Chương 3: Bộ chuyển pha 90 độ băng rộng
3.3.2. Thiết kế máy biến áp đáp ứng xung vô hạn IIR Hilbert
Phương pháp thiết kế máy biến áp IIR Hilbert được Ansari giới thiệu trong [30]. Loại máy biến áp IIR Hilbert này sử dụng các bộ lọc nửa dải thông thường, bằng cách sửa đổi thiết kế bộ lọc elliptic thông thường sao cho tất cả các cực của bộ lọc nửa dải nằm trên một trục. Hàm truyền đạt nửa băng IIR lý tưởng có dạng [31]:
𝐻𝐻𝐵(𝑧) = 1 + 𝑧−1𝐺(𝑧2) (3.35)
Trong đó, 𝐺(𝑧2) là bộ lọc toàn dải. 𝐻𝐻𝐵(𝑧) lý tưởng là bằng +2 trong dải thông và bằng 0 ở dải chặn như trong hình 3.13(a). Như được trình bày trong Hình 3.13(a-e), hàm truyền đạt của một máy biến áp Hilbert IIR lý tưởng được cho bởi
𝐻(𝑧) = 𝑧−1𝐺(−𝑧2) (3.36) Chúng tôi biểu diễn:
40
F(z) có độ lớn và hàm pha bằng 0 trong dải thông và ±π trong dải chặn, như trong hình 3.13(c). Hàm pha này có thể được viết dưới dạng
Φ(𝜓) = 0.5𝜋{𝑠𝑔𝑛[sin(2𝜓)] − 𝑠𝑔𝑛𝜓} (3.38) Nếu nhân F(z) với j, ta được
𝑗𝐹(𝑧) = 𝑗𝑒𝑗Φ(𝜓) = 𝑒𝑗[Φ(𝜓)+0.5𝜋] (3.39)
tức là, hàm pha được nâng lên 0,5π như thể hiện trong Hình 3.13(d). Bằng cách thay z
thành jz trong jF (z), hàm pha sau đó được dịch chuyển dọc theo trục 𝜓 một khoảng 0,5π và cho kết quả cuối cùng như trong Hình 3.13(e); nghĩa là, hàm pha của máy biến áp Hilbert lý tưởng được cho bởi công thức (3.17). Lưu ý rằng tất cả các phép biến đổi không làm thay đổi hàm biên độ của F (z). Vì vậy,
𝐻(𝑧) = 𝑗(𝑗𝑧)−1𝐺((−𝑗𝑧)2) = 𝑧−1𝐺(−𝑧2) (3.40)
Máy biến áp Hilbert có thể được thiết kế để có hàm pha tương đương và phân bố biên độ chính xác bằng cách sử dụng bộ lọc elliptic nửa băng tổng quát. Như được đề xuất trong [31], 𝐺(−𝑧2) có thể được biểu thị bằng
𝐺(−𝑧2) = 𝑧2 𝐻1(𝑧2)
41
Hình 3.13: Từng bước biến đổi hàm truyền đạt IIR của máy biến áp Hilbert được xác định bởi (3.36), bắt đầu từ hàm truyền của bộ lọc nửa băng lý tưởng được
đưa ra bởi (3.35)
Hình 3.14. Bộ lọc 𝑯𝟏(−𝒛𝟐) và 𝒛−𝟏𝑯𝟏(−𝒛𝟐)tạo thành một cặp máy biến áp Hilbert
42
Trong đó, 𝐻1(𝑧2) và 𝐻0(𝑧2) đều đi qua các cực bên trong vòng tròn đơn vị. Do đó,
𝐻1(−𝑧2) và 𝑧−1𝐻0(−𝑧2) tạo thành một cặp bộ dịch pha 90° như hình 3.14. Dạng tường minh của hàm truyền đạt của máy biến áp Hilbert được đưa ra bởi
𝐻(𝑧) = 𝑧−1∏ 𝑧−2− 𝑎𝑖