3. Cấu trúc luận văn
2.4.2.2. Toán tử hình thái trên các phức hợp đơn giản
Mục tiêu của ở đây là tìm hiểu sự giãn nở và ăn mòn hình thái tác động lên các phức hợp (trong đó cả đầu vào và đầu ra của các toán tử đều là phức hợp) và điều đó tạo ra phép đo hạt không tầm thường, (tức là đo độ hạt trong đó độ giãn nở không phải là đơn vị)1. Thật vậy, những phép đo hạt tầm thường như vậy đã được biết đến là quan trọng trong hình thái toán học để phân tích và lọc kỹ thuật số đối tượng theo kích thước của chúng. Sau một lời nhắc ngắn gọn về các tính từ hình thái trong khuôn khổ mạng, ở đây tác giả trình bày các toán tử cổ điển cho xử lý các không gian topo như các phức chất đơn giản. Sau đó, chỉ ra rằng giãn nở, ăn mòn và đo hạt đáp ứng các đặc tính nêu trên có thể thu được bằng cách cẩn thận việc tạo ra các toán tử tôpô này.
Trong hình thái toán học, bất kỳ toán tử nào liên kết các phần tử của mạng tinh thể L1 với các phần tử của mạng tinh thể L2 được gọi là sự giãn nở nếu nó đi cùng với đỉnh. Tương tự, một toán tử giao tiếp với cận dưới đỉnh được gọi là một sự xói mòn. Khái niệm về tính từ, được nhắc lại dưới đây, cho phép phân loại sự giãn nở và ăn mòn thành các cặp toán tử dẫn đến phép đo hạt.
Gọi L1 và L2 là hai mạng có quan hệ thứ tự và siêu tối đa được ký hiệu bởi ≤1, ≤2, V1 và V2. Hai toán tử α: L2 → L1 và αA: L1 → L2 tạo thành một tính từ (αA; α) nếu α (a) ≤1, a ≤2 αA (b) với mọi phần tử a trong L2 và b trong L1. Người ta đã iết rõ rằng, với hai toán tử α và αA, nếu cặp (αA.; α) là một tính từ, thì αA là một xói mòn và α là một sự giãn nở. Hơn nữa, nếu α là một sự giãn nở, thì quan hệ sau đặc trưng cho mối liên kết của nó xói mòn αA:
1Phép đo hạt (Granulometry) là một cách tiếp cận để tính toán phân bố kích thước của các hạt trong hình ảnh nhị phân
51
∀𝑎 ∈ ℒ1, 𝛼𝐴(𝑎) = 𝑉2{𝑏 ∈ ℒ2 ∣ 𝛼(𝑏) ≤1 𝛼 (2.23)
Ở đây việc trình bày hai cặp toán tử liền kề, chúng cổ điển trong cấu trúc liên kết, và điều đó sẽ phục vụ để có được các phép đo hạt tầm thường trên các phức hợp. Cho x là một đơn vị trong C, đặt: 𝑥ˆ = {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ 𝑥, 𝑦 ≠ ∅}̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑥ˇ = {𝑦 ∈ ℂ ∣ 𝑥 ⊆ 𝑦} and . Các toán tử Cl: 𝑃(ℂ) → 𝑃(ℂ) và St: 𝑃(ℂ) → 𝑃(ℂ) được xác định bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝐶𝑙(𝑋) =∪ { 𝑥ˆ ∣ 𝑥 ∈ 𝑋 }; (2.24) ∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝑆𝑡(𝑋) =∪ { 𝑥˘ ∣ 𝑥 ∈ 𝑋 }; (2.25)
Theo định nghĩa, các toán tử Cl và St đi cùng với nhau. Do đó, nó là độ giãn trên
𝑃(ℂ). Và bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (2.10), sự ăn mòn liền kề ClA và StA
của Cl và St được cho bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝐶𝑙𝐴(𝑋) =∪ { 𝑌 ∈ 𝒫(ℂ) ∣ 𝐶𝑙(𝑌) ⊆ 𝑋 }; (2.26)
∀𝑋 ∈ 𝒫(ℂ), 𝑆𝑡𝐴(𝑋) =∪ { 𝑌 ∈ 𝒫(ℂ) ∣ 𝑆𝑡(𝑌) ⊆ 𝑋 }; (2.27)
Bốn toán tử được trình bày ở trên được minh họa trong Hình 2.28, trong đó các tập con X, Y, Z, V và W, được làm bằng các đơn giản màu xám trong Hình 2.28(a), 2.28(b), 2.28(c), 2.28(d), và 2.28(e), thỏa mãn các quan hệ sau Y = St (X), Z = StA (X), V = Cl (Y), W = ClA (Z).
