Phân hoạch vành đa thức

6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

2.2.2. Phân hoạch vành đa thức

Quá trình phân hoạch vành đa thức thực chất là quá trình phân chia các phần tử trong vành đa thức thành các tập (hay các lớp kề) không trùng nhau. Các phầntử sinh của nhóm nhân sinh đƣợc gọi là các hạt nhân của phân hoạch. Trong mỗi phân hoạch vành đa thức, các lớp kề của nó là các cấp số nhân cyclic với cùng một công bội.

* Các bước phân hoạch vành đa thức

Để phân hoạch một vành đa thức ta thực hiện theo các bƣớc sau đây [2]:

Bước 1: + Chọn một phần tử sinh a x( )Z x2[ ] /xn1.

+ Xây dựng nhóm nhân cyclic: A{ ( ),a x ii 1, 2,..., }m , trong đó: mord ( )a x .

+ S  A;

Bước 2: + Chọn b x( ) { 2[ ]/x xn1\ }S . + Xây dựng cấp số nhân cyclic:

( ). { ( ). ( ),i 1,2,..., }

B b x A  b x a x i m

+ S S B

Bước 3: Lặp lại bƣớc 2 cho đến khi SZ x x2[ ]/ n1

Thông số m là cấp của a x( ) đƣợc xác định theo định lý 2.1. Giá trị m

chỉ có thể bằng max ord ( )a x hoặc ƣớc số của max ord ( )a x .

Do vành đa thức có cấu trúc đối xứng, một nửa vành gồm các phần tử có trọng số lẻ, một nửa vành gồm các phần tử có trọng số chẵn. Vì vậy khi phân hoạch ta chỉ cần tìm các phần tử có trọng số lẻ của vành rồi có thể dễ dàng suy ra các phần tử chẵn.

Để xây dựng đƣợc tất cả các nhóm nhân của vành ta thực hiện các bƣớc sau: + Xác định tất cả các đa thức lũy đẳng trong vành, trên cơ sở phân tích các chu trình.

+ Chọn các đa thức lũy đẳng có trọng số lẻ để xây dựng các nhóm nhân chứa chúng.

+ Xây dựng tất cả các nhóm nhân cyclic có thể có của vành. Tùy theo từng lũy đẳng mà mỗi lũy đẳng có thể tham gia trong nhiều nhóm nhân.

+ Lấy đối xứng tất cả các nhóm nhân có chứa các phần tử có trọng số lẻ sẽ tạo đƣợc tất cả các nhóm nhân có chứa các phần tử có trọng số chẵn.

* Phân hoạch vành đa thức suy biến và không suy biến

Có nhiều dạng phân hoạch vành đa thức khác nhau, song dạng phân hoạch chung nhất là phân hoạch suy biến và phân hoạch không suy biến.

Định nghĩa 2.7:

Phân hoạch vành đa thức đƣợc gọi là không suy biến nếu phân hoạch bao gồm tất cả các phần tử khác 0 trong vành đa thức. Ngƣợc lại, phân hoạch là phân hoạch suy biến [2].

Bổ đề 2.7: Trong một phân hoạch không suy biến tùy ý, số lớp kề trong phân hoạch xác định theo biểu thức sau [2].

( ( ), ) 2 2 1 ( ( )) n a x n N ord a x        (2.10)

* Điều kiện để phân hoạch không suy biến

Định lý 2.3: Điều kiện cần và đủ để phân hoạch vành không suy biến là nhóm nhân sinh của phân hoạch có lũy đẳng bằng 1 [2].

Các loại phân hoạch

a) Phân hoạch chuẩn

Phân hoạch chuẩn hay phân hoạch theo I – nhóm nhân cyclic đơn vị.

2 3 1

{ ,( ) ,( ) ...,( )n ,1}

I  x x x x  (2.11)

Hạt nhân của phân hoạch là x, có cấp ord( )x n. + Các lớp kề có độ lớn bằng n hoặc ƣớc của n.

