Biểu diễn theo không gian-thang (scale-space) [6][7][40]

c. Lược đồ sai phân ẩn

1.5. Biểu diễn theo không gian-thang (scale-space) [6][7][40]

Cách tiếp cận không gian-thang và các phương pháp xử lý ảnh dựa vào PTĐHR đã được ứng dụng rộng rãi trong những năm cuối 1990. Koenderink (1984) chỉ ra phép tích chập tín hiệu với Gauss kernel theo thang thời gian tương ứng với nghiệm của phương trình truyền nhiệt phụ thuộc tín hiệu đầu.

Hình 1.2. Không gian-thang tuyến tính ảnh MRI chụp sọ

Witkin (1984) đề xuất không gian-thang cho biểu diễn ảnh tại các thang thời gian liên tục, liên quan tới ảnh phân giải thô bằng cách nhân chập với Gauss kernel, hoặc tương ứng bằng cách sử dụng ảnh gốc như điều kiện đầu của quá trình khuếch tán. Biểu diễn không gian-thang của Witkin cung cấp một công cụ cho phân tích ảnh đa thang xám, không gian-thang tuyến tính của ảnh là từng lớp ảnh được tạo ra tương ứng với độ mờ của ảnh gốc tăng dần (Hình 1.2). Trong thực tế không gian- thang được tính toán bằng việc làm trơn ảnh liên tiếp.

Alvarez, Guichard, Lions và Morel đã kết nối giữa phân tích không gian-thang với phương trình đạo hàm riêng và chứng minh mọi không gian-thang thỏa mãn phương trình đạo hàm riêng cấp hai với điều kiện đầu cho trước. Phân tích đa thang được định nghĩa là các toán tử T tt 0 tác dụng vào ảnh gốc u0 x y, để tạo ra một chuỗi ảnh u x y t , ,   T ut 0 x y, với t>0, biểu diễn mức độ làm trơn khác nhau theo tham số thời gian t, đây là tính chất tự nhiên theo quan điểm phân tích ảnh. Để đơn giản ta giả thiết với t0,  2  2

: , t b b T C r C r trong đó  2 b C r là không gian các hàm bị chặn có đạo hàm tại cấp bất kỳ.

Tính toán chuỗi ảnh đa thang u x y t , ,   T ut 0 x y, từ ảnh gốc u0 x y, cần tuân theo các tính chất sau:

(A1) Tính nhân quả (Tính đệ quy): ảnh tại thang (t+s) có thể được phân tích từ ảnh tại t mà không phụ thuộc vào chất lượng của ảnh gốc,

 0 ,      , , 0

T u T t s T t T s t s và  2

b u C

  r .

(A2) Nguyên lý so sánh: phát biểu rằng nếu ảnh ν có độ chói lớn hơn ảnh độ chói của u, thứ bậc này được bảo toàn trên toàn dải không gian-thang đó,

    2 trên , t t T u T v r  2 0 và u, b t v C    r khi đó uv trên 2 . r

Nguyên lý so sánh là một tính chất bảo toàn thứ bậc, nghĩa là không xảy ra sự tăng cường cực trị cục bộ.