Tính ổn định của hệ thống rời rạc tuyến tính

Tƣơng tự nhƣ trong hệ thống liên tục, để xét tính ổn định của một hệ thống rời rạc, ta phải giải phƣơng trình sai phân:

0 ( ) 1 ( 1) ... n 1 ( 1) n ( ) u ( i )

55 Tƣơng tự nhƣ phƣơng trình vi phân, nghiệm của phƣơng trình sai phân cũng bao gồm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát:

0

( ) q d( ) ( )

y n T  y n T  y n T (2.29)

Nghiệm tổng quát yqd(nT) (giải bằng cách cho vế phải của phƣơng trình sai phân bằng 0) đặc trƣng cho quá trình quá độ và nghiệm riêng y0(nT) đặc trƣng cho quá trình xác lập của hệ thống, nghĩa là nó không làm ảnh hƣởng đến tính ổn định của hệ thống.

Nhƣ vậy, để xét ổn định của một hệ thống rời rạc, tƣơng tự nhƣ hệ thống liên tục, ta chỉ phải giải phƣơng trình sai phân có dạng:

0 ( ) 1 ( 1) ... n 1 ( 1) n ( ) 0

a y in a y in  a  y i a y i  (2.30) Nghiệm của phƣơng trình này đƣợc xác định dựa vào nghiệm của PTĐT:

1 0 n 1 n ... n 1 n 0 a z  a z    a  z a  (2.31) Trong đó: ( ) . p T j T T i T z  e  e    e e (2.32) .( c o s s i n ) T z  e T  j T (2.33)

Biểu thức trên (cosωT + jsinωT) luôn có module giới hạn bằng 1, do đó, module của z là: |z|=eαT

Vậy: 0 , 1 0 , 1 0 , 1 z z z          (2.34)

Từ đó ta có mối quan hệ giữa mặt phẳng p và mặt phẳng z:

Mặt phẳng p Mặt phẳng z

0

  : Nửa bên phải mặt phẳng p z 1 : Bên ngoài đƣờng tròn đơn vị 0

  : Trục ảo j z 1 : Nằm trên đƣờng tròn đơn vị 0

  : Nửa bên trái mặt phẳng p z 1 : Bên trong đƣờng tròn đơn vị

56

Hình 2-31. Phân vùng ổn định trên mặt phẳng nghiệm số

Từ những phân tích trên ta thấy:

- Hệ thống điều khiển rời rạc tuyến tính sẽ ổn định nếu PTĐT của hệ thống có các nghiệm thực hoặc nghiệm phức có module nhỏ hơn 1 (|z|<1).

- Hệ thống điều khiển rời rạc tuyến tính sẽ không ổn định nếu PTĐT của hệ thống có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức có module lớn hơn 1 (|z|>1).

- Hệ thống điều khiển rời rạc tuyến tính sẽ ổn định nếu PTĐT của hệ thống có ít nhất một nghiệm thực hoặc phức có module bằng 1 (|z|=1) và các nghiệm còn lại là nghiệm thực hoặc phức có module nhỏ hơn 1.

2.3.2.2. Khảo sát chất lượng hệ thống rời rạc tuyến tính

Tƣơng tự nhƣ hệ thống ĐKTĐ liên tục, quá trình hoạt động của một hệ điều khiển rời rạc cũng đƣợc đặc trƣng bởi sự vận hành của nó ở quá trình quá độ và xác lập. Bên cạnh đó, ngƣời ta cũng quan tâm khảo sát quá trình hoạt động của hệ thống khi có nhiễu, sự nhạy cảm của hệ thống khi có sự thay đổi về thông số và cấu trúc hệ thống. Sau đây, chúng ta sẽ khảo sát chất lƣợng của hệ thống rời rạc ở quá trình quá độ và ở trạng thái xác lập.

a) Khảo sát chất lƣợng hệ thống rời rạc ở quá trình quá độ

Tiêu chí ở quá trình quá độ đƣợc xác định theo hàm quá độ nhƣ ở hệ liên tục đối với hệ bậc 2 vì một mặt ở hệ bậc 2, chỉ tiêu chất lƣợng có thể đƣợc xác định bằng phƣơng pháp giải tích, mặt khác các mối quan hệ này vẫn có ý nghĩa đối với các hệ bậc cao hơn.

