Chương 3: Bộ chuyển pha 90 độ băng rộng
3.3 Máy biến áp Hilbert thời gian rời rạc
Máy biến áp Hilbert thời gian rời rạc lý tưởng được định nghĩa là một nhánh rẽ với chức năng truyền hoàn toàn là tưởng tượng:
H(𝑒𝑗𝜓) = { −𝑗
0 𝑗
𝑣ớ𝑖 𝜓 = 0
trong đó biến 𝜓 = 2𝜋𝑓/𝑓𝑠 và 𝑓/𝑓𝑠 là một tần số được chuẩn hóa với sự tôn trọng đến tần
số lấy mẫu 𝑓𝑠. Khoảng thời gian cơ bản có khoảng từ -𝜋 đến 𝜋. Hàm truyền được minh họa
35
| H(𝑒𝑗𝜓)| = { 1, 0 < |𝜓| < 𝜋 0, 𝜓 = 0, |𝜓| = 𝜋 và hàm pha có thể được viết là
arg[H(𝑒𝑗𝜓)] = − (𝜋
2) 𝑠𝑔𝑛[sin (𝜓)]
Ngoài ra, độ lớn của 1 + jH (z) bằng hai đối với 0 <𝜓 <𝜋, 0 đối với - 𝜋 < | 𝜓| <0 và 1 cho | 𝜓| = 𝜋 như trong hình 3.9 (d). Bằng cách mở rộng chuyển nhượng hàm (3.15) thành một chuỗi Fourier vô hạn và thực hiện phép biến đổi Fourier ngược trên nó, khi đó đáp ứng xung lý tưởng tương ứng thu được là:
h(n)={𝜋2
𝑠𝑖𝑛2(𝜋𝑛2)
𝑛 , 𝑛 𝑘ℎá𝑐 0 0, 𝑛 = 0
Một lần nữa, một máy biến áp Hilbert thời gian rời rạc lý tưởng như vậy là không cần thiết và không thể thực hiện được. Có thể tính gần đúng tần số đáp ứng lý tưởng trong (3.15) bằng hai phương pháp. Phương pháp đầu tiên sử dụng một cặp bộ tách pha, có các đầu ra, với một đầu vào chung, có mối quan hệ biến đổi Hilbert với nhau. Điều này được minh họa trong Hình 3.10, trong đó hai kênh được gọi là bộ lọc-I và bộ lọc-Q và có các
hàm truyền 𝐻𝐼(𝑒𝑗𝜓) và 𝐻𝑄(𝑒𝑗𝜓) tương ứng. Máy biến áp có thể được đặc trưng đầy đủ
bởi chức năng truyền phức tạp của nó 𝐻𝐼(𝑒𝑗𝜓) +j𝐻𝑄(𝑒𝑗𝜓) , có xu hướng bằng 0 tại - 𝜋 < |𝜓 <0 . Phương pháp thứ hai sử dụng một bộ lọc nhân quả duy nhất có đầu ra xấp xỉ với biến đổi Hilbert của một phiên bản bị trễ của tín hiệu đầu vào. Chúng tôi sẽ tập trung vào phương pháp đầu tiên và các phương pháp tiếp cận thiết kế FIR và IIR tương ứng được mô tả như sau đoạn văn.