Một số tính chất đơn giản

Giảsử V là một K-không gian véc tơ.

1) V chỉ có một véc tơ 0duy nhất.

2) Với mỗi V, véc tơ − là duy nhất.

3) Với mỗi V, − −( )=.

4) Với mỗi V và rK r,  =0 khi và chỉ khi r =0 hoặc  =0.

5) Với mỗi V và rK, ta có: ( )−r = −r= −r( ) .

Chứng minh.

1) Giả sử 0và '

0 là những véc tơ không của V. Theo điều kiện 3 trong định nghĩa, ta có 0+ '

0 = '

0 và 0+ '

0 = 0. Vậy 0= ' 0 .

2) Giả sử V có phần tử đối là − và '. Theo điều kiện 4 trong định nghĩa, '

( ) 0

+ − = = +  . Do đó, áp dụng các điều kiện1,2,2,3 trong định nghĩa, ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

' ' ' '

0 0 .

 = + = + + − =  + + − = + − = −

3) Vì − −( ) và  đều là véc tơ đối của− nên từ 2) suy ra − −( )=. 4)""

* Nếu r = 0 thì theo điều kiện 6),ta có: 0 =(0 0)+  =0 +0 .

Cộng −0 vào vế đầu và vế cuối ta được: 0=0 . * Nếu  =0 thì theo điều kiện 5), ta có:

0 (0 0) 0 0.

r =r +  =r +r

Cộng −r0 vào vế đầu và vế cuối ta được 0=r0.

""

Giả sử r=0 . Nếu r0 thì theo điều kiện 7) và 8), ta có:

1 1 1

1. ( r) (r ) 0 0.

r r r

 =  =  =  = =

5) Vì −(r) là véc tơ đối của r nên nhờ tính chất 2), ta chỉ cần chứng minh (−r) và r(−) đều là véc tơ đối của r.

Ta có: ( ) ( ) 0 0; ( ) ( ) 0 0. r r r r r r r r         − + = − + = = − + = − + = =

Điều đó chứng tỏ rằng(−r) và r(−) đều là véc tơ đối của r. Vậy: (−r) = −(r)= −r( ).