57 Nếu chu kỳ lấy mẫu nhỏ hơn nhiều so với chu kỳ riêng của đối tƣợng thì điều khiển liên tục hay gián đoạn kiểu bậc thang nhờ bộ lƣu giữ bậc 0 cũng cho đáp ứng giống nhau. Nhƣ vậy, tƣơng tự nhƣ trong hệ liên tục, quá trình quá độ của hệ rời rạc cũng đƣợc đánh giá theo các tiêu chí:

- Độ quá điều chỉnh: Độ quá điều chỉnh đƣợc xác định bởi trị số cực đại của hàm quá độ so với trị số xác lập của nó: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

m a x % y y .1 0 0 y      (2.34)

- Thời gian quá độ: Thời gian quá độ tqd đƣợc xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ y(t) không vƣợt ta khỏi biên giới của miền giới hạn Δ quanh trị số xác lập Δ = ±5%y∞ hay có khi dùng Δ = ±2%y∞.

- Thời gian đáp ứng: thời gian đáp ứng tm xác định bởi thời điểm mà hàm quá độ lần đầu tiên đạt đƣợc trị số xác lập y∞ khi có quá điều chỉnh.

- Thời gian có quá điều chỉnh: Thời gian có quá điều chỉnh tσ đƣợc xác định bởi thời điểm hàm quá độ đạt cực đại.

b) Khảo sát chất lƣợng hệ thống rời rạc ở trạng thái xác lập

Hình 2-32. Hệ thống điều khiển rời rạc tuyến tính

Chất lƣợng của hệ thống của hệ thống rời rạc cũng đƣợc phản ánh qua sai số xác lập, sai số càng nhỏ hệ thống có chất lƣợng càng cao, nếu hệ thống có chất lƣợng lý tƣởng thì sai số này sẽ bằng 0. Sau đây ta sẽ khảo sát sai số này.

Sai lệch giữa tín hiệu vào và ra của hệ thống kín nhƣ sau:

  1 E ( ) ( ) 1 WL G( ) .WL T( ) .WF H( ) z U z Z p p p   (2.35)

58 Trong đó e(t) là sai lệch tĩnh ở chế độ xác lập (e(∞)).

Theo định lý về mối quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc trong biến đổi Z ta sẽ xác định đƣợc sai số xác lập hay sai lệch tĩnh ở chế độ xác lập nhƣ sau:

1

1 1

1 ( ) lim ( ) lim (1 z ) ( ) lim ( )

i T z z z e e iT E z E z z           (2.36) Khi ( ) 1( ) ( ) 1 z u t t U z z     ta có sai số xác lập đƣợc xác định nhƣ sau:   1 1 ( ) li m 1 ( W ( ) .W ( ) .W ( ) z L G L T F H e Z p p p     (2.37) Khi ( ) ( ) 2 ( 1) T z u t t U z z     ta có sai số xác lập đƣợc xác định nhƣ sau:   1 ( ) lim ( 1) 1 ( W ( ) .W ( ) .W ( ) z L G L T F H T e z Z p p p        (2.38)

59

3. CHƢƠNG 3. CÁC CƠ CHẾ ƢU TIÊN ĐỂ LẬP LỊCH THÔNG

ĐIỆP TRONG CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN QUA MẠNG CAN 3.1. Cơ chế ƣu tiên tĩnh

Trong ƣu tiên tĩnh, mỗi node trong mạng có một ƣu tiên cố định và duy nhất, node nào có ƣu tiên cao hơn sẽ luôn đƣợc thực hiện trƣớc node có ƣu tiên thấp hơn.

