Trong các quá trình vật lý, quá trình khuếch tán hay truyền nhiệt là một ứng dụng quan trọng trong thực tế được biểu diễn bằng phương trình đạo hàm riêng biến thiên theo thời gian và không gian. Phương trình truyền nhiệt là lý thuyết giải thích về sự dẫn nhiệt, đẳng hướng và đồng nhất trong không gian đã được Joseph
Fourier công bố vào năm 1822. Phương trình truyền nhiệt chính là phương trình khuếch tán làm cân bằng nhiệt hay mật độ u tại các vùng khác nhau trong không gian, thời gian bất kỳ.
* Định luật Fourier về nhiệt. Dòng nhiệt Btruyền vuông góc qua một đơn vị diện tích bề mặt của vật liệu, trong một đơn vị thời gian bằng tích của hệ số dẫn nhiệt c với gradien nhiệt độ và có hướng ngược với gradien nhiệt độ
B c x y z t , , , u, (1.3) trong đó: c là hệ số dẫn nhiệt (hệ số khuếch tán) đặc trưng khả năng dẫn nhiệt của vật liệu (c là hằng số trong môi trường vật liệu đẳng nhiệt); u là gradient nhiệt độ
biểu thị sự thay đổi nhiệt độ theo phương trùng với phương vuông góc với bề mặt của vật liệu và có độ lớn bằng đạo hàm của nhiệt độ theo phương ấy.
Giả thiết là miền không gian cố định và có biên , trong điều kiện này ta
biểu diễn sự thay đổi nhiệt trong giữa khoảng thời gian t tới t+t bởi
, , , , , , u x y z t t u x y z t dV u x y z t t u x y z t dV ˆ ( , , , , )dVd ( , , , ) dSd , t t t t t q x y z t u t t B x y z t n t (1.4)
trong đó: u là nhiệt độ; qq x y z t u , , , , là lượng nhiệt sinh ra trong ; dV và dS
là các yếu tố không gian và bề mặt của phép tích phân; nˆ là pháp tuyến tại bề mặt dS hướng theo chiều truyền nhiệt.
Trong phương trình (1.4), lấy xấp xỉ tích phân theo t, chia hai vế của phương trình cho t và cho t0. Thế phương trình (1.3) vào phương trình (1.4) ta có