2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng quan sát hình a. Mục tiêu biện pháp
Biện pháp này nhằm tác động vào kỹ năng quan sát hình, vận dụng nó vẽ hình mô phỏng hình không gian của HS để giải quyết các bài toán. Thông qua đó “trí tưởng tượng không gian” của HS, đặc biệt là học sinh yếu kém được hình thành và phát triển.
b. Nội dung biện pháp
Rèn luyện kỹ năng quan sát hình, từ đó giúp học sinh tưởng tượng trong đầu được một hình nào đó khi nó không có thực trước mắt cũng như tưởng tượng được hình ảnh quan sát được của một hình, một vật thể khi quan sát nó ở góc nhìn nào đó. Cao hơn nữa HS có thể tưởng tượng được vị trí tương đối giữa hai hay nhiều hình, tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến giữa các khối hình hình học và tưởng tượng được quá trình chuyển động của một hình. Đối với HS diện yếu kém, để tạo được môi trường kích thích trí tưởng tượng không gian cho HS, giáo viên nên đưa ra các tình huống bắt nguồn từ thực tiễn đời sống giúp học sinh liên hệ thực tế và kiến thức toán học, giúp HS hình thành biểu tượng của hình từ các mô hình trực quan.
c. Ví dụ minh họa
Khi học HHKG lớp 11 thì nhiệm vụ đầu tiên của người HS là biết sử dụng những kí hiệu hình học biểu diễn các hình không gian trên giấy, trên bảng. Nhiệm vụ của HS là phải tưởng tượng ra hình đó. Đối với những HS không liên tưởng tốt thì thường sẽ không nhìn ra cái gì trong những khối hình góc cạnh. Vì vậy người GV phải hướng dẫn học sinh trước tiên hãy quan sát thật lâu, thật nhiều những khối hình trong thực tế, khối hình được vẽ trong sách, để HS tự nhìn vào đề và vẽ lại. Đó là bước khởi đầu quan trọng.
Ví dụ 2.1: Khi dạy phần Đại cương về đường thẳng, mặt phẳng, GV có thể
đưa các ví dụ sau:
- Khi dạy về khái niệm mặt phẳng GV có thể yêu cầu HS quan sát các hình ảnh mà HS đã tiếp xúc như: Mặt bảng, mặt bàn hoặc tưởng tượng lại trong đầu mặt nước ao hồ khi yên lặng. Và yêu cầu HS nhận xét đặc điểm chung của chúng ?
Hình 2. 1: Hình minh họa mặt phẳng
Học sinh có thể nhìn thực tế mặt bảng, mặt bàn hoặc tưởng tưởng lại hình ảnh đã trải qua “mặt nước ao hồ khi yên lặng” và trả lời: “Bề mặt chúng là mặt phẳng.” Từ đó GV dẫn dắt tới đặc điểm của mặt phẳng là “không có bề dày và không có giới hạn”.
- Khi dạy về tính chất thừa nhận 4 GV có thể đặt ra câu hỏi tình huống “Tại sao khi đóng bàn học cho chúng ta, người thợ mộc kiểm tra độ phẳng của mặt bàn bằng cách rê thước kẻ trên mặt bàn?”
Hình 2. 2: Hình minh họa tính chất thừa nhận 3
- Khi dạy tính chất thừa nhận 5 GV có thể yêu cầu học sinh quan sát lớp học và cho biết mặt tường gắn bảng và mặt trần nhà có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung của chúng có gì đặc biệt?
Ví dụ 2.2: Trước khi nghiên cứu về hình chóp, hình lăng trụ GV có thể đề ra
nhiệm vụ cho HS như sưu tập hình hoặc có thể mang ảnh đèn lồng hình lăng trụ, làm đèn trang trí hình chóp mang đèn lồng hình lăng trụ hoặc đèn trang trí hình chóp đến lớp (nếu có)
Hình 2. 3: Hình ảnh thực tế hình lăng trụ, hình chóp
Từ hình ảnh thực tế lồng đèn, đèn trang trí, có mặt đáy, mặt bên và khoảng không gian bên trong đối với lồng đèn. Từ đó khơi dậy trí tưởng tượng về hình chóp và hình lăng trụ theo cách nhìn không gian.
Những ví dụ trên giúp học sinh có thể tưởng tượng trong đầu được một hình nào đó khi nó không có thực trước mắt (như mặt hồ nước yên tĩnh); hay tưởng tượng được hình ảnh quan sát được của một hình, một vật thể khi quan sát thực tế ở một góc nhìn nào đó.
