KHÔNG GIAN CON

2.2.1. Định nghĩa

Giả sử W là một tập hợp con của không gian véc tơ V. Nếu W cũng là một không gian véc tơ đối với hai phép toán đã cho trong V thì W được gọi là không gian con của V.

2.2.2. Tính chất đặc trưng

Định lý. Giả sử V là một không gian véc tơ trên trường K. W là một tập con của V.

Các mệnh đề sau tương đương:

i)W là một không gian con của V

ii)W   và với mọi  , W,mọi rK, ta có  + W,rW. iii) W   và với mọi  , W,mọi r s, K, ta có r+sW.

Chứng minh.

( )i ( ) :ii Nếu W là một không gian con của không gian véc tơ V thì W phải chứa véc tơ 0 của V. Do đó W . Các điều kiện còn lại của (ii) hiển nhiên được thỏa mãn.

( )ii ( ) :iii Hiển nhiên.

( )iii ( ) :i Giả sử các điều kiện của (iii) được thỏa mãn. Khi đó: Với  , W và r= = s 1 K, + =1+1K;

Với W và rK r,  =r+0K;

Nghĩa là các phép toán trong W cũng là hai phép toán trong V.

Ta kiểm tra 8 điều kiện trong định nghĩa của không gian véc tơ đều được thỏa mãn. Các điều kiện 1), 2), 5), 6), 7), 8) được thỏa mãn vì hai phép tính trong W chính là hai phép toán đã cho trong V. Ta chỉ cần kiểm tra các điều kiện 3), và 4).

Vì W   nên tồn tại W. Theo tính chất của không gian véc tơ, 0=0+0 , mặt khác, theogiả thiêt 0+0W. Do đó 0W.

Tương tự, với mỗi W ta đều có − = − ( 1)+0W.

Vậy W là một không gian véc tơ trên K và do dó W là mộ không gian con của V.

Ví dụ 1. Với mỗi không gian véc tơ V, bản than V và tập  0 là những không gian

con của V.

Các không gian con đó gọi là những không gian con tầm thường của V.

Ví dụ 2. Tập Pn gồm đ thức 0 và các đa thức có bậc bé hơn hay bằng n của K x 

là một không gian con của không gian véc tơ K x .

Ví dụ 3. Tập hợp W=( ,a a1 20) /a a1, 2  là một không gian con của 3 .

2.2.3. Tổng của những không gian con

Mệnh đề và định nghĩa. Giả sử W , W ,..., W1 2 m là những không gian véc tơ con của

K- không gian véc tơ V. Khi đó: Tập hợp W= 1+ 2+ +...  m/ iW ,i i=1,m là

một không gian con của V.

Không gian này được gọi là tổng của m không gian con Wi đã cho và được ký

hiệu bởi W1+W2+ +... Wm hay

1 W m i i=  .

Chứng minh. Vì 0W ,i i=1,m nên 0= + + + 0 0 ... 0 W; nghĩa là W  . Với   = 1+ 2+ +... mW,  = 1+ 2+ +... mW, rK, ta có: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 ... ... ( ) ( ) ... ( ) ... . m m m m m r r r r                   + = + + + + + + + = + + + + + + = + + +

Vì  i, iWi và Wi là không gian con của không gian véc tơ V nên

W , W

i i i r i

 +   , với i=1,m . Do đó:  +  

2.2.4. Giao của những không gian con

Mệnh đề và định nghĩa. Giả sử W , W ,..., W1 2 m là những không gin con của K -

không gian véc tơ V . Tập hợp

1 W m i i U =

= là một khôn gian con của V và được gọi

là giao của m không gian con Wi .

2.2.5. Không gian sinh bởi một hệ véc tơ

Định lý. Giả sử A= 1, 2,...,m là một hệ véc tơ của K - không gian véc tơ V. Khi đó tập hợp

1 1 2 2 

W= r +r + +... rmm/riK i, =1.m là một không gian on của V.

W được gọi là không gian sinh bởi hệ véc tơ A, còn A được gọi là hệ sinh của W.

