Theo định nghĩa, hai khái niệm độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ là hai khái niệm phủ định lẫn nhau. Vì thế, khái niệm này có một tính chất gì thì lập tức suy ra một tính chất tương tự của khái niệm kia.
2.3.2.1.Tính chất 1.
i) Nếu thêm p véc tơ vào một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính thì được một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính.
ii) Nếu bớt đi p véc tơ của một hệ véc tơ độc lập tuyến tính thì được một hệ độc
lập tuyến tính.
Chứng minh.
i) Giả sử hệ véc tơ A= 1, 2,...,m−1,m phụ thuộc tuyến tính. Khi đó tồn tại m số s s1, ,..,2 sm−1,sm không đồng thời bằng 0, chẳng hạn si 0, sao cho:
1 2 1
1 2 .. m 1 m m m 0.
s +s + +s − − +s =
Thế thì:
s11+s22+ +.. sii+ +... smm+0m+1+ +... 0m p+ =0.
Theo định nghĩa, hệ vec tơ 1, 2,..., i−1, i, i+1,..., m, m+1,...,m p+ phụ thuộc tuyến tính.
ii) Giảsử từ hệ véc tơ độc lập tuyến tính Abớt đi p véc tơ ta được hệ B. Nếu Bphụ thuộc tuyến tính thì theo chứng minh trên, thêm p véc tơ nói trên vào B ta lại được hệ Aphụ thuộc tuyếntính; trái với giả thiết. Vậy Bđộc lập tuyến tính.
2.3.2.2. Tính chất 2.
i) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 1) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ của hệ được biểu thị tuyến tính qua cá véc tơ còn lại.
ii) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 1) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi không có một véc tơ nào của hệ được biểu thị tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
Chứng minh.
i) "" Giả sử hệ véc tơ A= 1, 2,...,m−1,m (1)
của không gian véc tơ V là phụ thuộc tuyến tính. Theo định nghĩa, tồn tại m số
i
rK , i, 2,...,m không đồng thời bằng 0, chẳng hạn r1 0 sao cho:
Khi đó, rii = −r11−r22− −... ri+1i+1− −... rmm.
Vì ri 0 nên từ đẳng thức trên suy ra: 1 1 2 1 2 ... i 1 ... m ; i i m i i i i r r r r r r r r + + = − − − − − −
nghĩa là i được biểu thị tuyến tính qua các véc tơ còn lại.
""Giả sử trong hệ véc tơ (1) có véc tơ i thỏa mãn đẳng thức
1 1 1
1 ... 1 1 ... .
i s si i si i sm m
= + + −− + ++ + +
Thế thì s11+s22+ +.. si−1i−1+ −( 1)i+si+1i+1+ +... smm =0.
Vì có si = − 1 0 , điều đó chứng tỏ rằng hệ (1) phụ thuộc tuyến tính. ii) Trực tiếp suy ra từ i).
2.3.2.3. Tính chất 3.
i) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 0) là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ đều chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ đó.
ii) Một hệ gồm m véc tơ ( m > 0) là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc
tơ của V biểu thị tuyến tính được qua hệ đó theo hai cách khác nhau.
Chứng minh.
i) "": Giả sử hệ véc tơ 1, 2,...,m−1,m độc lập tuyến tính và 1 2
1 2 ... m m.
b b b
= + + +
Nếu còn có cách bieur thị tuyến tính
' ' ' 1 2 1 2 ... m m. b b b = + + + thì ' ' ' 1 2 1 1 2 2 (b −b ) +(b −b ) + +... (bm−bm)m =0.
Vì hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính nên theo định nghĩa,
' ' '
1 1 2 2 ... m m 0.
b −b = −b b = =b −b =
Suy ra: ' ' ' 1 1, 2 2,..., m m
b =b b =b b =b ; nghĩa là cách biểu thị tuyến tính của qua hệ véc tơ đã cho là duy nhất.
"": Nếu mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ 1, 2,...,m−1,m đều chỉ có một cách biểu thị tuyến tính duy nhất thì 0=01+02+ +... 0m cũng là cách biểu thị tuyến tính duy nhất của 0 . Do đó nếu 0=r11+r22+ +... rmm thì bắt buộc
1 2 ... m 0.
r = = =r r = Vậy hệ véc tơ đã cho độc lập tuyến tính. ii) Suy ra từ i).
2.3.2.4. Tính chất
i) Nếu thêm vào một hệ véc tơ độc lập tuyến tính một véc tơ không biểu thị tuyến
tính được qua hệ ấy thì được một hệ véc tơ độc lập tuyến tính.
ii) Nếu bớt đi ở một hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính một véc tơ không biểu thị tuyến tính được qua các véc tơ còn lại thì được một hệ phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh.
i) Giả sử A= 1, 2,...,m−1,m là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính của K- không gian véc tơ V. V là một véc tơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ A. Ta phải chứng minh hệ véc tơB= 1, 2,...,m−1, m, độc lập tuyến tính. Giả sử
1 2 1 2 ... m m 0. r +r + +r +r = Nếu r0 thì 1 2 1 2 ... m m r r r r r r
= − − − − ; điều này trái với giả thiết về . Do đó r = 0 và r11+r22+ +... rmm=0.
Vì A độc lập tuyến tính nên r1 = = =r2 ... rm =0. Vậy hệ B là hệ véc tơ độc lập tuyến tính. ii) Suy ra ngay từ i).