HƯỚNG DẪN GIẢI ĐÈ SỐ 9: 2009-
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYÉN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI NĂM HỌC 2011
HÀ NỘI NĂM HỌC 2011 - 2012
Khĩa ngày:
(Đề thi cĩ 01 trang) Mơn thi: Tốn
Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian phát đề
Bài 1. (2, 5 diểm). Cho 10 5
25 5 5 x x A x x x = − − − − + , với x≥0 và x≠25. 1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x=9. 3) Tìm x để 1
3
A<
Bài 2. (2, 5 điểm) Giải bài tốn sau bằng cách lập phuoong trình hoạc hệ phurơng trình: Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày đội đĩ chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hồn thành kể hoạch sớm hơn thời gian quy định 1 ngày và chở thêm được 10 tấn. Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Bài 3. ( 1, 0 điểm). Cho parabol ( ) :P y x= 2 và đường thẳng ( ) :d y=2x m− 2+9. 1) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol ( )P và đường thẳng ( )d khim=1.
2) Tìm m đề đường thẳng ( )d cắt parabol ( )P tại hai điểm nẳm về hai phía của trục tung.
Bài 4. (3, 5 điểm). Cho đường trịn tâm O, đường kính AB=2R. Gọi d1 và d2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường trịn ( )O tại hai điểm A và B. Gọi I là trung điểm của OA
Đề Số 11
Zalo,sms:
và E là điểm thuộc đường trịn ( )O ( E khơng trùng với A và B). Đường thẳng d đi qua điềm E và vuơng gĩc với EI cắt hai đường thẳng d d1, 2 lần lượt tại ,M N .
1) Chứng minh AMEI là̀ tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh ENI EBI = và MIN =90°. 3) Chứng minh AM BN AI BI. = ⋅ .
4) Gọi F là điểm chính giữa của cung AB khơng chứa E của đường trịn ( )O . Hãy tính diện tích của tam giác MIN theo R khi ba điểm E I, , F thẳng hàng.
Bài 5. (0,5 diểm). Với x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 1 4 3 2011 4 M x x x = − + + . ……….HẾT……… HƯỚNG DẪN GIẢI Đề Số 11(2011-2012) Câu 1. Cho 𝐴𝐴 = √𝑥𝑥 √𝑥𝑥−5−𝑥𝑥−2510√𝑥𝑥 −√𝑥𝑥+55 , với 𝑥𝑥 ≠0 và 𝑥𝑥 ≥25. a) Rủt gon biểu thức 𝐴𝐴.
b) Tìm giá trị của 𝐴𝐴 khi 𝑥𝑥 = 9. c) Tim 𝑥𝑥 để 𝐴𝐴 <13.
Lời giải.
a) Vởi 𝑥𝑥 ≠0 và 𝑥𝑥 ≠25, ta cĩ
Zalo,sms:
𝐴𝐴 = √𝑥𝑥 √𝑥𝑥 −5− 10√𝑥𝑥 𝑥𝑥 −25− 5 √𝑥𝑥 + 5 =√𝑥𝑥𝑥𝑥 −(√𝑥𝑥25+ 5)−𝑥𝑥 −10√𝑥𝑥25−5(𝑥𝑥 −√𝑥𝑥 −255) =𝑥𝑥 + 5√𝑥𝑥 −10𝑥𝑥 −√𝑥𝑥 −25 5√𝑥𝑥+ 25 =𝑥𝑥 −10𝑥𝑥 −√𝑥𝑥25+ 25 = (√𝑥𝑥 −5)2 (√𝑥𝑥 −5)(√𝑥𝑥 + 5) =√𝑥𝑥 −5 √𝑥𝑥+ 5 b) Với 𝑥𝑥 = 9⇒ 𝐴𝐴 =√9−5√9+5=−14 c) 𝐴𝐴 <13⇔ √𝑥𝑥−5√𝑥𝑥+5<13⇔ 2√𝑥𝑥 < 20⇔ 0≤ 𝑥𝑥< 100. Kết hợp với kiều kiện xác định ta cĩ �0 <𝑥𝑥 ≠𝑥𝑥25< 100.
Câu 2. Giải bài tốn sau bằng cách lập phuơng trình hoăcc hệ phương trình:
Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 tấn hàng trong một số ngày quy định. Do mồi ngày đọ̀i đĩ chở vượt mức 5 tấn nên đội đã hồn thành kế hoạch sĩm hơn thời gian quy định 1 ngày và chờ thêm được 10 tấn. Hơi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết bao nhiêu ngày? Lịi giải.