Chứng minh. Vì 0=01+02+ +... 0mW nên W  Giả sử  , W,tK , chẳng hạn: 1 1 2 2 ... m m, 1 1 2 2 ... m m r r r s s s  =  +  + +   =  +  + +  Ta có: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 ... ... ( ) ( ) ... ( ) W. m m m m m m m r r r s s s r s r s r s            + = + + + + + + + = + + + + + +  1 1 2 2 1 1 2 2 ( ... m m) ( ) ( ) ... ( m) m W. t =t r +r + +r  = tr  + tr  + + tr  

Vậy W là một không gian con của V.

Chú ý. Không gian sinh bởi một véc tơ  ký hiệu bởi K. Nếu W là không gian sinh bởi hệ véc tơ  1, 2,...,m thì

1 W . m i i K = = Không gian W trên sinh bởi một hệ hữu hạn véc tơ gọi là không gian hữu hạn sinh. Có những không gian véc tơ có hệ sinh vô hạn nhưng không có hệ sinh hữu hạn nào. Ở đây ta chỉ xét các không gian véc tơ có hệ sinh hữu hạn.

Ví dụ 1. Giả sử V là không gian véc tơ hình học trong không gian (xem ví dụ 1

* Nếu OI thì tập U =rOI r/   chỉ chứa véc tơ 0, là một không gian con tầm thường của V.

* Nếu OI thì tập U =rOI r/  gồm các véc tơ gốc O, nằm trên đường thẳng OI.

+ Giả sử OJ là vec tơ không cùng phương với OI. Khi đó, tập

1 2 1 2 

W= r OI+r OJ r r/ ,  là một không gian con của V gồm các véc tơ OA OB, ,... nằm trong mặt phẳng(OIJ).

+ Giả sử OK không đồng phẳng với OI, OJ. Thế thì OI, OJ, OKlà một hệ sinh của V.

Thật vậy, mỗi véc tơ OA trong không gian đều có dạng:

1 2 3

1 1 2 2 3 3

OA OI OJ OK

(OA OI, OA OJ, OA OK).

r r r

r r r

= + +

= = =

Ví dụ 2. Xét không gian véc tơ 4 và không gian con W trong ví dụ 3, mục 2.2.

Hệ hai véc tơ 1 =(1, 0, 0, 0),2 =(0,1, 0, 0) của 4là một hệ sinh của W.

2.3. SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH –SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH2.3.1.Định nghĩa.Giả sửA= 1, 2,...,m−1,m ( )1 2.3.1.Định nghĩa.Giả sửA= 1, 2,...,m−1,m ( )1

là một hệ véc tơ của K- không gian véc tơ V, ( m > 0).

Định nghĩa 1.Nếu =r11+r22+ +... rm−1m−1+rmm thì ta nói  là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ A hay  biểu thị tuyến tính qua m véc tơ đã cho.

Định nghĩa 2. Hệ véc tơ A được goi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số

1, ,..,2 m1, m

r r r − r thuộc trường K, không đồng thời bằng 0, sao cho

r11+r22+ +... rm−1m−1+rmm =0.

Định nghĩa 3. Hệ véc tơ A được goi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính; nói cách khác, nếu

Ví dụ 1. Trong không gian véc tơ, mỗi véc tơ khác 0 đều lập thành một hệ véc tơ độc lập tuyến tính.

Thật vậy, giả sử 0 trong K- không gian véc tơ V.

Từ r =0 với r K, suy ra r = 0, nghĩa là  0 độc lập tuyến tính.

Ví dụ 2. Mọi hệ véc tơ chứa véc tơ 0đều phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy, giả sử  1, 2,...,m−1,m, 0là một hệ véc tơ bất kỳ của không gian véc tơ V.

Chọn r1 = = =r2 .. rm−1=rm =0,rm+1=1, ta có:

1 2 1

0 +0 + +... 0m− +0m+1.0=0.

Điều này chứng tỏ hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3. Trong không gian véc tơ hình học V, ba véc tơ lập thành một hệ phụ

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng; ba véc tơ lập thành một hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Thật vậy, OI OJ OA, , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ba số thực r r r1, ,2 3 không đồng thời bằng 0 sao cho r OI1 +r OJ2 +r OA3 =0, chẳng hạn ta lấy r3 0. Khi

đó 1 2 2 3 r r OA OI OJ r r = − − .