Các phƣơng pháp lập lịch cho cơ chế ƣu tiên tĩnh:

3.1.1. Cơ chế Rate Monotonic

Là phƣơng pháp lập lịch với ƣu tiên tĩnh mà qua đó tác vụ (node) nào có nhu cầu thƣờng xuyên hơn thì sẽ đƣợc ƣu tiên hơn. Hình dƣới mô tả chu kỳ hoạt động của 3 node2 (T2 = 3.05s), node1 (T1 = 4.12s) và node3 (T3 = 6.2s). Ta thấy rằng, node2 có chu kỳ bé nhất nên đƣợc ƣu tiên nhất.

Hình 3-1. Phƣơng pháp RM

- Phƣơng pháp này dựa trên một số giả thiết sau:

o Tất cả các tác vụ tham gia hệ thống phải có deadline kiểu chu kỳ.

o Tất cả các tác vụ độc lập với nhau.

o Thời gian thực hiện của các tác vụ biết trƣớc và không đổi.

o Thời gian chuyển đổi ngữ cảnh thực hiện là rất nhỏ và có thể bỏ qua. Thuật toán RM đƣợc thực thi theo nguyên lý gán mức ƣu tiên cho các tác vụ dựa trên chu kỳ của chúng. Tác vụ nào có chu kỳ nhỏ thì sẽ đƣợc gán mức ƣu tiên cao. Theo nguyên lý này với các tác vụ có chu kỳ không đổi thì RM sẽ là phƣơng pháp lập lịch cho phép ngắt và mức ƣu tiên cố định. Tuy nhiên RM hỗ trợ yêu cầu hệ thống không tốt.

60 Nếu có thể lập lịch đƣợc cho một tập các tác vụ (nghĩa là các thời hạn (deadline) và chu kỳ đều đƣợc đáp ứng) với các mức ƣu tiên cố định thì việc gắn cho các tác vụ đó các mức ƣu tiên theo nguyên tắc tác vụ có chu kỳ ngắn hơn có mức ƣu tiên cao hơn sẽ cho phép đƣa ra một thuật toán lập lịch tối ƣu [8].

Chứng minh: dùng phƣơng pháp quy nạp (xem Laplante). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Một tập hợp bao gồm n tác vụ có chu kỳ sẽ lập lịch đƣợc bằng phƣơng pháp RM (RM - schedulable) nếu hệ số sử dụng CPU với tập hợp đó thỏa mãn điều kiện đủ sau đây: 1 / ( 2 n 1) U  n  (3.1) Khi n   :U  ln 2  0 , 6 9 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 4 16 64 256 1024 4096 U ti liza ti o n

The Number of Tasks

RM Utilization Bounds

Hình 3-2.Giản đồ quan hệ giữa số tác vụ và hệ số sử dụng CPU theo RM

3.1.2. Cơ chế Deadline Monotonic(DM)

Là phƣơng pháp lập lịch tĩnh mà qua đó tác vụ nào có thời hạn ngắn hơn thì đƣợc ƣu tiên hơn

Hình 3-3. Phƣơng pháp DM

1

61

2

 có chu kì 3s, thời hạn D2 = 3s.

D1 < D2, do vậy node 1 sẽ đƣợc ƣu tiên hơn node 2, và đƣợc thực hiện trƣớc, trong thời gian node 2 đang thực hiện mà có yêu cầu của node 1 thì node 2 phải dừng lại để node 1 thực hiện xong rồi mới đƣợc thực hiện tiếp.

Sách lƣợc ƣu tiên này là tối ƣu cho một tập hợp các tác vụ có chu kỳ và thƣờng xuyên, theo các mô hình hệ thống hạn chế sau:

- Tất cả các tác vụ có thời hạn nhỏ hơn hoặc bằng chu kỳ của chúng.

- Các tác vụ có thời gian thực hiện xấu nhất nhỏ hơn hoặc bằng thời hạn của chúng.

- Các tác vụ độc lập và không thực hiện xen chặn nhau. - Không có tác vụ tự động hạn chế nó.

- Có một số thời điểm, đƣợc gọi là một khoảnh khắc quan trọng, khi mà tất cả các tác vụ đều sẵn sàng để thực hiện cùng một lúc.

- Thời gian chuyển tiếp từ tác vụ này sang tác vụ khác bằng 0.