Ví dụ 2.3: Trong nhiều trường hợp học sinh biết quan sát các hình vẽ trên
giấy phẳng để từ đó tưởng tượng ra hình ảnh thực tế trong không gian.
Hình 2. 4: Hình minh họa tưởng tượng hai mặt phẳng giao nhau.
Ngày nay ngoài việc quan sát các hình có sẵn trong thực tế thì viêc sử dụng các mô hình để học sinh tưởng tượng được hình, tưởng tượng được ví trị tương đối giữa các hình, tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến giữa các hình thì việc sử dụng các bộ mô hình không gian vào giảng dạy HHKG ở lớp 11 cũng mang rất nhiều hiệu quả. Trong đó bộ lắp ghép hình học đa năng Gerobo do thầy giáo Nguyễn Ngọc Huy (1980) là giáo viên dạy Toán tại trường THPT Phan Đình Phùng sáng tạo là một trong những bộ mô hình linh hoạt, trực quan giúp các thầy cô giáo chủ động trong việc đưa ra các hình thực tế cho học sinh trong nhiều bài toán từ đó giúp các em học sinh phát triển TTTKG.
GV có thể sử dụng bộ lắp ghép Gerobo này lắp ghép các hình chóp,các hình lăng trụ để học sinh rèn luyện kỹ năng quan sát hình, chỉ ra được phần hình nào bị che khuất, bị che khuất bởi mặt phẳng nào, cũng như xoay hình nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau giúp phát triển TTTKG cho học sinh.
Hình 2. 5: Các hình không gian được lắp ghép từ bộ lắp ghép hình đa năng Gerobo
Học sinh cũng có thể sử dụng bộ lắp ghép Gerobo trực tiếp lắp ghép các hình ngay trên lớp. Sử dụng hình để giải các bài tập HHKG như xác định giao điểm, giao tuyến của hai mặt phẳng, cũng như xác định thiết diện.
Hình 2. 6: Học sinh sử dụng bộ lắp ghép đa năng Gerobo để học HHKG
Ngoài việc rèn luyện cho HS kỹ năng quan sát hình không gian để HS có thể nắm được các tính chất của hình, cũng như dựng hình mô phỏng hình không gian tốt. Thì kỹ năng quan sát hình vẽ hình học không gian còn với mục đích là giúp HS để giải các bài toán HHKG. Vậy để thực hiện có hiệu quả kỹ năng này HS cần: Nắm vững dữ liệu và yêu cầu của đề bài trước khi quan sát hình vẽ; Học sinh vẽ hình và tưởng tượng, cố gắng hình dung ra hình khối thật; Học sinh cần phân tích được điểm hay đường thẳng nằm trên mặt phẳng nào. Phân tích được đường thẳng đó nằm ở mặt bên hay mặt đáy hay nằm xuyên bên trong hình khối. Đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi có hai
điểm trên đường thẳng nằm trong mặt phẳng. Học sinh thường nhầm lẫn giữa hai đường thẳng cắt nhau và chéo nhau dẫn đến học sinh thường xác định sai giao tuyến, giao điểm,…Vậy nên học sinh phải phân biệt được đường thẳng như thế nào thì cắt nhau. Hai đường thẳng (không song song và không trùng nhau) chỉ cắt nhau khi chúng cùng nằm trên một mặt phẳng. Do đó, trước khi xác định giao điểm học sinh cần quan sát kiểm tra đó là giao điểm hai đường thẳng nào, hai đường thẳng đó đồng phẳng hay không, nếu có thì nằm trên mặt phẳng nào. Tránh việc xác định giao điểm của hai đường thẳng chéo nhau. Và HS cần nắm vững phương pháp giải toán để có định hướng quan sát hình.
Ví dụ 2.4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). a) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (SBC).
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAB) và (SDC).
Với bài toán tìm giao tuyến cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng hay một điểm chung và hai đường thẳng song song lần lượt trên hai mặt phẳng đó. Do đó, trước tiên học sinh cần quan sát tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng (là giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau lần lượt trên hai mặt phẳng và chú ý tránh nhầm lẫn với hai đường thẳng chéo nhau). Nếu chỉ tìm thấy một điểm chung thì học sinh tiếp tục quan sát tìm một cặp đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng và song song với nhau. Dựa vào các kiến thức hình học phẳng về đường trung bình, định lý Talet, trọng tâm trong tam giác, tình chất hình bình hành, hình thang,....Học sinh quan sát trên tam giác (đa giác) có chứa các yếu tố đó để tìm ra cặp đường thẳng song song cần tìm.