Bổ đề 2.11:Trong phân hoạch chuẩn thì số lớp kề trong phân hoạch đƣợc xác định theo biểu thức:

( , ) 2 2 1 n x n N n        (2.12) + Khi n là số nguyên tố thì có thể tính chính xác đƣợc số lớp kề. Có một lớp kề chỉ chứa 0  1 1 n i i e x x    , số phần tử còn lại trong các lớp kề là 2n 2. Do đó số các lớp kề là: 2 2 1 n N n    .

b) Phân hoạch cực đại Định nghĩa 2.8:

Phân hoạch đƣợc gọi là cực đại nếu nhóm nhân cyclic sinh có phần tử sinh với cấp lớn nhất, ord ( )a x max ord ( ); ( )b x b x  2[ ]/x xn1 [2].

Bổ đề 2.12: Trong phân hoạch cực đại thì số lớp kề của phân hoạch đƣợc xác định theo công thức sau [2]:

( ( ), ) 2 2 1 max ( ( )) n a x n N ord b x        (2.13)

c) Phân hoạch cực tiểu

Định nghĩa 2.9: Phân hoạch là cực tiểu (hay phân hoạch tầm thƣờng) là phân hoạch có phần tử sinh của nhóm nhân cyclic làa x( )1.

Bổ đề 2.13: Trong phân hoạch cực tiểu với phần tử của nhóm nhân a x( )1, số lớp kề trong phân hoạch đƣợc xác định:

(1, )n 2n 1

N   (2.14)

Trong phân hoạch cực tiểu, mỗi lớp kề chỉ gồm 1 phần tử, do vậy số lớp kề trong phân hoạch này đúng bằng số phần tử khác 0 có trong vành: 2n– 1 .

d) Phân hoạch vành thành các cấp số nhân có cùng trọng số

Trong trƣờng hợp q x( )xi và ord( )xi n thì cấp số nhân A( , )a q bao gồm các đa thức có cùng trọng số. Vành đa thức đƣợc phân hoạch thành các cấp số nhân với các phần tử trong mỗi cấp số nhân sẽ có cùng trọng số.

Dạng phân hoạch này chính là phân hoạch không suy biến và phân hoạch theo nhóm nhân đơn vị.

e) Phân hoạch vành thành các phần tử có trọng số cùng tính chẵn lẻ.

Xét cấp số nhân cyclic có dạng sau:

2 1

( , )a q { ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),..., ( ) m ( )}

A  a x a x q x a x q x a x q  x (2.15)

- Nếu W q x( ( )) lẻ:

+ Phần tử đầu tiên ( )a x là đa thức có trọng số lẻ thì tất cả các phần tử của cấp số nhân đều là đa thức có trọng số lẻ. Vì tích của các đa thức có trọng số lẻ là một đa thức có trọng số lẻ.

+ Phần tử đầu tiên a x( ) là đa thức có trọng số chẵn thì tất cả các phần tử của cấp số nhân đều là đa thức có trọng số chẵn.

Vậy khi W q x( ( ))lẻ  các lớp kề có các đa thức có trọng số chẵn hoặc lẻ: - Nếu chẵn, với phần tử đầu tiên a x( ) là đa thức bất kỳ thì tất cả các phần tử của cấp số nhân đều là đa thức có trọng số chẵn  phân hoạch suy biến.

Tóm lại, nếu công bội q x( ) (hạt nhân phân hoạch) là một đa thức có trọng số lẻ thì các phần tử của mỗi cấp số nhân trong phân hoạch sẽ cùng tính chẵn lẻ về trọng số.

f) Phân hoạch vành đa thức thành các cấp số nhân theo modulo h(x).

Vành đa thức 2[ ]/x xn1 có thể đƣợc phân hoạch thành các cấp số nhân theo moduloh x( ) vớih x x( ) | n1.

Từ phân tích nhị thứcxn 1 f x f x1( ). ( )... ( )2 f xt

Trong đó, fi(x) là các đa thức bất khả quy.

Nhƣ vậy, h x( ) là tổ hợp của các fi(x) sao cho degdeg ( )h x  k n. Tuỳ theo giá trị n mà có số đa thức bất khả quy khác nhau, nên sẽ có số h x( )khác nhau. Khi đó, trên vành sẽ có nhiều phân hoạch ứng với các h x( )khác nhau.

Trong trƣờng hợp này phân hoạch vành chỉ gồm 2k – 1 phần tử cho nên phân hoạch sẽ suy biến và vành đa thức bị suy biến thành các vành nhỏ hơn.

( ( ))