hình phẳng để giải quyết bài toán hình học không gian
a. Mục tiêu biện pháp
Khi giải quyết các bài toán hình học không gian học sinh yếu kém gặp phải nhiều khó khăn hơn so với các bài toán hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình dung để tìm các mối liên hệ giữa các yếu tố hình học ( như tưởng tượng được giao điểm, giao tuyến giữa các khối hình học…); việc chứng minh tính chất của một hình trong không gian … Khó khăn này sẽ ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giải quyết các bài toán hình học không gian. Biện pháp này giúp HS nhìn nhận hình một cách chính xác, trực quan, giúp HS sử dụng những hiểu biết về hình học phẳng giải quyết bài toán HHKG dễ dàng hơn.
b. Nội dung biện pháp
Trong quá trình dạy học, GV hướng dẫn HS tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian, giúp học sinh yếu kém quy một bài toán phức tạp về giải quyết bài toán đơn giản hơn, dễ hiểu và dễ thực hiện hơn.
Việc tách hình có thể thực hiện thông qua hoạt động trải hình (hay khai triển hình)… Đây là hoạt động khai triển các yếu tố không gian lên trên cùng một mặt phẳng, chuyển bài toán không gian về bài toán hình học phẳng, gắn kết bài toán phẳng và bài toán không gian.
c. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.12: (SGK hình học 11 – cơ bản – trang 49) Cho bốn điểm không
đồng phẳng A, B, C và D. Trên đoạn AB và AC lấy hai điểm M và N sao cho
1; 2
AM AN
BM = NC = . Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt (ABD), (ACD), (ABC) và (BCD) .
Đối với xác định giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với các mặt (ABD), (ACD), (ABC) là rất đơn giản kể cả với các HS yếu kém vì yếu tố 2 điểm chung đã được thể hiện ngay trên hình biểu diễn. N M D C B A
Hình 2. 22: Hình sau khi đọc đề bài ví dụ 2.12
Còn trong cách tìm giao tuyến của mặt phẳng (DMN) với mặt phẳng (BCD), HS khó tìm điểm chung thứ hai, hoặc rất dễ sai lầm trong tìm điểm chung thứ hai như kéo dài MN và DC sẽ cắt nhau. Vậy nên vấn đề trải hình ở bài toán này là cần thiết cho đối tượng học sinh yếu kém. Hình HS xác định SAI điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.
A B C D M N Hình 2. 23: Hình xác định giao tuyến sai ví dụ 2.12
GV có thể hướng dẫn học sinh tách hình như sau
E M N C B A Hình 2. 24: Trải hình ví dụ 2.12
Ta sẽ thấy MN và BC cắt nhau tại điểm E, và đó là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (DMN) với mặt phẳng (BCD).
Hình vẽ hoàn chỉnh của bài là (chú ý một cạnh CD và đoạn NC sẽ chuyển thành nét đứt trong hình biểu diễn)
E N M D C B A
Hình 2. 25: Hình vẽ đúng và hoàn thiện của ví dụ 2.12
Ví dụ 2.13: (SGK hình học – cơ bản – trang 51) Cho tam giác BCD và điểm A không thuộc mặt phẳng (BCD). Gọi K là trung điểm của đoạn AD và
G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm giao điểm của đường thẳng GK với mặt phẳng (BCD).
Định hướng phương pháp và lời giải:
J G K D C B A
HS xác định thêm trung điểm J của đoạn BD sau đó xác định trọng tâm G của tam giác ABD.
HS rất dễ có những sai lầm như kéo dài GK cắt BC hoặc cắt BD
J G K D C B A L L A B C D K G J GK cắt BC GK cắt BD
Hình 2. 27: Hình xác định giao điểm sai ví dụ 2.13
Trước những sai lầm đó GV có thể đặt ra vấn đề là các đường thẳng GK, BC hoặc GK, BD có cùng thuộc một mặt phẳng không? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Từ đó GV có thể hướng dẫn HS tách mặt phẳng (ACJ) ra để dễ quan sát.
L J G K C A Hình 2. 28: Trải hình ví dụ 2.13
Và ta dễ dàng thấy GK sẽ cắt JC tại điểm L.
