Chương 3: Bộ chuyển pha 90 độ băng rộng
3.3.1 Thiết kế máy biến áp FIR Hilbert
Có một số phương pháp để thiết kế máy biến áp FIR Hilbert thời gian rời rạc. Ví dụ, bằng cách cắt bớt hàm cửa sổ và dịch chuyển đáp ứng xung lý tưởng (3.18), các hệ số của máy biến áp FIR Hilbert theo quan hệ nhân quả sẽ thu được. Biến áp FIR Hilbert cũng có thể được suy ra từ các thiết kế tương ứng cho bộ lọc nửa băng đối xứng [27, 28]. Trong phần này, thiết kế của một máy biến áp FIR Hilbert đặc biệt hữu ích có băng tần hỗ trợ căn giữa tại 𝜓 = −𝜋/2 được giới thiệu.
36
Hình 3.9
Hình 3.10
Máy biến áp FIR Hilbert có thể được thiết kế bằng cách gán các số không cho hàm truyền phức của nó 𝐻(𝑧) = 𝐻𝐼(𝑧) +j𝐻𝑄(𝑧) trong vùng - 𝜋 < |𝜓 <0. Một số 0 trong hàm truyền của bộ lọc FIR nhân quả được nhận ra bởi hệ số sau:
37
trong đó số 0 nằm ở 𝜓 = 𝜓1 Trong cách tiếp cận của chúng tôi để thiết kế một FIR Hilbert
biến áp, các số không được phân bổ tại 𝜓 = −𝜋/2, hoặc xuất hiện như một cặp đối xứng xung quanh -𝜋/2, tức là, . 𝜓 = −𝜋/2 ± ∅. Do đó, dạng tổng quát của hàm truyền là:
H(z)=(1 + 𝑗𝑧−1)𝑘∏𝑚𝑖=1(1 + 𝑗2 cos 𝜙𝑖𝑧−1− 𝑧−2)
trong đó k là số các số không nằm tại 𝜓 = −𝜋/2 và m là số các cặp số 0 xung quanh −𝜋/2. Mở rộng phương trình trên và tách các số hạng với các hệ số thực và ảo, các hàm truyền 𝐻𝐼(𝑧) và 𝐻𝑄(𝑧) thu được.
Nếu máy biến áp FIR Hilbert có số 0 lẻ tại 𝜓 = −𝜋/2 , thì hàm truyền 𝐻𝐼(𝑧) và
𝐻𝑄(𝑧) có thể được biểu diễn dưới dạng [29]:
𝐻𝐼(𝑧)=𝑎0 − 𝑎1𝑧−2+ 𝑎2𝑧−4+ ⋯ + (−1)𝑛𝑎𝑛𝑧−2𝑛
𝐻𝑄(𝑧)=𝑎𝑛𝑧−1− 𝑎𝑛−1𝑧−3+ 𝑎𝑛−2𝑧−5+ ⋯ + (−1)𝑛𝑎0𝑧−(2𝑛+1)
với n là một số nguyên không âm. Thứ tự của máy biến áp FIR Hilbert được xác định là lũy thừa cao nhất của 𝑧−1, … ,2𝑛 + 1. Hệ số đầu tiên đã chuẩn hóa 𝑎0 thành 1. 𝐻𝐼(𝑧) và 𝐻𝑄(𝑧) có cùng độ lớn ở tần số alI. Điều này được chứng minh như sau. Từ
𝐻𝑄(𝑧)=𝑎𝑛𝑧−1− 𝑎𝑛−1𝑧−3+ 𝑎𝑛−2𝑧−5+ ⋯ + (−1)𝑛𝑎0𝑧−(2𝑛+1) = (−1)𝑛𝑎0𝑧−(2𝑛+1)(𝑎0− 𝑎1𝑧2+ 𝑎2𝑧4+ ⋯ + (−1)𝑛𝑎𝑛𝑧2𝑛) = (−1)𝑛𝑧−(2𝑛+1)𝐻𝐼∗(𝑧)
trong đó * biểu thị liên từ phức. Do đó chúng tôi có
|𝐻𝐼(𝑒𝑗𝜓)|=| (−1)𝑛𝑒−𝑗(2𝑛+1)𝜓||𝐻𝐼∗(𝑒𝑗𝜓)| = |𝐻𝐼(𝑒𝑗𝜓)| Cho tất cả 𝜓.
Ví dụ 3.3. Nếu chỉ có một số không tại 𝜓 = −𝜋/2 được gán cho hàm truyền, thì
chúng ta thu được biến áp FIR Hilbert đơn giản nhất có
{ 𝐻𝐼(𝑧) = 1 𝐻𝑄(𝑧) = 𝑧−1
Độ lớn của hàm truyền phức 𝐻𝐼(𝑧) + 𝐻𝑄(𝑧) và biểu đồ cực-không tương ứng được
38
của 𝐻𝐼(𝑧) và 𝐻𝑄(𝑧) và sự khác biệt của chúng được cho trong Hình 3.12 (a) và (e) tương ứng. Những con số này cho thấy rằng máy biến áp này chỉ xấp xỉ với máy biến áp lý tưởng trong vùng lân cận smalI của 𝜓 = −𝜋/2. Tuy nhiên, do tính đơn giản của nó, máy biến áp này sẽ được sử dụng trong một IF phức tạp lấy mẫu quá mức Δ∑; bộ chuyển đổi để thực hiện loại bỏ hình ảnh kép, sẽ được mô tả trong chương năm.
Ví dụ 3.4. Nếu ba số không tại 𝜓 = −𝜋/2 được gán cho hàm truyền H (z) = 𝐻𝐼(𝑧)
+j𝐻𝑄(𝑧), chúng ta thu được H(z)=(1 + 𝑗𝑧−1)3 = 1-3𝑧−2+ 𝑗(3𝑧−1− 𝑧−3) Vì vậy, { 𝐻𝐼(𝑧) = 1 − 3𝑧−2 𝐻𝑄(𝑧) = 3𝑧−1− 𝑧−3
Độ lớn của hàm truyền phức 𝐻𝐼(𝑧) +j𝐻𝑄(𝑧) và đồ thị cực không tương ứng được
thể hiện trong hình 3.11 (a) và (b) tương ứng, ký hiệu là "FIR2". Đáp ứng pha của H [(z) và HQ (z) và sự khác biệt của chúng được cho trong Hình 3.12 (b) và (f) tương ứng. Từ hình 3.11 (a), chúng tôi nhận thấy vùng dải dừng đó có tâm là -𝑓𝑠/4 với băng thông là 0.07𝑓𝑠 và sự suy giảm của dải dừng là hơn 60 dB. Các hệ số của (3.26) là số nguyên alI và có giá trị trải rộng smalI, do đó nó phù hợp cho việc triển khai IC.
39
Hình 3.11