Nhƣ chúng ta đã biết, mỗi bản tin trong mạng CAN đều bao gồm trƣờng ID, nơi thể hiện mức độ ƣu tiên của khung truyền. Mạng CAN sẽ thực hiện việc so sánh từng bit trƣờng ID từ bit có trọng số cao nhất (Most Significant Bit) đến bit có trọng số thấp nhất (LSB – Least Significant Bit) của mỗi khung. Bit 0 là bit “dominant”, bit 1 là bit “recessive”. Bit 0 có mức độ ƣu tiên cao hơn bit 1, do vậy, mức độ ƣu tiên càng cao thì giá trị ID càng thấp. Khung có mức độ ƣu tiên cao hơn sẽ đƣợc ƣu tiên truyền đi trƣớc, khung có mức độ ƣu tiên thấp sẽ phải đợi cho đến khi khung có mức độ ƣu tiên cao hơn truyền xong thì mới bắt đầu đƣợc truyền. Nhƣ vậy, mỗi khung truyền sẽ chỉ có một ID cố định (ƣu tiên tĩnh). Cơ chế ƣu tiên tĩnh tồn tại nhiều hạn chế bởi vì các luồng dữ liệu truy nhập vào NCSs thay đổi liên tục. Ngoài ra, với các luồng dữ liệu có độ ƣu tiên thấp thì QoS và QoC không đƣợc đảm bảo. Ví dụ, khi xem xét hai node A và B, node A có độ ƣu tiên cao hơn node B. Tại thời điểm t, cả node A và node B đều truyền bản tin vào mạng. Để đảm bảo QoS của mạng theo yêu cầu thì bản tin từ node B phải đƣợc ƣu tiên truyền trƣớc do có độ khẩn cấp cao hơn, nhƣng node B chỉ có thể truyền bản tin sau khi node A hoàn thành quá trình truyền. Điều này làm giảm hiệu năng của hệ thống.

62 Hạn chế khác của ƣu tiên tĩnh có thể đƣợc tìm thấy khi chúng ta xem xét đáp ứng thời gian của các ứng dụng điều khiển quá trình cái mà đƣợc đặc trƣng hóa bởi 2 chế độ: chế độ quá độ (bởi vì một đầu ra thay đổi hoặc một nhiễu) và chế độ thƣờng trực (hệ thống trong trạng thái ổn định). Trong chế độ quá độ các khung phải đƣợc truyền ngay khi có thể để có đƣợc một số các yêu cầu QoC nhƣ thời gian đáp ứng, quá tải, thời gian quá độ (nghĩa là các khung có sự cấp thiết phải truyền cao). Trái lại, trong chế độ thƣờng trực, các khung không đƣợc truyền một cách nhanh chóng (nghĩa là các khung có sự cấp thiết phải truyền nhỏ). Chúng ta có thể nhìn thấy điều đó, ƣu tiên tĩnh không thể khắc phục điều đó.

3.2. Cơ chế ƣu tiên động

Mục đích của cơ chế ƣu tiên động là thích ứng với quá trình thay đổi động và tạo thành một cấu hình tối ƣu theo cách tự bền vững. Một số cơ chế ƣu tiên động.

3.2.1. Cơ chế EDF (Earliest – Deadline – First)

Nhƣ đúng tên gọi của phƣơng pháp, thuật toán lập lịch theo phƣơng pháp này sử dụng deadline của tác vụ hay nhƣ điều kiện ƣu tiên để xử lý điều phối hoạt động. Tác vụ có deadline gần nhất sẽ có mức ƣu tiên cao nhất và các tác vụ có

deadline xa nhất sẽ nhận mức ƣu tiên thấp nhất. Ƣu điểm nổi bật của phƣơng pháp này là giới hạn có thể lập lịch đáp ứng đƣợc 100% cho tất cả các tác vụ. Hơn nữa mức ƣu tiên gán cho mỗi tác vụ trong quá trình hoạt động là động, vì vậy chu kỳ của tác vụ có thể thay đổi bất kỳ lúc nào theo thời gian.

