Các loại nhóm nhân cyclic trên vành đa thức

6. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

2.1.2. Các loại nhóm nhân cyclic trên vành đa thức

2.1.2. Các loại nhóm nhân cyclic trên vành đa thức * Nhóm nhân cyclic đơn vị * Nhóm nhân cyclic đơn vị

Định nghĩa 2.3: Nhóm nhân cyclic đơn vị là một nhóm nhân bao gồm mọi đơn thức có trong vành và nó có cấp là n. Ký hiệu là I { , ,...,x x2 xn1,1}[2],[3].

Hay nói cách khác nhóm nhân cyclic đơn vị là nhóm nhân cyclic có phần tử sinh là x.

2 3 1

{ ,( ) ,( ) ...,( )n ,1}

I  x x x x 

* Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh a x( )

Định nghĩa 2.4: Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh là đa thức a x( ) bao gồm các phần tử là lũy thừa của phần tử sinh và có thể viết dƣới dạng sau [2],[14].

2 3

( ( ), ( ), ( ),..., m( )}

Trong đó: m là cấp của a x( ).

* Đa thức đối xứng và các nhóm nhân cyclic đối xứng

Định nghĩa 2.5: Đa thức đối xứng [2],[14]

Đa thức a x( )đƣợc gọi là đa thức đối xứng với đa thứca x( ) nếu:

( ) i i i I a x a x   thì ( ) j j j J a x a x   a x( ) (2.6) Với: I J= ;  I J  S 0,1,...,n1. Bổ đề 2.5: Nếu a x( ) là một phần tử cấp k thì cấp của a x( ) cũng bằng k. Tức là, nếu A là một nhóm nhân cyclic cấp k có phần tử sinh là a x( ) thì A cũng là nhóm nhân cyclic cấp với phần tử sinh là a x( )[2],[14]. Khi đó ta có:

2 3 1 { ( ), ( ), ( ),..., k ( )} A a x a x a x a  x 2 3 1 { ( ),( ( )) ,( ( )) ,...,( ( )) }k A a x a x a x a x  (2.7)

Nhƣ vậy, với mỗi phần tử ( )a x của nhóm nhân cyclicA ta có tƣơng ứng một phần tử a x( ) của nhóm nhân cyclic A. Từ nhóm nhân cyclicA ta dễ dàng thiết lập đƣợc nhóm nhân cyclicA. Hai nhóm nhân A và A đƣợc gọi là hai nhóm nhân cyclic đối xứng trong vành đa thức.

Từ việc khảo sát các nhóm nhân đối xứng trong vành đa thức ta thấy chỉ cần khảo sát các nhóm nhân trong một nửa vành là ta có thể suy ra kết quả khảo sát cho toàn bộ vành. Khi coi mỗi nhóm nhân là một mã tƣơng ứng mà ta có thể xây dựng đƣợc trên nó, ta sẽ khảo sát đƣợc các mã trên vành.