L J G K D C B A
Hình 2. 29: Hình vẽ đúng và hoàn thiện của ví dụ 2.13
Ví dụ 2.14: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB,AD và G là trọng tâm tam giác SBD. Mặt phẳng
(MNG) cắt SC tại điểm H. Tính SH
SC .
Định hướng phương pháp và lời giải:
Đầu tiên HS cần xác định được giao điểm H của SC và mặt phẳng (MNG). Sau đó tách bộ phận phẳng (SAC), để tính SH
SC được dễ dàng hơn.
KHÔNG GIAN TÁCH MẶT PHẲNG (SAC)
Lời giải:
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E=MN∩AC. Trong mặt phẳng (SAC), gọi H = EG∩SC. Ta có: ∈ ; ⊂( ) ∈ H EG EG MNG H SC ⇒H =SC∩(MNG).
Gọi I , J lần lượt là trung điểm của SG và SH . Ta có // // IJ HG IA GE ⇒A,I ,J thẳng hàng Xét ∆ACJ có EH // AJ ⇒CH =CE =3 HJ EA ⇒CH =3HJ. Lại có SH =2HJ nên SC =5HJ. Vậy 2 5 = SH SC .
Đối với các bài toán xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng kỹ thuật khai triển hình không gian sang hình phẳng đã được thể hiện. Và kỹ thuật này còn được thể hiện rõ nét hơn với một số loại toán chứng minh tính chất của hình trong không gian.
Ví dụ 2.15: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, AG cắt (BCD) tại A’. Chứng
minh rằng A’ là trọng tâm của tam giác BCD ( Đường thẳng đi qua một đỉnh và trọng tâm của tứ diện đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy).
Định hướng phương pháp và lời giải:
Bằng việc bóc tách các yếu tố phẳng ra khỏi không gian, cụ thể tách bộ phận phẳng (ABN) ra ngoài, bài toán trên được chuyển thành bài toán hình học phẳng sau đây “Cho tam giác ABN, M là trung điểm của AB, G là trung điểm của MN, AG cắt cạnh BN tại A’. Chứng minh rằng BA’ = 2 A’N .”
Bài toán này học sinh THCS có thể dễ dàng chứng minh được sau khi đã học tính chất đường trung bình. Cụ thể chứng minh như sau: Kẻ đường thẳng qua M song song với AA’ cắt BN tại D. MD; GA’ lần lượt là đường trung bình của ABA’ và NMD nên BD = DA’ = A’N. Vậy BA’ = 2A’N.
Ví dụ 2.16: (SGK hình học 11 - Cơ bản) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Chứng minh đường thẳng AC’ đi qua trọng tâm G của BA’D.
Định hướng phương pháp và lời giải:
Hình 2. 32: Hình biểu diễn không gian và trải hình ví dụ 2.16
Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn, dễ hình dung, dễ giải quyết hơn nhiều nếu học sinh biết cách bóc tách các bộ phận phẳng (ACC’A’) ra khỏi không gian để đưa về bài toán hình học phẳng sau: “Cho hình bình hành AA’C’C, O là trung điểm cạnh AC, A’O cắt cạnh AC’ tại G. Chứng minh C’G = 2AG.”
Chứng minh:
Gọi E là trung điểm A’C’ kẻ CE cắt AC’ tại M. Dễ thấy A’ECO là hình bình hành nên CE // A’O. Vậy OG và EM lần lượt là đường trung bình của ADC và C’A’G AG = GM = MC’. (đpcm).
Ví dụ 2.17: Chứng minh trong một tứ diện có các cặp cạnh đối đôi một bằng
nhau ( tứ diện gần đều) thì các góc tam diện tại mỗi đỉnh có tổng các góc phẳng bằng 1800.
Định hướng phương pháp và lời giải: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KHÔNG GIAN MẶT PHẲNG
Hình 2. 33: Hình biểu diễn không gian và trải hình ví dụ 2.17
Ta trải các tam giác ABC, ABD, DCD lên mặt phẳng (BCD) sao cho điểm A của ABC nằm ở vị trí của điểm A1 và không thuộc nửa mặt phẳng chứa D có bờ BC; tương ứng điểm A của ABD nằm ở vị trí điểm A2 ; điểm A của ACD nằm ở vị trí điểm A3 .(như hình vẽ)
Khi đó BA1= BA2 = CD; BC = DA2 = DA3 và BD = CA1 = CA3 nên các tứ giác BCDA2 ; DBCA3 là các hình bình hành BC//DA2 ; BC//DA3 suy ra A2 ;
D; A3 thẳng hàng. Tương tự A1 ; B; A2 và A1 ; C; A3 thẳng hàng. Vậy: A1+ A2+ A3=1800 (đpcm).
