Mạch điện xoay chiều hình sin1 pha

1.3.1. Mạch thuần điện trở (R)

a)Quan hệ giữa điện áp và dòng điện

Mạch ch có điện trở R

Hình 1-16: Mạch thuần điện trở và giản đồvectơ điện áp và dòng điện.

Giả sử cho dòng điện: i = Imax.sint (A) Theo định luật ohm u = i.R = R. Imax.sint Đặt:Umax = R. Imax Umax = U. 2 u = Umax.sint (V) (1-37)

Dòng điện và điện áp cùng pha.

b)Quá trình năng lƣợng

Công suất tức thời trong mạch thuần điện trở:

pR = u.i = Imax.Umaxsin2t. = Imax.Umax (1 – Cos2t) Công suất tác dụng sau khi lấy tích phân:

P =T 1  T 0 pR dt = U.I (W) (1-38)

Hình 1-17: Đồ thị hàm sin i, u, p trong mạch thuần điện trở.

1.3.2. Mạch điện thuần điện cảm (L) a)Quan hệ giữa điện áp và dòng điện a)Quan hệ giữa điện áp và dòng điện

Mạch ch có cuộn dây L

Hình 1-18: Mạch thuần điện kháng và giản đồvectơ điện áp và dòng điện.

Giả sử cho dòng điện: i = Imax.sint (A)

Điện áp trên điện cảm là:

                    2 t sin U 2 t sin LI dt ) t sin I ( d L dt di L

u max max Lmax

L

Trong đó: uLmax = LImax = XL. Imax.

Đặt: Umax = XL. Imax Umax = U√

uL = ULmax.sin(t + /2) (V) (1-39)

Hình 1-19: Đồ thị hàm sin i, u, p trong mạch thuần điện cảm.

b)Quá trình năng lƣợng

Công suất tức thời trong mạch thuần điện cảm:

pL = uL.i = Imax.ULmaxsin(t +/2).sint = Imax.ULmax sin2t Công suất tác dụng của điện cảm bằng không:

∫ (1-40)

Để biểu thị quá trình trao đ i năng lượng của điện cảm với mạch ngoài ta

đưa ra khái niệm công suất phản kháng QL của điện cảm. Tính theo công thức: QL = UL.I = XL. I2 (1-41)

Đơn vị của công suất phản kháng là VAr hoặc KVAr = 10-3VAr (Vôn –

Ampere – phản kháng)

1.3.3. Mạch điện thuần điện dung (C) a)Quan hệ giữa điện áp và dòng điện a)Quan hệ giữa điện áp và dòng điện

Mạch ch có cuộn dây L

Giả sử cho dòng điện: i = Imax.sint (A)

Điện áp trên điện cảm là:

                     U sin t 2 2 t sin I C 1 dt . t sin I C 1 idt C 1

uC max max Cmax

Trong đó: uCmax =

Imax = XC. Imax.

Đặt:UCmax = XC. Imax UCmax = UC√

uC = UCmax.sin(t -/2) (V) (1-42)

Dòng điện nhanh pha hơn điện áp.

Hình 1-21: Đồ thị hàm sin i, u, p trong mạch thuần điện kháng.

b)Quá trình năng lƣợng

Công suất tức thời trong mạch thuần điện dung:

p = uC.i = Imax.UCmaxsin(t -/2).sint = Imax.ULmax sin2t Công suất tác dụng của điện cảm bằng không:

∫ (1-43)

Để biểu thịquá trình trao đ i năng lượng của tụđiện với mạch ngoài ta đưa

QC = UC.I = XC. I (1-44)

Đơn vị của công suất phản kháng là VAr hoặc KVAr = 10-3Var (vôn –

ampere – phản kháng)

1.3.4. Mạch RLC mắc nối tiếp

Khi dòng điện I = Imaxsint qua nhánh R – L – C nối tiếp sẽ gây ra điện áp trên các phần tử R, L, C

Hình 1-22: Mạch RLC mắc nối tiếp và giản đồ vectơ điện áp và dòng điện.