Gọi 𝑎𝑎 (tấn), 𝑎𝑎 ≥ 0 : số tấn hàng mỡi ngày. Gọi 𝑏𝑏 (ngày), 𝑏𝑏 ∈ ℕ∗ : số ngày.
Theo đè̀ bài ta cĩ
�𝑎𝑎(𝑎𝑎×+ 5)(𝑏𝑏 = 140𝑏𝑏 −1) = 140 + 10
⇔ �𝑎𝑎𝑏𝑏5𝑏𝑏 − 𝑎𝑎= 140= 15⇒ 5𝑏𝑏2−15𝑏𝑏 −140 = 0⇔ �𝑏𝑏𝑏𝑏 = 7=−4(𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑙𝑙)
Vậy đội xe chở hết hàng theo kế hoạch trong 7 ngày.
Câu 3. Cho parabol (𝑃𝑃):𝑦𝑦 =𝑥𝑥2 và đường thẳng (𝑑𝑑):𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚2+ 9. a) Tìm tọa độ các giao điểm của parabol (𝑃𝑃) và đường thẳng (𝑑𝑑) khỉ 𝑚𝑚 = 1.
b) Tìm 𝑚𝑚 đễ đường thẳng (𝑑𝑑) cắt parabol (𝑃𝑃) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Lời giải.
Zalo,sms:
a) Phương trình hồnh độ giao điểm của Với 𝑥𝑥 =−2 ⇒ 𝑦𝑦 = 4⇒ 𝐴𝐴(−2; 4) - Với 𝑥𝑥 = 4 ⇒ 𝑦𝑦 = 16⇒ 𝐴𝐴(4; 16)
Vạyy tọa đọ̃ giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) là 𝐴𝐴(−2; 4);𝐴𝐴(4; 16).
b) Phương trình hồnh độ giao điểm của (𝑃𝑃) và (𝑑𝑑) là 𝑥𝑥2 = 2𝑥𝑥 − 𝑚𝑚2+ 9⇔ 𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+
𝑚𝑚2−9 = 0(1). Yều cầu bài tốn tương đương với phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt trái đấu ⇔ 𝑎𝑎×𝑐𝑐 < 0⇔ 𝑚𝑚2−9 < 0⇔ −3 < 𝑚𝑚 < 3
Vậy −3 <𝑚𝑚 < 3.
Câu 4. Cho đường trịn tâm 𝑂𝑂, đường kính 𝐴𝐴𝐴𝐴 = 2𝑅𝑅. Gọi 𝑑𝑑1 và 𝑑𝑑2 lần lượt là hai tiếp tuyến của đường trịn (𝑂𝑂) tại hai điểm 𝐴𝐴 và 𝐴𝐴. Gọi 𝐼𝐼 là trung điểm của 𝑂𝑂𝐴𝐴 và 𝐸𝐸 là điểm thuộc đường trịn (𝑂𝑂)(𝐸𝐸 khơng trùng với 𝐴𝐴 và 𝐴𝐴). Đường thẳng 𝑑𝑑 đi qua điểm 𝐸𝐸 và vuơng gĩc với 𝐸𝐸𝐼𝐼 cất hai đường thẳng 𝑑𝑑1,𝑑𝑑2 lần lượt tại 𝑀𝑀,𝑁𝑁.
a) Chứng minh 𝐴𝐴𝑀𝑀𝐸𝐸𝐼𝐼 là tứ giác nọ̄i tiếp. b) Chứng minh 𝐸𝐸𝑁𝑁𝐼𝐼� =𝐸𝐸𝐴𝐴𝐼𝐼� và 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑁𝑁� = 90∘. c) Chứng minh 𝐴𝐴𝑀𝑀 ⋅ 𝐴𝐴𝑁𝑁=𝐴𝐴𝐼𝐼 ⋅ 𝐴𝐴𝐼𝐼.
d) Gọi 𝐾𝐾 là điểm chính giữa của cung 𝐴𝐴𝐴𝐴 khơng chứa 𝐸𝐸 của đường trịn (𝑂𝑂). Hãy tính diện tích của tam giác 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑁𝑁 theo 𝑅𝑅 khi ba điểm 𝐸𝐸,𝐼𝐼,𝐾𝐾 thẳng hàng.