2.2.4. Biện pháp 4: Sử dụng các phần mềm dạy học một cách hợp lý để tăng tính trực quan khi dạy học hình không gian
a. Mục tiêu phương pháp
Biện pháp này giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian ở tình huống tưởng tượng được quá trình chuyển động của một hình, xác định được vị trí trung gian của nó trong quá trình chuyển động. Giúp học sinh sửa và tránh một số sai lầm thường gặp khi giải toán hình học không gian như: không xác định được vị trí tương đối giữa các đối tượng cơ bản trong một hình không gian; không xác định được yếu tố quỹ tích trong một hình không gian thay đổi như thế nào khi yếu tố sinh ra quỹ tích chuyển động; không hình dung được hình không gian khi có thêm nhiều đối tượng xuất hiện làm thay đổi yếu tố nhìn thấy thành bị che khuất, vị trí tương đối của các đối tượng trở nên phức tạp.
b.Nội dung biện pháp
Một số khái niệm của hình học không gian được hình thành bằng cách mô tả và giáo viên có thể sử dụng các mô hình trực quan hoặc vật thật trong thực tế. Tuy vậy, các thao tác chúng ta cần thực hiện trên đó như lấy giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng hay xác định thiết diện cũng không dễ làm. Để khắc phục khó khăn này, chúng ta có thể sử dụng các phần mềm như Geospace thiết kế mô hình của một số hình không gian, từ đó giúp học sinh tưởng tượng được ra hình thật và hình thành trong đầu các biểu tượng, chúng sẽ trở thành các chất liệu cần thiết cho trí tưởng tượng không gian. Nhiệm vụ đặt ra ở đây là phát triển trí tưởng tượng không gian ở cấp độ thấp nhất: quan sát vật thể, mô hình… để hình thành một hình ảnh chung về quan niệm không gian trong đầu óc, và tiến lên một bước trừu tượng thành các biểu tượng không gian.
c. Ví dụ minh họa
Ví dụ 2.18: Về hình chóp
Trong sách giáo khoa Hình học 11, khái niệm hình chóp được trình bày như sau: “Trong mặt phẳng (P) cho đa giác lồi A1 A2...An. Lấy một điểm S nằm ngoài (P). Lần lượt nối S với các đỉnh A1 A2...An ta được n tam giác SA1A2, SA3A2 ,…, SA1An. Hình gồm đa giác A1 A2...An và n tam giác SA1A2, SA3A2 ,…, SA1An được gọi là hình chóp.”
Khi dạy khái niệm này, trước tiên giáo viên nên lấy các mô hình trực quan về hình chóp để học sinh có thể quan sát, hiểu được khái niệm và xác định được các yếu tố của nó như mặt đáy, mặt bên, cạnh bên… Sau đó giáo viên yêu cầu học sinh vẽ hình biểu diễn của những hình chóp vừa quan sát. Để thực hiện được yêu cầu này, học sinh phải tưởng tượng được khi nhìn hình chóp ở các góc nhìn khác nhau thì mặt nào của hình chóp ở phía trước, mặt nào ở phía sau, cạnh nào nhìn thấy, cạnh nào bị che khuất. Từ sự quan sát thực tế, một số học sinh đã có thể vẽ được đúng hình biểu diễn mặc dù có thể chưa trực quan. Khi đó, giáo viên sử dụng phần mềm Geospace để minh họa, giúp học sinh đã vẽ được hình biểu diễn kiểm tra xem mình làm đúng không, học sinh chưa vẽ được hình biểu diễn rút ra được cách làm.
Dưới đây là một minh họa cho trường hợp hình chóp ngũ giác. Giáo viên thiết kế mô hình hình chóp, thiết lập các chế độ hiển thị khác nhau. Trước hết, để cho học sinh quan sát hình chóp trên ở dạng hình khối, gọi học sinh mô tả mình đang nhìn thấy mặt nào và những cạnh nào bị che đi, sau đó làm “trong suốt” các mặt để hiện lên các cạnh, các mặt của hình chóp đã bị các mặt phía trước che khuất; xoay hình chóp theo các hướng khác nhau để giúp học sinh dễ dàng quan sát dưới nhiều góc nhìn.