Điện áp nguồn bằng:

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

Từđồ thịta tính được các trị số hiệu dụng của điện áp:

√ √ √

Hay: U = I.Z

Trong đó: √  (1-45)

Z có thứ nguyên là ôm, gọi là t ng trở của nhánh R, L, C.

Đặt: X = XL – XC (1-46)

X được gọi là điện kháng của nhánh.

Khái niệm về tam giác t ng trở: Từ các công thức trên ta thấy điện trở R,

điện kháng X và t ng trở Z là ba cạnh của tam giác vuông. Trong đó cạnh huyền là t ng trở Z, còn hai cạnh góc vuông là điện trở và điện kháng. Tam giác t ng trở giúp ta dễ dàng nhớ các quan hệ của R, X, Z và tính các góc lệch pha .

Hình 1-23: Tam giác tổng trở.

Quan hệ giữa dòng điện và điện áp trong nhánh R, L, C mắc nối tiếp: U = I.Z hoặc I =

Z U

Điện áp lệch pha với dòng điện một góc  = u - i được tính bằng:

(1-47)

 Nếu XL > XC,  > 0 mạch có tính chất cảm, dòng điện chậm sau điện áp một góc .

 Nếu XL < XC,  < 0 mạch có tính chất dung, dòng điện vượt trước điện áp một góc .

 Khi XL - XC = 0, góc  = 0 dòng điện trùng pha với điện áp, lúc đó có

hiện tượng công hưởng, dòng điện đạt trị số lớn nhất. Điều kiện

để có cộng hưởng: XL = XC  L  LC2 = 1 Mà  = 2f Ta có tần số cộng hưởng: √ (1-48) 1.3.5. Mạch RLC mắc song song

Cho điện áp u(t) = U√ sinωt V tác dụng vào mạch R – L – C song song. Gọi iR(t), iL(t), iC(t) là dòng tức thời qua R – L –C. Dùng định luật Kirchoff 1:

Hình 1-24: Mạch R – L – C song song và giản đồ vectơ điện áp và dòng điện.

Ta biểu diễn u(t) bởi vectơ ⃗⃗⃗. Lúc đó iR(t), iL(t), iC t được biểu diễn bởi

các vectơ.

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có modun IR = và cùng pha với ⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có modun IL = và chậm 90o so với ⃗⃗⃗. ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ có modun IC = và sớm 90o so với ⃗⃗⃗.

T ng các vectơ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sẽ được biểu diễn i(t) cần tìm. Suy ra trị

số hiệu dụng và pha của i(t):

 Trị số hiệu dụng: xét tam giác OAC.

√ √( ) ( ) (1-49) Với: √( ) ( ) (S) Y là t ng dẫn của mạch R – L –C song song. Ta định ngh a: Điện dẫn: (S) Cảm dẫn: Dung dẫn: Điện nạp: B = BL– BC = (1-50) Vậy t ng dẫn Y có dạng:

√ √ (1-51)  Góc lệch pha  giữa u và I cho bởi: (1-52)  Nếu XL > XC thì BL < BC và < 0: i vượt trước u.  Nếu XL < XC thì BL > BC và  > 0: i chậm sau u.  Nếu XL = XC thì BL = BC và  = 0: i cùng pha u. T ng dẫn Y có cực tiểu bằng G và nếu U không đ i thì I có cực tiểu: (1-53)

Đây là hiện tượng công hưởng, điều kiện cộng hưởng: LC 2 =1

Ta có tần số cộnghưởng:

√ (Hz) (1-54)

1.3.6. Công suất của dòng điện hình sina)Công suất tác dụng P a)Công suất tác dụng P

Công suất tác dụng là công suất trung bình trong một chu kỳ:

∫ ∫

Thay giá trị u và I ta có: ∫ √ √ Sau khi lấy tích phân ta có:

P = U.I.cos (W) (1-55)

Công suất tác dụng có thể tính bằng t ng công suất tác dụng trên các điện trở của các nhánh mạch điện.