Lời giải.
a) Chứng minh 𝐴𝐴𝑀𝑀𝐸𝐸𝐼𝐼 là tứ giác nội tiếp:
Xét tứ giác 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼𝐸𝐸 cĩ 2 gĩc vuơng là 𝐴𝐴 và gĩc 𝐸𝐸 (đối nhau), nên MAIE là̀ tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính 𝑀𝑀𝐼𝐼.
b) Tương tự, ta cĩ 𝐸𝐸𝑁𝑁𝐴𝐴𝐼𝐼 là tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính 𝐼𝐼𝑁𝑁. Vậy 𝐸𝐸𝑁𝑁𝐼𝐼� =𝐸𝐸𝐴𝐴𝐼𝐼�
Zalo,sms:
(vì cùng chấn cung 𝐸𝐸𝐼𝐼�.) Tương tự 𝐸𝐸𝑀𝑀𝐼𝐼� =𝐸𝐸𝐴𝐴𝐼𝐼� (vì cùng chấn cung 𝐸𝐸𝐼𝐼�.)
Mà 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐼𝐼� +𝐸𝐸𝐴𝐴𝐼𝐼� = 90∘(△ 𝐸𝐸𝐴𝐴𝐷𝐷 vuơng tại 𝐸𝐸), suy ra 𝑀𝑀𝐼𝐼𝑁𝑁� = 180∘−(𝐸𝐸𝑀𝑀𝐼𝐼�+𝐸𝐸𝑁𝑁𝐼𝐼� ) = 90∘. c) Do △ 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 ∽△ 𝐼𝐼𝐴𝐴𝑁𝑁 ⇒𝐴𝐴𝐴𝐴𝐼𝐼𝐴𝐴 =𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝐼𝐼 ⇔ 𝐴𝐴𝑀𝑀 ⋅ 𝐴𝐴𝑁𝑁 =𝐴𝐴𝐼𝐼 ⋅ 𝐴𝐴𝐼𝐼(1).
d) Gọi 𝐺𝐺 là điểm đối xứng của 𝐾𝐾 qua 𝐴𝐴𝐴𝐴. Ta cĩ 𝐴𝐴𝑀𝑀+𝐴𝐴𝑁𝑁 = 2𝑂𝑂𝐺𝐺(2). (Vì tứ giác
𝐴𝐴𝑀𝑀𝑁𝑁𝐴𝐴 là hình thang và cĩ 𝑂𝑂𝐺𝐺 là đường trung bình) Ta cĩ 𝐴𝐴𝐼𝐼 =𝑅𝑅2;𝐴𝐴𝐼𝐼 =3𝑅𝑅2.
Từ (1) và (2) ta cĩ �𝐴𝐴𝑀𝑀𝐴𝐴𝑀𝑀 ⋅ 𝐴𝐴𝑁𝑁+𝐴𝐴𝑁𝑁== 23𝑅𝑅2𝑅𝑅 4
⇒ 𝐴𝐴𝑀𝑀;𝐴𝐴𝑁𝑁 là nghiệm của phương trình 𝑥𝑥2−2𝑅𝑅𝑥𝑥+3𝑅𝑅42 = 0.
Từ đĩ, suy ra 𝐴𝐴𝑀𝑀=𝑅𝑅2 và 𝐴𝐴𝑁𝑁 =3𝑅𝑅2 ⇒△ 𝑀𝑀𝐴𝐴𝐼𝐼 và △ 𝑁𝑁𝐴𝐴𝐼𝐼 là các tam giác vuơng cân
⇒ 𝑀𝑀𝐼𝐼 =𝑅𝑅√22 và 𝑁𝑁𝐼𝐼 =3𝑅𝑅√22 ⇒ 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐼𝐼𝐵𝐵 =12⋅√2𝑅𝑅 ⋅3𝑅𝑅√2=3𝑅𝑅42.
Câu 𝟓𝟓(0,5 điểm ). Với 𝑥𝑥 > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 𝑀𝑀 = 4𝑥𝑥2−
3𝑥𝑥+4𝑥𝑥1 + 2011. Lời giải.
Ta cĩ 𝑀𝑀= 4�𝑥𝑥 −12�2+𝑥𝑥+4𝑥𝑥1 + 2010≥2�𝑥𝑥 ⋅4𝑥𝑥1 + 2010 = 2011. Đẳng thức xảy ra khi 𝑥𝑥 =12.
Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑀𝑀 là 2011.
...HẾT………..