Nếu sử dụng mô hình trực quan và các mặt của hình chóp được làm bằng nhựa trong, giáo viên cũng có thể giúp học sinh thấy được các phần nhìn thấy và bị che khuất của hình chóp khi nhìn ở các góc khác nhau. Tuy vậy, không có sự đồng đều trong quan sát vì mỗi học sinh ngồi ở các vị trí nhất định trong lớp. Hơn nữa, nếu sử dụng hình minh họa bằng phần mềm như trường hợp này, giáo viên còn có thể giúp học sinh tự nhận xét được nên vẽ hình biểu diễn như thế nào để nhìn vào đó dễ tưởng tượng nhất.
Geospace có chức năng cho phép trải một hình đa diện lên mặt phẳng. Có thể sử dụng chức năng này để cho học sinh quan sát thấy đã trải hình chóp lên mặt phẳng:
Hình 2. 35: GSP trải hình chóp lên mặt phẳng
Sau đó giáo viên có thể yêu cầu học sinh vẽ thêm hình biểu diễn của các hình chóp khác (hình chóp tam giác, tứ giác, lục giác…) và dùng phần mềm để học sinh kiểm tra những tưởng tượng của mình về các hình đó có đúng không và điều chỉnh nếu có sai lầm. Nhằm giúp học sinh dễ quan sát và mô tả hình không gian mình nhìn thấy hay xác định được vị trí của nó trong quá trình chuyển động, có thể tô màu một hoặc nhiều mặt của hình. Dưới đây là một ví dụ về hình tứ diện:
Hình 2. 36: GSP tô màu một hoặc nhiều mặt của hình chóp
Ví dụ 2.19: Về hình lăng trụ, định nghĩa hình lăng trụ được trình bày trong
sách giáo khoa Hình học 11 như sau: “Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P’). Trên (P) cho đa giác A1 A2...An. Qua các đỉnh A1 A2...An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P’) lần lượt tại A’1 A’2...A’n. Hình gồm hai đa giác A1 A2...An, A’1 A’2...A’n và các hình bình hành A1 A2A’2 A’1, A2 A3A’3 A’2,…, An A1A’1 A’n được gọi là hình lăng trụ.”
Đây là một hình phổ biến trong thực tế. Khi dạy khái niệm này, ngoài các mô hình trực quan chuẩn bị sẵn, giáo viên có thể lấy thêm nhiều ví dụ ngay trong
thực tế cuộc sống để minh họa và giúp học sinh nắm được khái niệm. Sau đó, có thể kết hợp với mô hình được thiết kế bằng phần mềm Geospace để giúp các em quan sát, nắm vững và hình dung một cách đúng đắn về hình lăng trụ. Cũng nhờ sự quan sát bằng hình dựng được bằng phần mềm, các em sẽ biết cách vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ và ngược lại, nhìn một hình biểu diễn sẵn có, các em có thể tưởng tượng và mô tả được hình lăng trụ ở góc nhìn đang được thể hiện. Dưới đây là một ví dụ về mô hình hình lăng trụ ngũ giác. Tùy vào ý đồ sư phạm mà giáo viên có thể lựa chọn cho hình lăng trụ này xoay theo các hướng khác nhau để giúp học sinh thấy được sự thay đổi của các mặt nhìn thấy hay bị khuất khi nhìn ở các góc khác nhau, từ đó giúp học sinh hình dung ra cách vẽ trên hình biểu diễn. Dưới đây là một số hình ảnh có được khi quan sát hình lăng trụ trong quá trình cho nó “chuyển động”:
Trên đây chỉ là một ví dụ về hình lăng trụ ngũ giác. Tùy vào mục tiêu của bài học và các tình huống sư phạm cụ thể, giáo viên có thể thiết kế các lăng trụ khác như lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác hoặc các hình lăng trụ đặc biệt hơn như hình hộp, hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đều…
Dưới sự hỗ trợ của phần mềm Geospace có thể giúp học sinh làm một số bài toán điển hình của hình học không gian 11, nhằm góp phần phát triển