Cho 𝑋 ∈ 𝑃(ℂ) Tập hợp Cl (X) (tương ứng St (X)) là phức nhỏ nhất (tương ứng
sao) chứa X và tập hợp ClA (X) (tương ứng với StA (X)) là phức lớn nhất (tương ứng sao) chứa trong X. Do đó, rõ ràng, C (tương ứng S) là bất biến miền của Cl và ClA
(tương ứng với St và StA): 𝐶 = {𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)|Cl(X) = X} = {𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)|Cl𝐴(𝑋) = 𝑋}
(tương ứng với 𝑆 = {𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)|St(X) = X} = {𝑋 ∈ 𝑃(ℂ)|St𝐴(𝑋) = 𝑋}). Các dữ kiện này được biết đến nhiều trong ngữ cảnh của không gian tôpô nơi các tập St (X), ClA (X) và StA (X) được gọi là tương ứng là phần đóng (đơn giản), hình sao, lõi và phần bên trong của X.
Vì các toán tử Cl và St là độ giãn nở, chúng tạo thành một lựa chọn đơn giản để khảo sát hình thái phức hợp. Tuy nhiên, những sự giãn nở này là: Cl ◦ Cl (X) = Cl (X) và St ◦ St (X) = St (X). Do đó, dẫn đến đo hạt tầm thường. Để có được các phép đo hạt không tầm thường, người ta có thể coi thành phần Dil = Cl ◦ St. Thật vậy, toán tử Dil là sự giãn nở (vì nó là một thành phần của các chất pha loãng), nói chung, không phải là
52
đơn vị, kết quả của chúng luôn là phức tạp. Theo định lý về thành phần của các tính từ xói mòn liền kề được đưa ra bởi Er = DilA = StA ◦ ClA. Do những nhận xét của đoạn trước, đặt Er (X) luôn là một hình sao. Như vậy, về tổng thể, tập Er(X) không phức tạp. Do đó, cặp (Er; Dil) không dẫn đến việc đo hạt tác dụng lên phức chất. Để có được các phép đo hạt tầm thường trên các phức hợp, hạn chế toán tử. Chính xác hơn, định nghĩa các toán tử: S → C và C → S bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒮,⋄ (𝑋) = 𝐶𝑙(𝑋); (2.28) ∀𝑋 ∈ 𝐶,⋆ (𝑌) = St(𝑌). (2.29)
Sự khác biệt duy nhất giữa ⋄ và Cl là các lĩnh vực hoạt động của các toán tử. Một nhận xét tương tự đúng cho ⋆ và St. Các toán tử này vàcũng rõ ràng là hai độ giãn. Sau đó, sử dụng lại công thức 2.10, sự ăn mòn liền kề ⋆𝐴 và ⋄𝐴 của ⋄ và ⋆ được đưa ra bởi:
∀𝑋 ∈ 𝒞,⋄𝐴(𝑋) = ⋃{ 𝑌 ∈ 𝒮 ∣⋄ (𝑌) ⊆ 𝑋 }; (2.30)
∀𝑌 ∈ 𝒮,⋆𝐴(𝑌) = ⋃{ 𝑋 ∈ 𝒞 ∣⋆ (𝑋) ⊆ 𝑌 }. (2.31)
Có thể dễ dàng nhận thấy sao ⋄𝐴(𝑋) là phần bên trong của phức chất X và phức hợp⋆𝐴(𝑌) là lõi của hình sao Y. Do đó, người ta suy ra một cách đơn giản thuộc tính sau liên kết phần phụ của ⋆, ⋄, St và Cl một cách đơn giản hơn.
Thuộc tính 1: Hai mệnh đề sau đây đúng:
∀𝑋 ∈ 𝐶,⋄𝐴(𝑋) = 𝐶𝑙𝐴(𝑋); (2.32) ∀𝑋 ∈ 𝒮,⋆𝐴 (𝑌) = 𝐶𝑙𝐴(𝑌). (2.33)
Nó được biết trong cấu trúc liên kết rằng các toán tử đóng và toán tử bên trong là kép với phần bổ sung. Do đó, suy ra kết quả sau đây.
Thuộc tính 2: Các toán tử ⋄ và ⋄𝐴 (tương ứng ⋆ và ⋆𝐴 ) là kép w.r.t. phần bù trong
𝑃(ℂ) : ta có ⋄𝐴 (𝑋) =⋄ (𝑋̅)̅̅̅̅̅̅̅ với bất kỳ 𝑋 ∈ 𝐶 (tương ứng ⋆𝐴 (𝑌) =⋆ (𝑌̅)̅̅̅̅̅̅̅, cho bất kỳ 𝑌 ∈ 𝑆).
Lưu ý rằng sử dụng trực tiếp công thức 2.30, 2.31, tính toán ⋄𝐴(𝑋) (tương ứng
⋆𝐴(𝑌)) yêu cầu một thời gian hàm mũ vì tất cả các hình sao (phức hợp) phải được xem xét. Mặt khác, vì các toán tử Cl và St được xác định cục bộ, ⋄ (𝑋) và ⋆ (𝑋) có thể