một cụm gồm hai ma trận của phép quay các thông số không gian
(
) (3.53)
và ma trận nghịch đảo của
Từ (3.51) và (3.52) ta có thể xác định được thành phần có dạng
̇ ( ̇ ̇) (3.55)
và hàm Lagrangian (3.35) trong đại số Lie với biến sẽ có dạng
̇ ( ̇ ̇) (3.56)
được coi như hàm của các tọa độ suy rộng và vận tốc tuyệt đối của hạt. Phương trình Euler-Lagrange đối với trường hợp này có dạng
{ ( ̇ ) ( ̇ ) (3.57)
Từ (3.55) và (3.56) ta có thể viết đạo hàm của Lagrange theo các thông số nhóm và ̇ trong phương trình (3.57)-(b) như sau
̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (3.58) trong đó ta đặt (3.59)
và thực tế trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm. Với sự tham số hóa thông số nhóm (3.37), biểu thức của có dạng sau
̇ ̇ (3.60)
trong đó là hàm ma trận của { }. Dạng tường minh của được sử dụng từ tài liệu [66]. Từ các phương trình (3.58)-(3.60) ta rút ra được phương trình sau
̇ ̇ (3.61) và (3.62)
Từ giá trị của trong (3.59) và (3.62), ta đồng nhất chúng với moment nội tại. Bởi vì ma trận đường chéo của trong (3.53) và từ định nghĩa (3.59) ta thấy rằng là những thành phần của một 3-vector phức { ̅} mà nó đóng vai trò tương tự như một vector isospin (thực) trong phương trình Wong [60].
Bây giờ ta hãy tính toán thành phần đạo hàm của Lagrangian theo biến , ̇ (3.63)
Đối với giá trị của trong , ta có phương trình nhóm như sau ( ) ( )
{ [ ]} (3.64)
trong đó ta đặt . Giao hoán tử trong (3.64) tính toán như sau [ ] [ ] [ ]
(3.65)
Từ (3.64) và (3.65) ta suy ra đạo hàm của thành phần trong (3.63),
{
} (3.66)
Thay (3.66) vào (3.63) và sử dụng định nghĩa (3.59) của , và nhớ rằng trong biểu thức của chỉ có phụ thuộc vào thông số nhóm, ta thu được
{
} (3.67)
̇ ̇ {
} ̇
(3.68) Ta sẽ chỉ ra rằng những số hạng giữa ở vế trái của (3.68) có thể bỏ qua. Thật vậy, từ phương trình nhóm sau:
̇ ̇ ̇( ) [ ] (3.69) Do đó, [ ] (3.70) suy ra
Vì vậy, phương trình (3.57)-(b) được biến đổi thành dạng sau
̇ ̇ (3.71)
Bây giờ ta tiếp tục xét đến phương trình (3.57)-(a). Đối với Lagrangian (3.56), những thành phần của xung lượng ở vế trái của (3.57)-(a) là
̇ ̇ ̇ (3.72) trong đó ta đặt (3.73)
đại lượng là những thành phần của xung lượng nội tại được xác định bằng biểu thức (3.59).
Giá trị của được xác định bởi (3.73) là một tích phân chuyển động. Điều này có thể thấy được từ những phương trình sau
̇ ( ) ( ) [ ( )]
trong đó ta đã dùng tính chất (3.54) của ma trận . Ta gán cho là khối với khối lượng của hạt.
Phương trình (3.57)-(a) trở thành ( ̇ ̇ ) ( ) ̇ từ đó, dẫn đến ( ̇ ̇ ) ̇ (3.74)
trong đó có biểu thức như sau
( ) . (3.75)
Tensor có thể đồng nhất với cường độ trường gauge với các thành phần như sau
{ ̅ } (3.76)
trong đó
( ) , (3.77)
̅ ( ̅ ̅ ) ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ . (3.78) Do đó, các phương trình Euler-Lagrange (3.57) cho hệ hạt và trường gauge đã được biến đổi thành các phương trình (3.71) và (3.74). Giá trị của các số hạng phức trong ba chiều của hệ này được viết lại như sau
( ̇ ̇ ) ̇ ̇ ̇ ̇ ̇ (3.79)
các phương trình này được coi như phương trình Wong suy rộng, trong đó vế phải của (3.79)-(a), ký hiệu là số hạng liên hợp phức của số hạng đầu tiên và các chỉ số lấy các giá trị . Cũng chú ý thêm rằng, mặc dù ta đã thêm vào trường gauge phức và vector isospin phức, nhưng vế phải của (3.79)-(a) là đại lượng thực. Như vậy với cấu hình trường gauge đã đưa ra thì chuyển động của hạt ở trường ngoài này đã hoàn toàn được xác định.