P = Rn.In2 (1-56)

Trong đó Rn.In: điện trở, dòng điện của các nhánh.

Công suất tác dụng P đặc trưng cho hiện tượng biến đ i điện năng sang các

b)Công suất phản kháng Q

Để đặc trưng cho cường độ quá trình trao đ i năng lượng điện từ trường,

trong tính toán người ta đưa ra khái niệm công suất phản kháng Q.

Q = U.I.sin (1-57)

Công suất phản kháng có thể được tính bằng công suất phản kháng của

điện cảm và điện dung của mạch điện.

Q = QL – QC = XL.IL2–XC.IC2 (VAr) (1-58)

Trong đó: XL, XC, IL, IC lần lượt là cảm kháng, dung kháng, dòng điện của các nhánh.

c) Công suất biểu kiến S

Ngoài công suất tác dụng P và công suất phản kháng Q, người ta còn đưa ra

khái niệm công suất biểu kiến được định ngh a là:

S = U.I = √ (VA) (1-59)

Công suất biểu kiến còn được gọi là công suất toàn phần.

So sánh biểu thức của P và S ta thấy cực đại của công suất tác dụng (khi cos=1) bằng công suất biểu kiến, vậy S nói lên khả năng năng lượng của thiết bị. Trên biển máy phát điện, máy biến áp người ta ghi công suất biểu kiến định mức của thiết bị.

Quan hệ giữa S, P, Q được mô tả bằng một tam giác vuông, trong đó S là cạnh huyền, P và Q là 2 cạnh góc vuông. Tam giác đó được gọi là tam giác công suất.

Hình 1-25: Tam giác công suất.

P, S, Q có cùng một thứ nguyên, song để phân biệt người ta cho các đơn vị khác nhau. Đơn vị P là W, của Q là VAr và S là VA (Vôn – Ampere).

d)Ý ngh a và cách nâng cao hệ số công suất

 Định ngh a và ý ngh a của hệ số công suất

Từ tam giác t ng trở ta có:

√ (1-60)

Từ tam giác công suất ta có:

P = S.cos= U.I.cos (1-61) Cosđược gọi là hệ số công suất, nó phụ thuộc vào kết cấu mạch điện. Hệ số công suất có ngh a rất lớn trong sản xuất, chuyển tải và tiêu thụ điện.

 Mỗi máy điện đều được chế tạo với một công suất biểu kiến định mức (Sđm . Từ đó, máy có thể cung cấp một công suất tác dụng là P =

Sđm.cos. Do đó, muốn tận dụng khảnăng làm việc của máy điện và thiết bị thì hệ số công suất phải lớn.

 Mỗi hộ tiêu dùng yêu cầu một công suất tác dụng là P xác định. Khi đó, dòng điện chuyển tải đường dây I =

nếu hệ số công suất càng bé thì

dòng điện càng lớn và điều này dẫn đến tác hại:

 Dòng điện lớn phải dùng dây dẫn lớn dẫn đến tăng vốn đầu tư.

 T n thất năng lượng đường dây lớn khi dòng điện lớn vì Q = I2.R.t. Vì thế, việc nâng cao hệ số công suất sẽ làm giảm vốn đầu tư, xây dựng

đường dây và làm giảm t n thất năng lượng chuyển tải.  Nâng cao hệ số công suất

Nâng cao hệ số công suất sẽ tăng được khả năng sử dụng công suất nguồn và tiết kiệm dây dẫn, giảm được t n hao điện trên đường dây.

Như vậy với cùng một công suất biểu kiến, cos càng lớn (tối đa cos = 1) thì công suất tác dụng P càng lớn, do đó cos đặc trưng cho khả năng tận dụng của thiết bịđiện để biến năng lượng của nguồn thành công có ích.

