a) Phương pháp
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử, thông thường hay đưa về dạng a2 - b2 sau khi thêm bớt
b) Ví dụ:
*) Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Bài 1: Phân tích đa thức x4 + x+2 thành nhân tử Giải:
Cách 1: Thêm bớt hang tử x2 (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Ta có: x4 + x2 + 1 = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2
+ 1)2 - x2
= (x2 - x + 1)(x2 - x + 1)
Cách 2: Thêm bớt hạng tử x3 ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
x4 + x 2 + 1 = (x4 - x3 + x2 ) + (x3 + 1)
= x2(x2 - x + 1) + (x + 1)(x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Cách 3: Thêm x và bớt x ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Ta có: x4 + x + 1 = x4 - x + x2 + x + 1 = (x4 - x) + (x 2 + x + 1) = x (x- 1) (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 - x + 1)(x2 + x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử
Giải: Thêm x3 và bớt x3 ( làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung)
Ta có: x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 - x3 + 1
= (x5 + x4 + x3 ) - (x3 - 1)
= x3(x2 + x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x3 - x + 1)
Bài 3: Phân tích đa thức x4 + 4 thành nhân tử Giải: Ta có:
x4 + 4 = x4 + 4x2 + 4 - 4x2 = (x2 + 2)2 - (2x)2
= (x2+2 - 2x)(x2 + 2x + 2)
*) Thêm và bớt cùng một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung
Bài 4: Phân tích đa thức x5 + x4 + 1 thành nhân tử Giải: Ta có:
x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 -x3 + x2 -x2 + x - x + 1
= (x5 + x4 + x3 ) + (-x3 - x2 - x) + (x2 + x + 1)
Trường THCS Tề Lỗ
Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
= x3( x2 + x + 1) - x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 - x + 1)
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có: A = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = x4 + (x2 – x + 1) + (x2 – x + 1)2 + x = (x2 – x + 1)(x2 – x + 2) + x(x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)((x2 – x + 2) + x(x + 1)) = (x2 – x + 1)(2x2 + 2)
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = 4x4 + 81
Giải: Ta có:
P = 4x4 + 81
= 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2
= (2x2 + 9)2 – (6x)2
=(2x2 + 9 – 6x)(2x2 + 9 + 6x)
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x4 + x2y2 + y4
Giải: Ta có:
A = x4 + x2y2 + y4
= (x4 + 2x2y2 + y4) - x2y2
= (x2 + y2)2 - x2y2
= (x2 + y2 + xy)(x2 + y2 – xy)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2
Giải: Ta có:M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 M = x4 + x2 + 1 + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1 + x2 – x + 1) = 2(x2 – x + 1) (x2 + 1)
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2-2y2z2
Giải: Ta có: A = x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2- 2y2z2 = (x4 + y4 + z4- 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2z2) – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2)2 – 4y2z2 = (x2 – y2 – z2 – 2yz) (x2 – y2 – z2 + 2yz) = (x2 – (y + z)2 )( x2 – (y - z)2 ) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z)