Điều này xảy ra chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng.

Ví dụ 4. Xét không gian véc tơ 4. Hệ gồm ba véc tơ

1 (1, 0, 0, 0), 2 (0,1, 0, 0), (4, 3, 0, 0)

 =  =  = − là phụ thuộc tuyến tính, còn các hệ véc tơ

      1, 2 ,  1, ,  2, độc lập tuyến tính. Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau.

2.3.2. Các tính chất

Theo định nghĩa, hai khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ là hai khái niệm phủ định lẫn nhau. Vì thế, khái niệm này có một tính chất gì thì lập tức suy ra một tính chất tương tự của khái niệm kia.

2.3.2.1.Tính chất 1.

i) Nếu thêm p véc tơ vào một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.

ii) Nếu bớt đi p véc tơ của một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì được một hệ độc

lập tuyến tính.

Chứng minh.

i) Giả sử hệ véc tơ A= 1, 2,...,m−1,m phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại m số s s1, ,..,2 sm−1,sm không đồng thời bằng 0, chẳng hạn si 0, sao cho:

1 2 1

1 2 .. m 1 m m m 0.

s +s  + +s − − +s  =

Thế thì:

s11+s22+ +.. sii+ +... smm+0m+1+ +... 0m p+ =0.

Theo định nghĩa, hệ vec tơ  1, 2,...,  i−1, i, i+1,..., m, m+1,...,m p+ phụ thuộc tuyến tính.

ii) Giảsử từ hệ véc tơ độc lập tuyến tính Abớt đi p véc tơ ta được hệ B. Nếu Bphụ thuộc tuyến tính thì theo chứng minh trên, thêm p véc tơ nói trên vào B ta lại được hệ Aphụ thuộc tuyếntính; trái với giả thiết. Vậy Bđộc lập tuyến tính.

2.3.2.2. Tính chất 2.

i) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ của hệ được biểu thị tuyến tính qua cá véc tơ còn lại.

ii) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 1) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có một véc tơ nào của hệ được biểu thị tuyến tính qua các véc tơ còn lại.

Chứng minh.

i) "" Giả sử hệ véc tơ A= 1, 2,...,m−1,m (1)

của không gian véc tơ V là phụ thuộc tuyến tính. Theo định nghĩa, tồn tại m số

i

rK , i, 2,...,m không đồng thời bằng 0, chẳng hạn r1 0 sao cho:

Khi đó, rii = −r11−r22− −... ri+1i+1− −... rmm.

Vì ri 0 nên từ đẳng thức trên suy ra: 1 1 2 1 2 ... i 1 ... m ; i i m i i i i r r r r r r r r    +   + = − − − − − −

nghĩa là i được biểu thị tuyến tính qua các véc tơ còn lại.

""Giả sử trong hệ véc tơ (1) có véc tơ i thỏa mãn đẳng thức

1 1 1

1 ... 1 1 ... .

i s si i si i sm m

 =  + + −− + ++ + + 

Thế thì s11+s22+ +.. si−1i−1+ −( 1)i+si+1i+1+ +... smm =0.

Vì có si = − 1 0 , điều đó chứng tỏ rằng hệ (1) phụ thuộc tuyến tính. ii) Trực tiếp suy ra từ i).

2.3.2.3. Tính chất 3.

i) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 0) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ đều chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.

ii) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 0) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc

tơ của V biểu thị tuyến tính được qua hệ đó theo hai cách khác nhau.

Chứng minh.

i) "": Giả sử hệ véc tơ  1, 2,...,m−1,m độc lập tuyến tính và 1 2

1 2 ... m m.

b b b

 =  +  + + 

Nếu  còn có cách bieur thị tuyến tính

' ' ' 1 2 1 2 ... m m. b b b  =  +  + +  thì ' ' ' 1 2 1 1 2 2 (b −b ) +(b −b ) + +... (bm−bm)m =0.

