5.2.1. Biến cố ngẫu nhiờn và xỏc suất
- Phộp thử và biến cố
Khi thực hiện một số điều kiện nào đú ta núi rằng đó thực hiện một phộp thử. Cũn hiện tượng cú thể xảy ra trong kết quả của phộp thử được gọi là biến cố.
Vớ dụ: Hành động tung một con sỳc sắc là thực hiện một phộp thử cũn việc xuất hiện mặt nào đú được gọi là biến cố.
Cú 3 loại biến cố:
- Biến cố chắc chắn (U): là biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phộp thử. - Biến cố khụng thể cú (V): là biến cố nhất định khụng xảy ra khi thực hiện phộp thử.
42 - Biến cố ngẫu nhiờn: là biến cố cú thể xảy ra hoặc khụng xảy ra khi thực hiện phộp thử.
- Xỏc suất của một biến cố
Xỏc suất P(A) của biến cố A là một con số đặc trưng cho khả năng khỏch quan để xuất hiện biến cố A khi thực hiện phộp thử.
- Quan hệ giữa cỏc biến cố:
- Tớch cỏc biến cố: Biến cố A được gọi là tớch của cỏc biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy ra khi cả n biến cố Ai (i = 1 n) cựng đồng thời xảy ra: A = A1, A2, …, An.
Vớ dụ: HS thi tốt nghiệp 6 mụn, điều kiện để đỗ tốt nghiệp là khụng cú mụn nào bị điểm liệt.
- Tổng cỏc biến cố: Biến cố A được gọi là tổng của cỏc biến cố A1, A2, …, An nếu A xảy ra khi cú ớt nhất 1 trong số n biến cố Ai (i = 1 n) xảy ra: A = A1+ A2+ …+ An.
Vớ dụ: HS thi tốt nghiệp 6 mụn, HS sẽ trượt tốt nghiệp nếu cú một mụn bị điểm liệt.
- Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau nếu chỳng khụng cựng xảy ra trong một phộp thử. Vớ dụ: Biến cố mặt chẵn và mặt lẻ khi tung sỳc sắc.
Cỏc biến cố A1, A2, …, An được gọi là xung khắc từng đụi nếu bất kỳ hai biến cố nào trong chỳng cũng xung khắc với nhau. Cỏc biến cố A1, A2, …, An được gọi là hệ đầy đủ cỏc biến cố nếu chỳng xung khắc từng đụi và tổng của chỳng là một biến cố chắc chắn.
Vớ dụ: Gọi A là biến cố xuất hiện mặt cú số chấm chẵn, B là biến cố xuất hiện mặt cú số chấm lẻ khi tung một con sỳc sắc thỡ A, B là hệ đầy đủ.
- Biến cố đối lập: A và A được gọi là đối lập với nhau nếu chỳng tạo thành hệ đầy đủ cỏc biến cố hay núi cỏch khỏc là một và chỉ một trong hai biến cố phải xảy ra sau phộp thử.
5.2.2. Định nghĩa xỏc suất
Vớ dụ: Tung một con sỳc sắc. Gọi A là biến cố xuất hiện mặt cú số chấm chẵn. Tỡm P(A).
Khi thực hiện phộp thử cú 6 trường hợp đồng khả năng xảy ra, tuy nhiờn chỉ cú một kết quả. Trong đú cú 3 trường hợp mà nếu chỳng xảy ra sẽ làm cho biến cố xảy ra (đú là cỏc trường hợp 2, 4, 6 chấm). Cỏc trường hợp làm cho biến cố xảy ra được gọi là cỏc trường hợp thuận lợi cho biến cố.
P(A) = 3/6 = 0,5
Định nghĩa cổđiển về xỏc suất: Nếu trong một phộp thử cú tất cả n trường hợp đồng khả năng xảy ra trong đú cú m trường hợp thuận lợi cho biến cố A thỡ xỏc suất của biến cố A được định nghĩa là P(A) = m/n.
43 Cỏc tớnh chất của xỏc suất:
- Xỏc suất của biến cố ngẫu nhiờn hoặc bất kỳ: 0 < P(A) < 1. - Xỏc suất của biến cố chắc chắn: P(A) = 1 (m = n).
- Xỏc suất của biến cố khụng thể cú: P(A) = 0 (m = 0).
