Số chiều của không gian con

2.5.2.1. Định lý 1

Giả sử W là một không gian con của K-không gian véc tơ V. Thế thì:

+) dim WK dimKV.

+) dim W= dimK KV khi và chỉ khi W = V.

Chứng minh.

+) Nếu W= 0 thì dim W= 0K dimKV.

Giả sử dim V= n, dim W= m > 0.K K Khi đó W có một cơ sở, chẳng hạn ( ) gồm m véc tơ. Vì ( ) là hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong W và WV nên ( ) cũng độc lập tuyến tính trong V. Theo bổ đề 2.4.2 ta có dim W= mK n = dimKV.

+) Suy ra từ hệ quả của mục 2.5.1.

2.5.2.2. Định lý 2.

Nếu U, W là những không gian con của K-không gian véc tơ V thì:

dim(U+W) dim= U+dim W dim(− UW).

Chứng minh.

Giả sử dimU = p, dimW=q, dim(UW)=r và

 1, 2,...,r ( )1

là một cơ sở của UW. Vì cơ sở này là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong U và trong W nên theo hệ quả 2.4.2.1 có thể bổ sung thành cơ sở

 1, 2,...,p r− , 1, 2,...,r ( )2

của U và thành cơ sở

của W. Ta sẽ chứng minh

 1, 2,...,p r− , 1, 2,...,  r, 1, 2,...,q r−  ( )4

là một cơ sở của U + W.

Trước hết ta chứng minh (4) là một hệ sinh của U + W.

Vì  1, 2,...,p r− , 1, 2,...,rUvà  1, 2,...,q r− Wnên hệ (4) nằm trong U + W. Giả sử   = + với 1 1 1 ... p r p r 1 ... r r a a b b U  =  + + −  − +  + +   , 1 1 1 ... r r 1 ... q r p r W. c c d d  =  + +  +  + + −  −  Thế thì 1 1 1 1 ... p r p r ( 1 1) ... ( r r) r 1 ... q r q r; a a b c b c d d  =  + + −  − + +  + + +  +  + + −  −

Nghĩa là hệ (4) là một hệ sinh của U+W.

Hơn nữa, hệ (4) độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử

( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ... p r p r 1 2 ... r r 1 2 ... q r q r 0 5 x +x  + +x −  − +y +y  + +y  +z +z  + +z −  − = Thế thì 1 2 1 2 1 2 1 2 ... p r p r 1 2 ... r r 1 2 ... q r q r W x +x  + +x −  − +y +y  + +y  = −z −z  − −z −  −  U , vì vế trái là một véc tơ trong U còn vế phải là một véc tơ trong W. Cơ sở của

W U là hệ (1) nên có thể viết 1 2 1 2 1 2 ... q r q r 1 2 ... r r z z  z −  − t t  t  − − − − = + + + , hay t11+t22+ +... trr +z11+z22+ +... zq r− q r− =0.

Vì hệ (3) độc lập tuyến tính nên ta suy ra: 1 2 ... r 1 ... q r 0 (6)

t = = = = = =t t z z − = Thay các giá trị này của zi vào (5) ta được

1 2 1 2

1 2 ... p r p r 1 2 ... r r 0.

x +x  + +x −  − +y +y  + +y  =

Từ (6) và (7) suy ra hệ (4) độc lập tuyến tính. Do đó nó là một cơ sở cuả U+W. Vậy:

dim(U+W)= − + + − = + − =p r r q r p q r dimU+dim W dim(− UW).