Mặt khác nếu cần một công suất P nhất định trên đường dây một pha thì

dòng điện trên đường là

 UcosP

I

Nếu cos càng lớn thì I nhỏ dẫn đến tiết diện dây nhỏ hơn, t n hao điện

dây trên đường dây bé, điện áp rơi trên đường dây cũng giảm.

(1-62)

Trong sinh hoạt và trong công nghiệp, tải thường có tính cảm kháng nên làm cho cos giảm thấp. Để nâng cao cos, ta dùng tụ điện nối song song với tải.

1.3.7. iểu di n các đại lƣợng xoay chiều b ng b ng số phức 1.3.7.1. Định ngh a, biểu di n hình học số phức

Đơn vị ảo j định ngh a bởi: j2= – 1

Số phức là số có dạng: A = a + jb (1-63)

Với a, b là số thực (Re); gọi là phần thực và phần ảo (Im) của A.

Điểm A trong mặt phẳng có tọa độ (a, b) gọi là điểm biểu diễn của số phức A. Các số phức dạng A = a nằm trên trục hoành nên trục hoành gọi là trục thực (ký hiệu Re); các số phức dạng A = jb nằm trên trục tung nên trục tung gọi là trục ảo (ký hiệu Im); mặt phẳng gọi là mặt phẳng phức. Dạng A = a + jb gọi là dạng vuông góc của số phức. Số phức A* =

a – jb gọi là số phức liên hợp của A. với mỗi

điểm A, có một và ch một vectơ OA. Sự tương ứng:

Số phức A – điểm A – vectơ A tương ứng một gióng một.

1.3.7.2. Các phép tính số phức Các phép tính số phức làm giống số thực, với điều kiện j2 = -1; j3 = -j; j4 = 1… cho A = a + jb, B = c + jd. Ta định ngh a: Sự bằng nhau: A = B  (a = c và b = d) (1-64) Phép cộng: A + B = (a + c) + j(c + d) (1-65) Phép trừ: A - B = (a - c) + j(c - d) (1-66) Phép nhân: A.B = (ac – bd) + j(bc + ad) (1-67) Phép chia: (1-68)

Ví dụ 1.4:Cho A = 3 + j4; B = 4 – j2. Tính A + B, A – B, A.B, A/B. Vẽ điểm biểu diễn A, B, B* và A+B.

Giải A + B = 7 + j2; A - B = -1 + j6 A.B = 12 – j6 + j16 – j28 = 20 + j10

Điểm biểu diễn của B* đối xứng với B qua trục thực.

Điểm biểu diễn của A + B là điểm ngọn của vectơ t ng OA + OB.

1.3.7.3. Dạng lƣợng giác, dạng mũ, dạng c c

Cho số phức A = a + jb khác số 0. Gọi r > 0 là khoảng cách từ điểm A đến O và  là góc tạo bởi OA với trục thực (-180o <  <180o)

Cặp số (r, ) là tọa độ cực điểm A. Ta có:

a = r.cos; b = r.sin (1-69)

Số r gọi là trị tuyệt đối (hay biên độ) của điểm A, còn  gọi là agumen (hay góc) của điểm A. ký hiệu:

| | (1-70)

Hình 1-28: Biểu diễn dạng cực của số phức.

Thay a và b theo r và , ta có dạng lượng giác của số phức:

A = r (cos - jsin) (1-71) Dùng công thức Euler, ta được dạng mũ của số phức:

A= r.ej (1-72)

Trong đó r gọi là modun; : agumen của số phức. Cuối cùng dùng ký hiệu: / = cos + jsin = ej (1-73) Ta được dạng cực của số phức: A = r / = A /arctgA (1-74) Ta có: A = A* và arctgA = - arctgA*, tức là: (r /)* = r /- (1-75)