Lời giải:
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
( ) ( ) E AD E SAD E BC E SBC ∈ ∈ ⇒ ⇒ ∈ ∈ Suy ra : SE = (SAD) ∩ (SBC).
Hình 2. 7: Minh họa tìm giao tuyến 2 mặt phẳng
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất. Lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) thì / / / / . / / x x AB SAB CD SCD SAB SCD S S AB CD AB CD ⊂ ⊂ ⇒ ∩ =
2.2.2. Biện pháp 2: Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựng hình mô phỏng hình không gian
a. Mục tiêu biện pháp
Biện pháp này nhằm giúp HS dựng được hình mô phỏng của hình không gian giúp các em vượt qua rào cản tâm lý e ngại với các bài toán hình học không gian, phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh. Với hình vẽ chính xác và khả năng quan sát phân tích hình ảnh thì các em dễ dàng vượt qua những khó khăn do phân môn hình học mang lại.
b. Nội dung biện pháp
Sau khi cho rèn luyện cho học sinh kỹ năng quan sát hình, GV sẽ cho HS rèn luyện kỹ năng dựng hình mô phỏng hình không gian qua hệ thống các tính chất của phép chiếu song song, các quy tắc vẽ hình cũng như qua hệ thống bài tập. Từ đó giúp giúp HS tưởng tượng được hình ảnh quan sát được của một hình, một vật thể khi quan sát nó ở góc nhìn nào đó; tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến giữa các khối hình hình học.
Lưu ý của biện pháp, GV cần trang bị đầy đủ các quy tắc, tính chất cho học sinh trước khi yêu cầu học sinh dựng hình mô phỏng hình không gian.
Chuẩn bị một số kiến thức về hình học phẳng có liên quan:
Kiến thức hình học phẳng đóng vai trò rất quan trọng trong việc vẽ hình và giải toán hình học không gian. Các em cần phải nắm và nhớ rõ các thuộc tính của các đa giác thường gặp như: Tam giác cân, tam giác vuông, tam giác vuông cân, hình bình hành, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông…Và các yếu tố trong tam giác (đường trung tuyến, đường cao, trọng tâm, trực tâm,…)…Việc nắm vững kiến thức hình học phẳng giúp các em vẽ hình chính xác hình hơn. Chẳng hạn: Khi vẽ trọng tâm của tam giác học sinh
sẽ hiểu được và vẽ giao điểm hai đường trung tuyến hoặc vẽ đường trung tuyến và lấy 2
3 đường trung tuyến; Vẽ đường cao trong tam giác vuông cân học sinh sẽ liên tưởng tới đây đồng thời sẽ là đường trung tuyến hạ từ đỉnh góc vuông tới cạnh huyền và sẽ có đội dài bằng 1
2 cạnh huyền;… Học cách vẽ hình cơ bản:
- Yêu cầu học sinh quan sát các góc tường, bức tường, trần nhà, cửa sổ,…Sau đó để học sinh nhận xét trong không gian chúng có hình gì. Chẳng hạn, khi nhìn nghiêng: Bức tường hình chữ nhật và ô la – phông trần nhà hình vuông nhưng lại trở thành hình bình hành, hay góc vuông thì trở thành góc tù (hoặc góc nhọn),…Từ đó rút ra cho học sinh thấy, khi biểu diễn hình trong không gian thì hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông được biểu diễn là hình bình hành; Các tam giác vuông, tam giác cân hay tam giác đều được biểu diễn là tam giác thường;…
- Yêu cầu học sinh nắm vững quy tắc biểu diễn một hình không gian (quy tắc SGK/trang 45 – Hình học 11).
- Giáo viên sử dụng mô hình sẵn có và cho học sinh quan sát lại các hình khối đã được học ở lớp 9 như: Hình chóp tam giác, hình hộp, hình lập phương,…Sau đó cho học sinh quan sát các góc cạnh của hình rồi tưởng tượng phác họa ra hình vẽ. Điều đó sẽ kích thích khả năng tưởng tượng hình vẽ của các em sau này. Sau đó cho học sinh quan sát và nhận xét hình nào thông dụng, dễ nhìn và dễ sử dụng nhất.
c. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.5: Trước khi vẽ hình chóp tam giác giáo viên đưa cho học sinh quan
sát mô hình khối chóp tam giác. Sau đó yêu cầu học sinh tưởng tượng có thể vẽ được bao nhiêu hình khác nhau và cho học sinh lên bảng vẽ hình.