Vì hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính nên theo định nghĩa,

' ' '

1 1 2 2 ... m m 0.

b −b = −b b = =b −b =

Suy ra: ' ' ' 1 1, 2 2,..., m m

b =b b =b b =b ; nghĩa là cách biểu thị tuyến tính của  qua hệ véc tơ đã cho là duy nhất.

"": Nếu mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ 1, 2,...,m−1,m đều chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất thì 0=01+02+ +... 0m cũng là cách biểu thị tuyến tính duy nhất của 0 . Do đó nếu 0=r11+r22+ +... rmm thì bắt buộc

1 2 ... m 0.

r = = =r r = Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính. ii) Suy ra từ i).

2.3.2.4. Tính chất

i) Nếu thêm vào một hệ véc tơ độc lập tuyến tính một véc tơ không biểu thị tuyến

tính được qua hệ ấy thì được một hệ véc tơ độc lập tuyến tính.

ii) Nếu bớt đi ở một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính một véc tơ không biểu thị tuyến tính được qua các véc tơ còn lại thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính.

Chứng minh.

i) Giả sử A= 1, 2,...,m−1,m là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính của K- không gian véc tơ V. V là một véc tơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ A. Ta phải chứng minh hệ véc tơB= 1, 2,...,m−1, m, độc lập tuyến tính. Giả sử

1 2 1 2 ... m m 0. r +r + +r  +r = Nếu r0 thì 1 2 1 2 ... m m r r r r r r

 = −  −  − −  ; điều này trái với giả thiết về  . Do đó r = 0 và r11+r22+ +... rmm=0.

Vì A độc lập tuyến tính nên r1 = = =r2 ... rm =0. Vậy hệ B là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. ii) Suy ra ngay từ i).

2.4. CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ.

Trong bài giảng này ta chỉ xét các không gian véc tơ có hệ sinh hữu hạn. trên trường số.

Một hệ sinh độc lập tuyến tính của một không gian véc tơ khác  0 được gọi là một cơ sở của nó.

Không gian véc tơ  0 không có cơ sở, hay có thể nói, số véc tơ trong cơ sở của

không gian 0 bằng 0.

Ví dụ 1. Trong không gian véc tơ Pngồm các đa thức 0 và các đa thứcthuộc K[x]

với bậc bé hơn hay bằng n, hệ véc tơ  2 

1, ,x x ,...,xn là một cơ sở . Thật vậy, mỗi đa thức f x( )Pn đều có dạng 2

0 1 1

( ) ... n,

n i

f x =a +a x+a x + +a x a K,

với mọi i0,1, 2,...,n. Điều đó chứng tỏ  2 

1, ,x x ,...,xn là một hệ sinh của Pn . Mặt khác, nếu 2 0 1 2 ... n n 0 a +a x+a x + +a x = thì từ định nghĩa ta suy ra 0 1 2 ... n 0 a =a =a = =a = ; nghĩa là  2  1, , ,..., n

x x x là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. Vậy nó là một cơ sở của Pn.

Ví dụ 2. Trong không gian véc tơ 3, hệ ba véc tơ

1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0), 3 (0, 0,1)

 =  =  = là một cơ sở. Người ta gọi đó là cơ sở chính tắc.

Ví dụ 3. Trong không gian véc tơ 3, hệ ba véc tơ

1 (1,1, 0), 2 (0,1,1), 3 (1, 0,1)

 =  =  = là một cơ sở.

Thật vậy, ta chứng minh hệ véc tơ   1, 2, 3 là một hệ sinh của 3và độc lập tuyến tính.

Giả sử  =( ,a a a1 2, 3) là một véc tơ bất kỳ của 3. Ta tìm ba số r r r1, ,2 3 sao cho

1 2 3 1 21 3 r r r  =  +  +  hay 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 3 1 2 2 3 ( , , ) (1,1, 0) (0,1,1) (1, 0,1) ( , , 0) (0, , ) ( , 0, ) ( , , ). a a a r r r r r r r r r r r r r r r = + + = + + = + + + Ta có:

1 3 1 1 2 2 2 3 3 . r r a