EDF có thể đƣợc áp dụng cho các tập tác vụ chu kỳ và cũng có thể mở rộng để đáp ứng cho các trƣờng hợp các deadline thay đổi khác nhau theo chu kỳ.

Vấn đề chính của thuật toán lập lịch EDF là không thể đảm bảo đƣợc tác vụ nào trong hệ thống có thể không đƣợc thực thi trong tình huống quá độ hệ thống bị quá tải. Trong nhiều trƣờng hợp mặc dù mức độ sử dụng trung bình nhỏ hơn 100% nhƣng vẫn có thể trong một tình huống nào đó vẫn vƣợt qua khả năng đáp ứng của hệ thống, tức là sẽ có tác vụ không đƣợc đảm bảo thực thi đúng. Trong những trƣờng hợp nhƣ vậy cần phải điều khiển để biết tác vụ nào bị lỗi không thực hiện thành công hoặc tác vụ nào đƣợc thực hiện thành công trong quá trình quá độ.

63 Nguyên lý: Trong các tác vụ của danh sách sẵn sàng, tác vụ nào có thời hạn sớm nhất sẽ đƣợc gán mức ƣu tiên cao nhất.

Định lý: Xét một tập hợp của n tác vụ với giả thiết rằng cho mỗi tác vụi ta đều có pi  di. Khi đó, điều kiện cần và đủ để có thể lập lịch cho tập hợp này bằng phƣơng pháp EDF là hệ số sử dụng CPU của tập hợp đó thỏa mãn điều kiện: U 1

Ví dụ ta có 4 tác vụ sau: T1( 3 , 4 ) ,T2( 5 , 3 ) , T3( 6 , 3 ) , T4( 7 , 3 ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Trƣờng hợp này 3 3 3 3 2 .4 8 1

4 5 6 7

U       là trƣờng hợp quá tải với EDF

T 1 5 0 7 T 2 T 3 T 4 3 6 D e a d l i n e M i s s T 1 5 0 7

Hình 3-4. Trƣờng hợp quá tải với EDF

So sánh EDF và RM

- EDF mềm dẻo hơn và do đó hiệu quả hơn về mặt sử dụng thời gian của CPU: không có chuyện CPU không làm gì khi vẫn còn tác vụ đang chờ, điều vẫn có thể xảy ra với RM

- Về mặt hành vi, hệ thống sử dụng RM dễ dự liệu hơn, trong trƣờng hợp quá tải, vỡi RM chỉ có các tác vụ có mức ƣu tiên thấp mới bị lỡ hạn, còn các tác vụ có mức ƣu tiên cao không bị ảnh hƣởng, trong khi với EDF không thể nói trƣớc tác vụ nào sẽ bị lỡ hạn (deadline miss).

- Với EDF, tác vụ bị lỡ hạn sẽ có mức ƣu tiên cao hơn các tác vụ chƣa tới hạn, có thể gây lỡ hạn dây chuyền khi hệ thống quá tải. Do vậy, cần cơ chế loại bỏ những tác vụ đã lỡ hạn mà không còn quan trọng.

3.2.2. Cơ chế Least Slack Time First (LST)

Nguyên tắc của cơ chế LST là tác vụ nào có thời gian còn lại trống nhỏ nhất thi đƣợc ƣu tiên nhất.

64

Hình 3-5. Cơ chế LST

ri là là thời gian khi mà một tác vụ bắt đầu ở hàng đợi

ei khối lƣợng thời gian tác vụ đó thực hiện

eri là thời gian đƣợc yêu cầu để hoàn thành các công việc còn lại của một tác vụ.

Cơ chế lập lịch LST là hữu ích nhất trong các hệ thống bao gồm các tác vụ chủ yếu là không tuần hoàn, bởi vì không có giả định trƣớc khi đƣợc thực hiện trên tỷ lệ của các sự kiện xảy ra. Điểm yếu chính của LST là nó không dự đoán trƣớc đƣợc, và chỉ hoạt động trên hệ thống hiện hành. Vì vậy, trong một tình trạng quá tải nhất thời về tài nguyên hệ thống, LST có thể là tối ƣu. Nó cũng sẽ là tối ƣu khi sử