(1) (2) (3)
Hình 2. 8: Minh họa 3 cách vẽ hình biểu diễn hình chóp tam giác
Hình (1): Nhìn từ góc độ nghiêng thấy hai mặt bên của hình chóp. Hình (2): Nhìn từ trên đỉnh hình chóp nhìn xuống.
Hình (3): Hình nhìn từ dưới đáy nhìn lên hoặc nhìn từ một mặt bên của hình chóp.
Sau khi học sinh vẽ các trường hợp có thể xảy ra giáo viên yêu cầu học sinh quan sát hình vẽ và cho biết hình vẽ nào thể hiện rõ thuộc tính của hình chóp tam giác và dễ dàng sử dụng nhất. Sau khi quan sát học sinh nhận thấy hình (2) khi cần biểu diễn đường cao hay trọng tâm của đáy sẽ gây khó khăn cho các em trong quá trình quan sát để giải toán còn hình (1) và (3) dễ quan sát hơn hình (2) vì các mặt phẳng được thể hiện rất rõ. Trong đó hình (1) sẽ được sử dụng nhiều hơn vì ít đường khuất hơn so với hình (3). Từ đó GV hướng dẫn học sinh thực hiện các bước vẽ hình cơ bản: Nhiều em biết vẽ hình vẽ hình học không gian nhưng các em vẽ theo phản xạ riêng nên đôi lúc các em chưa nắm phương pháp vẽ hình cơ bản và thông dụng. Sau khi cho các em phân tích hình ảnh thực tế và tự phác thảo hình vẽ hình học không gian các em phân tích được những đường thẳng nào biểu diễn nét khuất, đường thẳng nào biểu diễn nét liền thì giáo viên hướng dẫn các em các bước để vẽ một hình vẽ hình học không gian hoàn chỉnh.
Chẳng hạn khi vẽ hình chóp:
to hoặc quá nhỏ hình không thật và khó quan sát. + Bước 2: Vẽ đỉnh hình chóp
Sau khi vẽ mặt đáy học sinh chấm một điểm phía trên là đỉnh. Chú ý: Chiều cao là một trong những yếu tố quyết định sự cân đối và tính thẩm mỹ của hình. Do đó để hình vẽ dễ quan sát học sinh cần chọn vị trí đỉnh hợp lý. Thông thường tôi hướng dẫn học sinh nên chọn đỉnh sao cho khoảng cách từ đỉnh đến cạnh bên trong của đáy dao động bằng 2 đến 3 lần bề rộng đáy khi đó hình vẽ sẽ cân đối hơn. Học sinh có thể chọn tương đối sao cho hình vẽ rõ ràng và dễ nhìn. + Bước 3: Vẽ các cạnh bên. a b (a = 2.5b)
Hình 2. 9: Minh họa cách vẽ hình dễ quan sát
- Giáo viên cho học sinh thực hành thêm cách vẽ một số hình thường gặp như: Hình chóp có đáy là tứ giác (hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật,…), hình hộp,…
Một số hình vẽ minh họa:
Hình chóp đáy Hình chóp đáy Hình hộp Hình lập phương tứ giác hình thang
GV truyền đạt kinh nghiệm vẽ hình để đảm bảo tính chính xác và thẩm mỹ của hình vẽ cho học sinh: Hình vẽ đúng và rõ ràng sẽ giúp học sinh quan sát tốt hơn và giải toán dễ dàng hơn . Việc vẽ hình sai sẽ khiến khả năng tưởng tượng của các em bị thu hẹp và gây khó khăn trong việc giải quyết yêu cầu bài toán. Do đó, giáo viên truyền đạt một số kinh nghiệm để học sinh tham khảo và áp dụng:
- Vẽ hình bằng viết chì thay vì dùng bút mực. Dùng bút chì các em sẽ dễ dàng sửa lại những chi tiết không hợp lý. Nên vẽ hình bên ngoài vào giấy nháp trước khi vẽ vào vở hay giấy thi, vì khi chứng minh hay làm bài các em có thể sử dụng viết màu (hai màu khác nhau) để tô lên hai mặt phẳng cần tìm giao