Định nghĩa thống kờ về xỏc suất: Tần suất xuất hiện biến cố A trong n phộp thử là tỷ số giữa số phộp thử trong đú biến cố xuất hiện và tổng số phộp thử được thực hiện.
Gọi số lần xuất hiện biến cố A là k và tần số xuất hiện biến cố A là f(A), ta cú: f(A)=k/n. Nếu tần số xuất hiện biến cố A luụn luụn dao động xung quanh một số xỏc định p nào đú khi số phộp thử tăng lờn khỏ lớn mà tần suất xuất hiện biến cố A càng tiến gần tới p thỡ p được gọi là xỏc suất của biến cố A theo quan điểm thống kờ: p(A) f(A).
5.2.3. Cỏc định lý xỏc suất
a- Định lý cộng xỏc suất:
Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thỡ P(A + B) = P(A) + P(B). Trường hợp tổng quỏt: Nếu A1, A2,…, An là xung khắc từng đụi thỡ xỏc suất của tổng cỏc biến cố bằng tổng cỏc xỏc suất: n n i i i 1 i 1 p( A ) p(A ) = = = b- Định lý nhõn xỏc suất
- Xỏc suất cú điều kiện: Xỏc suất của biến cố A được tớnh với điều kiện biến cố B khụng xảy ra được gọi là xỏc suất cú điều kiện của A và được kớ hiệu là p(A/B).
- Biến cố độc lập: Biến cố A được gọi là độc lập với biến cố B nếu việc A xuất hiện hay khụng cũng khụng ảnh hưởng đến xỏc suất biểu hiện của B. Cỏc biến cố A1, A2,…, An được gọi là độc lập toàn phần với nhau nếu mỗi biến cố trong chỳng độc lập với tớch của một số bất kỳ biến cố trong cỏc biến cố cũn lại.
Định lý: Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thỡ p(AB) = p(A).p(B) = p(B).p(A/B) Tổng quỏt: Nếu A1, A2, …, An cỏc biến cố bất kỳ thỡ:
p(A1A2…An) = p(A1)p(A2/A1)…p(An/A1A2…An-1)
Hệ quả: Nếu cỏc biến cố A1, A2,…, Anđộc lập toàn phần thỡ: p(A1A2…An) = p(A1)p(A2)…p(An)
c- Cụng thức xỏc suất đầy đủ, cụng thức Bayer
Giả sử H1, H2,…, Hn là hệ đầy đủ cỏc biến cố. Biến cố A cú thể xảy ra cựng với một trong những biến cố Hi (i = 1n). Khi đú:
n i i i 1 p(A) p(H )p(A / H ) = =
44
d- Cụng thức Bernoulli
- Dóy phộp thử độc lập: cỏc phộp thử được gọi là độc lập với nhau nếu xỏc suất để xảy ra một biến cố nào đú trong từng phộp thử sẽ khụng phụ thuộc vào việc biến cố đú cú xảy ra ở cỏc phộp thử khỏc hay khụng.
- Tiến hành n phộp thử độc lập. Mỗi phộp thử chỉ cú hai trường hợp xảy ra: hoặc biến cố A xảy ra hoặc biến cố A khụng xảy ra.
Xỏc suất để biến cố A xảy ra trong từng phộp thử đều bằng p.
Xỏc suất để biến cố A khụng xảy ra trong từng phộp thử đều bằng q = 1 - p. Những bài toỏn thoả món cỏc điều kiện trờn được gọi là tuõn theo lược đồ Bernoulli. Xỏc suất để trong n phộp thử độc lập biến cố A xảy ra đỳng k lần khụng kể thứ tự:
k k n k
n n
p (k)=C p q −
Xỏc suất để trong n phộp thử đú biến cố A xảy ra từ k1 đến k2 lần khụng kể thứ tự: 2 2 1 1 k k k k n k n 1 2 n n k k k k p (k , k ) p (k) C p q − = = = =
Vớ dụ: Bắn 5 viờn đạn vào một mục tiờu, xỏc suất trỳng đớch của mỗi viờn đạn là 0,7. Tỡm xỏc suất để cú đỳng 3 viờn đạn trỳng mục tiờu.
n = 5; k = 3; p = 0,7 3 3 2
5 5
p (5)=C .p .q =0, 441
5.2.4. Đại lượng ngẫu nhiờn và cỏc quy luật phõn phối xỏc suất
a- Đại lượng ngẫu nhiờn
Là đại lượng mà trong kết quả của phộp thử sẽ nhận một và chỉ một trong cỏc giỏ trị cú thể cú của nú với xỏc suất tương ứng xỏc định.
