4 THẾ HIỆU DỤNG VÀ QUỸ ĐẠO HẠT TRONG TRƯỜNG CHUẨN
4.2.2 Hạt trong trường soliton BPS
Tương tác giữa một hạt và một trường vô hướng khi cả hai có một không gian nội tại phi Abel vẫn là vấn để mở đang cần làm sáng tỏ. Một trong những nghiên cứu đầu tiên của mình. Wong đề xuất một biểu thức suy ra từ phương trình Dirac, đối với tương tác cổ điển giữa một hạt với nhóm đối xứng nội tại và một trường vector là trường gauge Yang-Mills. Tuy nhiên, không xét đến trường vô hướng. Fehér đã mở rộng phương pháp của Wong cho trường hợp năm chiều với mong muốn tìm được sự tồn tại của một trường vô hướng, nhưng Azizi [75] đã chỉ ra rằng sự mở rộng này dường như không khả thi. Trong nghiên cứu của mình, Azizi dùng chiều động lực thứ năm để mở rộng lại phương pháp của Wong, mặc dù biểu thức mà ông thu được với tứ lực phù hợp trong giới hạn Newton nhưng nó không phù hợp với hệ thống tương đối tính vì nó không trực giao với 4-vector của hạt. Vì thế, Fernandes và Letelier [76] đã tìm ra cách thống nhất để đưa ra một biểu thức của 4-lực mô tả tương tác của một hạt với một trường vô hướng, từ đó khảo sát sự tiến động theo thời gian của vector nội tại bằng
cách xét sự mở rộng về bản chất của phương trình Wong. Sau đây, chúng ta tìm hiểu phương trình chuyển của hạt màu trong trường soliton trong hệ quan sát viên và khảo sát giới hạn Newton của chúng. Sau đó, đưa ra biểu thức của cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến .
Để xây dựng tứ lực, trước hết chúng ta phải quan tâm đến tính chất tương đối tính cơ bản, đó là tứ gia tốc (gia tốc bốn chiều – 4-gia tốc) phải trực giao với tứ vận tốc, khi . Thêm vào đó, nếu hoán vị liên kết tối thiểu giữa vector nội tại của một hạt và một trường vô hướng thì ta có thể kết luận rằng có hai dạng cơ bản của tứ lực:
(i) Dạng thứ nhất thu được bằng cách sử dụng tensor phản xứng hoàn toàn , đó là
̂
(4.48)
trong đó là hằng số liên kết, là trường vô hướng (tương tự trong ), là vector nội tại của hạt, là đường trắc địa của hạt với là thời gian riêng của hạt;
(ii) Dạng thứ hai của tứ lực được viết theo tensor thông thường để chỉ vector bất kỳ trong không gian con trực giao với tứ vận tốc
( ) (4.49)
trong đó là metric Minkowski.
Như vậy, bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu trong trường soliton của mẫu phi tuyến , tức là tương tác của hạt vô hướng với trường cũng tương tự như bài toán khảo sát chuyển động của hạt màu tương đối tính trong trường gauge và . Điểm khác là phương trình chuyển động phải được xây dựng từ sự tiến động của vector nội tại. Xét không gian nội tại của hạt là nhóm đối xứng (trong trường
hợp đó thì gọi là vector spin đồng vị của hạt – vector Isospin) và thay thế trường vector bằng , ta có: (4.50)
Xét trong hệ quan sát viên có liên hệ với hệ hạt bằng đồng nhất thức . Giả sử rằng trường không phụ thuộc vào thời gian một cách tường minh, ta có hệ thức sau
̇ ̇
̇ ( )
(4.51)
trong đó dấu chấm ký hiệu việc lấy đạo hàm theo thời gian.
Với hệ động lực (4.51) có tính chất mà ta cần chú ý là, nếu đại lượng thứ ba không phụ thuộc vào một hệ tọa độ cố định thì sẽ không có sự gia tốc theo hướng tương ứng. Chúng ta cũng cần chú ý rằng ở đây module của spin đồng vị là hằng số chuyển động
( )
(4.52)
trong đó là tổng động năng tương đối tính của hạt. Rõ ràng, nguồn gốc của sự tiêu tán trong hệ liên quan đến spin đồng vị, mà nói chung là biến thiên theo thời gian. Tuy nhiên, nếu có một trường hợp đặc biệt mà trong đó nó là hằng số theo thời gian thì năng lượng được bảo toàn. Ta thấy rằng trường hợp đó chỉ có thể xảy ra nếu spin đồng vị là tương đương với đạo hàm theo thời gian của trường trong không gian nội tại. Để thấy điều này, ta viết lại phương trình (4.50) trong hệ quan sát viên, ̇, từ đó ta có kết luận rằng, nếu vector nội tại là hằng số thì đạo hàm theo thời gian của trường và chính trường đó sau một khoảng thời gian cố định phải định hướng theo một hướng giống nhau trong không gian nội tại. Vì thế, nếu xét cấu hình loại
soliton của trường thì điều kiện này phải được thỏa mãn bởi những soliton có tích topo bằng không.
Một nhận xét quan trọng khi phân tích (4.49) và (4.50) là những trường vô hướng với Lagrangian bất biến gauge (như những trường Higgs trong Lagrangian Yang-Mills), có thể làm cho biểu thức bất biến bằng cách thay đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến. Sau đây, ta áp dụng hình thức luận về tứ lực và phương trình chuyển động đã nêu trên vào việc phân tích những đặc tính cơ bản của hệ. Ta chọn một trường vô hướng nhân với đối xứng phi gauge bằng cách lấy một cấu hình trường soliton của mẫu phi tuyến mà Lagrangian mô tả mẫu ba chiều này được cho bởi
(4.53)
tuân theo hệ thức .
Phương trình chuyển động thu được thỏa mãn nghiệm tĩnh, tức là cấu hình trường tĩnh với năng lượng hằng số và định xứ , trong đó là tích topo của nó. Trong hệ tọa độ cực, những soliton này được cho bởi
(4.54)
Xét sự chuyển động của hạt màu trong sự hiện diện của trường tĩnh ở trên với tích topo đơn vị . Áp dụng cấu hình trường này với phương trình (4.50), ta có hệ động lực học sau:
̇ ̇ ̇ ( ) [ √ ] ̇ ( ) [ √ ] ̇ { [ √ ] [ √ ]} ̇ { [ √ ] [ √ ]} (4.55)
Trong đó , có từ sự chọn lựa hệ tọa độ Cartes ( ) để mô tả không gian nội tại, √ . Vì thế sự lựa chọn này kéo theo, không gian nội tại là một mặt cầu unita được chia thành hai bán cầu, đó là bán cầu với và . Từ kết luận này, ta có quyền hy vọng rằng hệ tọa độ cầu sẽ mô tả không gian này tốt hơn tọa độ Cartesian. Tuy nhiên, những phương trình suy ra từ sự thay thế hệ tọa độ cầu biểu thị sự phân kỳ trong những cực của mặt cầu nội tại và rất khó khăn khi tính số.