Định nghĩa nhóm nhân cyclic trên vành đa thức

6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

2.1.1. Định nghĩa nhóm nhân cyclic trên vành đa thức

Định nghĩa 2.1[2],[14]:

Tập các đa thức trong vành đa thức [ ] với một phép toán nhân đa thức tạo nên một nhóm nhân .

〈 〉 (2.1)

Nếu thì

Tồn tại phần tử đơn vị với

Định nghĩa 2.2[2],[14]:

Trong vành đa thức 2[ ]/x xn 1, nếu tồn tại một đa thức mà bình phƣơng của nó lại bằng chính nó thì đƣợc gọi là đa thức lũy đẳng và ký hiệu là e x( ).

2 2

( ) ( ) ( )

e x e x e x (2.2)

Các lũy đẳng e x( ) đƣợc xác định trên cơ sở phân tích chu trình Cs.

Trong mỗi vành đa thức 2[ ]/x xn 1 đều tồn tại một lũy đẳng 1 0 0 ( ) n i i e x x  

 lũy đẳng này đƣợc gọi là lũy đẳng “nuốt” (Swallowing Idempotent). Trong một vành bất kỳ, với n lẻ luôn tồn tại một lớp kề chỉ chứa một lũy đẳng “nuốt” e0( )x .

* Tính chất của lũy đẳng “nuốt”

- Nếu đa thức a x( ) 2[ ]/x xn1 và trọng số của a x( ) (ký hiệu là W a x( ( ))) là số lẻ thì a x e( ). 0( )x e0( )x .

- Nếu đa thức b x( ) 2[ ]/x xn 1 và W b x( ( ))là số chẵn thì b x e x( ). ( )0 0

Các chu trình Cstheo modulo n trên trƣờng GF(2) đƣợc xác định nhƣ sau:  2 1 , .2, .2 ,..., .2ms s C  s s s s  trong đó .2ms 1 mod s  s n

Khi đó tập các số nguyên theo modulon đƣợc phân hoạch thành các chu trình. Ta c{0,1, 2,3,..., } s

s

n  C ó: * Ý nghĩa của các chu trình:

+ Số các chu trình cho ta biết số các đa thức bất khả quy trong vành 2[ ]/x xn1

+ Lực lƣợng của các chu trình cho ta biết bậc của đa thức bất khả quy tƣơng ứng trong phân tích của nhị thức xn1.

+ Các số trong một chu trình cho biết số mũ tƣơng ứng của đa thức lũy đẳng ( )

e x

Định lý 2.1: Cấp của một đa thứca x( ), (ký hiệu ord a x( ( ))), là số nguyên dƣơng m nhỏ nhất thỏa mãn [2],[14],[15]:

( ) ( ) mod( 1)

m n

a x e x x  (2.3)

Trong đó e x( ) là một lũy đẳng nào đó.

Nhƣ vậy a x( ) sẽ tạo nên một nhóm cyclic cấp m của vành.

Định lý 2.2: Nếu a x( ) là phần tử của nhóm nhân nào đó thì cấp cực đại của ( )

a x đƣợc xác định nhƣ sau [2],[14],[15],[16]:

+ Nếu n lẻ và xn1 1 f xi( ); trong đó f xi( ) là các đa thức bất khả quy. Khi đó max ord( ( ))a x 2m1, vớimmax deg f xi( ).

+ Nếu n chẵn n2 (2s k1) và x2k1 1 f xi( ).

Khi đó max ord( ( ))a x 2 (2s m1), vớimmax degf xi( ).

Bổ đề 2.1: Trong vành 2[ ] /x xn1với n2k (k nguyên dƣơng), tập các đa thức có trọng số lẻ sẽ tạo nên một nhóm nhân G các đa thức theo moduloxn1

Bổ đề 2.2: Mọi phần tử trong nhóm nhân G có cấp là 2khoặc có cấp là ƣớc của 2k[2],[3],[15],[16]

Bổ đề 2.3: Số các thặng dƣ bậc hai trong nhóm nhân G của vành đƣợc xác định nhƣ sau [2],[3],[15]: 1 2 1 2k Q   (2.4) * Các phần tử cấp n và các nhóm nhân cyclic cấp n Xét a x( )G. a x( )a xi i. Ta có bổ đề sau:

Bổ đề 2.4: Đa thức a x( ) là phần tử cấpnkhi nó có chứa một số lẻ các đơn thức có mũ lẻ có cấp n và một số chẵn các đơn thức có mũ chẵn có cấp là ƣớc của n. Số các đa thức cấp n bằng 2

2n .

Ví dụ 2.1: Với n = 8, có tất cả 6

2 64 các phần tử cấp n. Ta có thể sử dụng các phần tử này để xây dựng các nhóm nhân cyclic cấp n.

2 3 1 0

{ ( ), ( ), ( ), n ( ), n( ) ( ) 1}

i i i i i i i

A  a x a x a x a  x a x a x 

Có tất cả 2

2n các nhóm nhân cyclic cấp n và nhóm nhân I cũng thuộc vào