SỰ ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH – SỰ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

là một hệ véc tơ của K- không gian véc tơ V, ( m > 0).

Định nghĩa 1.Nếu =r11+r22+ +... rm−1m−1+rmm thì ta nói  là tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ A hay  biểu thị tuyến tính qua m véc tơ đã cho.

Định nghĩa 2. Hệ véc tơ A được goi là phụ thuộc tuyến tính nếu có m số

1, ,..,2 m1, m

r r r − r thuộc trường K, không đồng thời bằng 0, sao cho

r11+r22+ +... rm−1m−1+rmm =0.

Định nghĩa 3. Hệ véc tơ A được goi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính; nói cách khác, nếu

Ví dụ 1. Trong không gian véc tơ, mỗi véc tơ khác 0 đều lập thành một hệ véc tơ độc lập tuyến tính.

Thật vậy, giả sử 0 trong K- không gian véc tơ V.

Từ r =0 với r K, suy ra r = 0, nghĩa là  0 độc lập tuyến tính.

Ví dụ 2. Mọi hệ véc tơ chứa véc tơ 0đều phụ thuộc tuyến tính.

Thật vậy, giả sử  1, 2,...,m−1,m, 0là một hệ véc tơ bất kỳ của không gian véc tơ V.

Chọn r1 = = =r2 .. rm−1=rm =0,rm+1=1, ta có:

1 2 1

0 +0 + +... 0m− +0m+1.0=0.

Điều này chứng tỏ hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 3. Trong không gian véc tơ hình học V, ba véc tơ lập thành một hệ phụ

thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng đồng phẳng; ba véc tơ lập thành một hệ độc lập tuyến tính khi và chỉ khi chúng không đồng phẳng.

Thật vậy, OI OJ OA, , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại ba số thực r r r1, ,2 3 không đồng thời bằng 0 sao cho r OI1 +r OJ2 +r OA3 =0, chẳng hạn ta lấy r3 0. Khi

đó 1 2 2 3 r r OA OI OJ r r = − − .

Điều này xảy ra chứng tỏ ba véc tơ đồng phẳng.

Ví dụ 4. Xét không gian véc tơ 4. Hệ gồm ba véc tơ

1 (1, 0, 0, 0), 2 (0,1, 0, 0), (4, 3, 0, 0)

 =  =  = − là phụ thuộc tuyến tính, còn các hệ véc tơ

      1, 2 ,  1, ,  2, độc lập tuyến tính. Từ định nghĩa ta suy ra các tính chất sau.