1.3.7.4. Đổi từ dạng vuông góc sang dạng c cvà ngƣợc lại

Khi giải mạch điện bằng số phức, việc quan trọng nhất là đ i số phức từ

dạng vuông góc sang dạng cực và ngược lại:

a)Đổi từ dạng vuông góc sang dạng c c

Cho A = a + jb

- Tính: | | √ (1-76)

- Tính: (1-77)

A = A /arctgb/a

Sau đó xác định  từ dấu của a và b, tức là vị trí của điểm A trong mặt phẳng.

b)Đổi từ dạng c c sang dạng vuông góc

Cho A = r / 

Suy ra A = r.cos +jr.sin (1-78)

a = r.cos; b = r.sin A = a + jb

1.3.7.5. Nhân và chia số phức dƣới dạng c c (dạng mũ)

Cho A = r1/1 ; B = r2 /2 Ta có:

A.B = r1(cos1 + jsin1). r2(cos2 + jsin2)

= r1 r2(cos1.cos2 – sin1.sin2 +j (sin1.cos2 + sin2.cos1) = r1 r2cos(1 + 2) + jsin(1 + 2)

Vậy: r1 /1). (r1 /2) = r1 r2 / 1 + 2 (1-79) Qui tắc: Nhân hai số phức bằng cách nhân biên độ và cộng góc.

(1-80)

1.3.7.6. iểu di n các đại lƣợng dòng điện hàm sin b ng số phức a)Điện áp phức, dòng điện phức

Cho điện áp hình sin: u(t) = U 2.sin(t + u)

Nếu  có sẵn thì hoàn toàn xác định khi biết U và e; và với U > 0 và -180o < u <180o. Trong biểu diễn vectơ, u(t) được biểu diễn bởi vectơ ⃗⃗⃗ lại tương ứng với một số phức duy nhất, ký hiệu ̇, có biên độ bằng U và góc u.

̇ (1-81)

Tương tựdòng điện hình sin: i(t) = I 2.sin(t +i)

Sẽđược biểu diễn bởi dòng điện phức:

̇ (1-82)

Các số phức ̇ ̇ gọi là điện áp phức và dòng điện phức. Ta nói u(t), i(t) là biểu diễn trong miền thời gian, còn ̇ ̇ là biểu diễn trong miền tần số.

Ví dụ 1.5:Đ i các điện áp thực và dòng điện thực sang dạng phức:

1) u(t) = 100√ sin(200t – 30o) 2) i(t) = 5√ cos(300t + 150o) 3) i(t) = -10√ cos(120t + 40o)

4) u(t) = 15√ cos8t + 10√ sin(8t + 30o) Giải

1) ̇ /-30o = 100(cos30o - jsin30o) = 86,6 – j50. 2) Đ i cos sang sin: i(t) = 5√ sin(300t – 240o)

Vậy: ̇ /-240o = 5(cos240o – jsin240o) = - 2, 5 + j4,3 3) Đ i -cos sang sin: i(t) = 10√ sin(120t – 50o)

4) Khi gặp nhiều t ng hàm sin cùng tần số, viết dưới dạng sin, cosin, - sin, -cosin; phải đưa hết về dạng sin, tìm biểu thức phức từng số hạng, xong cộng lại.

u(t) = 15√ sin(8t + 30o) + 10√ sin(8t + 30o) = u1(t) + u2(t) ̇ ̇ ̇ =15/90o + 15/30o = 8,66 + j20 b)Tổng trở phức Xét mạch điện gồm các phần tử R, L, C. Giả sử: u(t) = U 2.sin(t + u) i(t) = I 2.sin(t + i) Tức là: ̇ ̇ Ta định ngh a t ng trở phức trong mạch là: ̇ ̇ (1-83) Gọi Z và là biên độ và góc của Z, ta có: (1-84) Ta suy ra: ;  = (1-85)

Ngh a là t ng trở phức chứa hai đại lượng cơ bản của mạch điện:  Biên độ của là t ng trở của mạch.