Phương phỏp toỏn tử được dựng rất rộng rói để tỡm phương trỡnh sai phõn của hệ điều khiển tự động. Tớch phõn của một quỏ trỡnh liờn tục được biểu diễn như sau:
t
0
y(t)=u(t)dt (4.24)
Biến đổi Laplace hai vế của (4.24) với điều kiện đầu bằng khụng ta cú:
=U(s)
Y(s)
s (4.25)
Vậy ta cú hàm truyền của khõu tớch phõn lý tưởng hay cũn gọi là toỏn tử tớch phõn:
=Y(s) =1
W(s)
U(s) s (4.26)
Hệ liờn tục PT vi phõn Biến đổi Laplace PT đại số W(s)
Đổi biến s 2 z 1 T z 1
− =
+
PT sai phõn Biến đổi Z PT đại số W(z) Hệ giỏn đoạn
Hỡnh 4.4. Sơ đồ quan hệ giữa W(s) và W(z)
1 s U(s) u(t) Y(s) y(t) (a) T u(t) t kT 0 (k+1)T (b) Hỡnh 4.5- Cỏch tớnh toỏn tử Tustin
32 Sơ đồ cấu trỳc của toỏn tử tớch phõn như trờn hỡnh 4.5a. Cú nhiều phương phỏp để chuyển hàm truyền liờn tục của toỏn tử tớch phõn sang hàm truyền giỏn đoạn. Sau đõy sẽ trỡnh bày phương phỏp Tustin hay cũn gọi là phương phỏp hỡnh thang.
Từ (4.24) cú thể suy ra đạo hàm của tớn hiệu ra chớnh là tớn hiệu vào. Trong trường hợp tớn hiệu giỏn đoạn ta cú thể viết:
y(k+1) - y(k) = [u(k+1)+y(k)]T/2 (4.25)
trong đú vế phải của 4.25 chớnh là diện tớch hỡnh thang cú hai cạnh đỏy u(k), u(k+1) và chiều cao là T trờn hỡnh 4.3b.
Biến đổi Z phương trỡnh 4.25 ta cú:
zY(z) - Y(z) = [zU(z) - U(z)]T/2 (4.26)
Y(z)(z-1) = (z+1)U(z)T/2
Vậy hàm truyền số trong trường hợp này chớnh là toỏn tử tớch phõn số:
+ = = + Y(z) T z 1 I(z) U(z) 2 z 1 (4.27)
Từ (4.26) và (4.27) ta cú tương đương giữa hai toỏn tử liờn tục và số:
+ = − 1 T z 1 s 2 z 1 hay = − + 2 z 1 s T z 1 (4.28) Cụng thức 4.28 cú tờn là cụng thức Tustin. Cụng thức này chớnh là cụng thức (4.23). Hỡnh 4.6 biểu diễn sơ đồ cấu trỳc của toỏn tử tớch phõn số.
Như vậy, từ hàm truyền W(s), thay s bằng biểu thức 4.28 ta được W(z). Dựng phương phỏp biến đổi ảnh và gốc ta tỡm
được phương trỡnh sai phõn, từ đú viết chương trỡnh mụ phỏng hệ liờn tục trờn mỏy tớnh. Thụng thường người ta dựng phương phỏp Tustin vỡ nú đơn giản và cho độ chớnh xỏc khỏ cao.