phụ a) Phương pháp:
Bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến) ta có thể đưa một đa thức với ẩn số cồng kềnh, phức tạp về một đa thức có biến mới mà đa thức này sẽ dễ dàng phân tích được thành nhân tử
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x2 + x) + 4(x2 + x) - 12
Giải: Đặt: y = x2 + x , đa thức đã cho trở thành:
Thay: y = x2 + x vào A ta được :
A = (x2
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x – 6)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
12
Giải: Đặt: y = (x2 + x + 1), đa thức đã cho trở thành:
A = y(y + 1) – 12 = y2
= y2
= y(y – 3) + 4(y – 3) = (y – 3)(y + 4)
Thay: y = (x 2 + x + 1) vào A ta được:
A = (x2
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 6) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6)
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải: Đặt: y = x 6 B = y2
= y2
= (y – 1)2 – y = (y – 1 -
Thay : y = x6 vào B ta được
B = (x6 – 1 -
= (x6 – 1 – x3)(x6
Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x3
Giải: Đặt: y = x - A = (y + = y3 + 3y2 ) + - 2 = y3 - 3y – 2 = y3 - y – 2y – 2 = y(y2 – 1) – 2(y + 1)
= y(y – 1)(y + 1) – 2(y + 1) = (y + 1)[y(y – 1) – 2] = (y + 1)(y2 – y – 2) = (y + 1)(y + 1)(y – 2) = (y + 1)2(y – 2) Thay: y = x - A = (x -
Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
7) + 15 Giải: Ta có: M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15 = [(x + 1)( x + 7)][(x + 3)(x + 5)] + 15 = (x2 Đặt: y = (x2 M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay: y = (x2 M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 = (x2 + 8x + 10)[(x(x + 2) + 6(x + 2)] = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6)
Nhận xét : Từ lời giải bài toán trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m
Nếu a + d = b + c .
A = [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] + m (1)
Bằng cách biến đổi tương tự như bài 5, ta đưa đa thức (1) về đa thức bậc hai và từ đó phân tích được đa thức A thành tích các nhân tử.
Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
Giải: Giả sử x A = x2 [(x2 + ) + 6( x - ) + 7] Đặt
y = x - thì x2 + = y2 + 2
Trường THCS Tề Lỗ
Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
Do đó: A = x2(y2 + 2 + 6y + 7) = x2( y + 3)2
= (xy + 3x) 2
Thay y = x - , vào A ta được:
A =
= (x2 + 3x – 1)2
Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét:
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
A = a0x2n + a1xn – 1 +…….+ an – 1xn – 1 +anxn a1x + a0
Bằng cách đưa xn làm nhân tử chung của A, hay:
A = xn(a0xn + a1xn – 1 + …….+ an – 1x + an +
Sau đó đặt y = x + ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập trên.
Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12
Giải: Ta có: A = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 Đặt X = x + y, đa thức đã cho trở thành: A=X2–X–12 =X2 -16–X+4 =(X+4)(X-4)-(X-4) =(X-4)(X+4-1) =(X-4)(X+3)
Thay X = x + y vào A ta được: A = (x + y – 4)( x + y + 3)
Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: Ta có: A = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt: x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức đã cho trở thành: A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Trường THCS Tề Lỗ download by : skknchat@gmail.com
Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
Thay: a = x2 + y2 + z2
b = xy + yz + zx vào A ta được:
A = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3
Giải: Đặt: A = x – y ; B = y – z; C = z – x Ta có: A + B + C = 0. Nªn A + B = - C Lập phương hai vế: (A+B)3=-C3 A3+3AB(A+B)+B3=-C3 A3+B3+C3= -3AB(A+B) A3+B3+C3= 3ABC Thay: A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được: P = (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x) 3.5 - Phương pháp 9: Phương pháp hệ số bất định a) Phương pháp:
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải hệ phương trình sơ cấp.
b) Ví dụ:
Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng:
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d)
x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = x4 + (a+c )x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện:
Xét bd = 3 với b, d , b với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành:
Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2
Vậy: M = x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x + 1)
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng:
A = ( ax + by + c )( dx + ey + g )
= adx2 + aexy + agx + bdxy + bey2 + bgy + cdx + cey + cg cg = adx2 + ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey2 + ( bg + ce )y +
= 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện:
Vậy: A = 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 = ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Trường THCS Tề Lỗ
Chuyên đề “ Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ”
Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: B = x4 – 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng:
B = x4 – 8x + 63 = (x2
= x4 + (a+ c)x3
Đồngnhất
Vậy : B = x4 – 8x + 63 = (x2 - 4x + 7)(x2 + 4x + 9)