Đại lượng ngẫu nhiờn được ký hiệu bằng chữ in hoa: X, Y, Z… Cỏc giỏ trị cú thể nhận, ký hiệu bằng chữ in thường: x, y, z,… Đại lượng ngẫu nhiờn được chia thành hai loại:
- Đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc: là đại lượng ngẫu nhiờn mà cỏc giỏ trị cú thể cú của nú là hữu hạn hoặc vụ hạn đếm được (liệt kờ được).
- Đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục: cỏc giỏ trị cú thể cú của nú lấp đầy một khoảng liờn tục trờn trục số, khụng thể liệt kờ được.
b- Quy luật phõn phối xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờn
Quy luật phõn phối xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờn X là hỡnh thức cho phộp biểu diễn mối quan hệ giữa cỏc giỏ trị cú thể cú của X với cỏc xỏc suất tương ứng.
* Bảng phõn phối xỏc suất: Dựng để thiết lập quy luật phõn phối xỏc suất cho đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc.
X x1 x2 x3 … xk p p1 p2 p3 … pk
45 * Hàm phõn phối xỏc suất F(x): của đại lượng ngẫu nhiờn X là xỏc suất để X nhận giỏ trị nhỏ hơn x với x là một số thực bất kỳ.
F(x) = p(X < x) Nếu X là đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc thỡ i i x x F(x) p = Tớnh chất của hàm phõn phối: + 0 F(x) 1 với mọi x. + F(x) khụng giảm nghĩa là x1 < x2 F(x1) < F(x2). + p(x1 X x2) = F(x2) - F(x1) + F(+) = 1( xlim F(x) 1 →+ = ); F(-) = 0 ( xlim F(x) 0 →− = )
* Hàm mật độ xỏc suất (chỉ ỏp dụng cho đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục) f(x): của đại lượng ngẫu nhiờn X là đạo hàm bậc nhất của hàm phõn bố xỏc suất của đại lượng ngẫu nhiờn đú. Tớnh chất của hàm mật độ xỏc suõt: + f(x) 0 với mọi x. + b a p(a < x < b) = f(x)dx + x F(x) f(t)dt − = + f(x)dx 1 − = c- Cỏc thụng sốđặc trưng của đại lượng ngẫu nhiờn
* Kỳ vọng toỏn: kỳ vọng toỏn của đại lượng ngẫu nhiờn đặc trưng cho giỏ trị trung bỡnh của đại lượng ngẫu nhiờn đú.
X là đại lượng ngẫu nhiờn cú bảng phõn phối xỏc suất: X x1 x2 x3… xk
p p1 p2 p3 … pk
Kỳ vọng toỏn của X được tớnh bởi cụng thức sau: k i i
i 1 E(x) x p
=
=
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục với hàm mật độ xỏc suất f(x):
E(x) xf(x)dx
−
=
Tớnh chất của kỳ vọng toỏn: + E(C) = C với C = const. + E(Cx) = C.E(x)
46 * Phương sai: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiờn đặc trưng cho độ phõn tỏn cỏc giỏ trị cú thể cú của đại lượng ngẫu nhiờn xung quanh kỳ vọng toỏn của nú. Phương sai là kỳ vọng toỏn của bỡnh phương sai lệch giữa đại lượng ngẫu nhiờn X so với kỳ vọng toỏn của nú E(X):
D(X) = E([X - E(X)]2) = E(X2) - [E(X)]2
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiờn rời rạc thỡ: 2 k 2 i i i=1 E(X ) = x p
Nếu X là đại lượng ngẫu nhiờn liờn tục thỡ: 2 2
E(X ) x f(x)dx
−
=
Tớnh chất của phương sai: + D(C) = 0
+ D(CX) = C2.D(X)
+ Nếu X và Y là cỏc đại lượng ngẫu nhiờn độc lập: D(X+Y) = D(X) + D(Y) * Độ lệch tiờu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiờn là căn bậc hai của phương sai của đại lượng ngẫu nhiờn đú.
(X) D(X)
= , cú cựng thứ nguyờn với đại lượng ngẫu nhiờn.