II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. CÁC BÀI TỐN VỀ HèNH CHểP TAM GIÁC
Bài 1 (trớch đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cú cạnh AD vuụng gúc (ABC), AC = AD = 4cm,
AB = 3cm, BC = 5cm. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (BCD).
Bài 2. Cho DABC vuụng tại A cú đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trờn đường thẳng vuụng gúc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hỡnh chiếu của A trờn EF.
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
2. Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tớnh thể tớch hỡnh chúp A.BCFE.
Bài 3. Cho hỡnh chúp O.ABC cú cỏc cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi H là
hỡnh chiếu của điểm O lờn (ABC) và cỏc điểm A’, B’, C’ lần lượt là hỡnh chiếu của H lờn (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tớnh thể tớch tứ diện HA’B’C’.
2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều.
Bài 4. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA, OB, OC đụi một vuụng gúc. Gọi a b g, , lần lượt là gúc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hỡnh chiếu của đỉnh O trờn (ABC).
1. Chứng minh H là trực tõm của DABC. 2. Chứng minh 12 12 12 12.
OH = OA +OB +OC3. Chứng minh cos2a +cos2b+cos2g =1. 3. Chứng minh cos2a +cos2b+cos2g =1. 4. Chứng minh cosa +cosb+cosg Ê 3.
Bài 5. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c vuụng gúc với nhau từng đụi một. Gọi M, N, P lần lượt
là trung điểm BC, CA, AB.
1. Tớnh gúc j giữa (OMN) và (OAB).
Tài liệu tham khảo ụn tập TNPTTH Toỏn 12
3. Chứng minh rằng gúc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuụng khi và chỉ khi 12 12 12. a = b +c
Bài 6. Cho hỡnh chúp S.ABC cú DABC vuụng cõn tại A, SA vuụng gúc với đỏy. Biết AB = 2,
ã 0
(ABC),(SBC)=60 .1. Tớnh độ dài SA. 1. Tớnh độ dài SA.
2. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (SBC). 3. Tớnh gúc phẳng nhị diện [A, SB, C].
Bài 7. Cho hỡnh chúp O.ABC cú OA = a, OB = b, OC = c vuụng gúc với nhau từng đụi một.
1. Tớnh bỏn kớnh r của mặt cầu nội tiếp hỡnh chúp. 2. Tớnh bỏn kớnh R của mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp.
Bài 8 (trớch đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuụng gúc với nhau, giao tuyến là đường
thẳng (d). Trờn (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cựng vuụng gúc với (d) và AC = BD = AB. Tớnh bỏn kớnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cỏch từ đỉnh A đến (BCD) theo a.
Bài 9. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA
= 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tớnh diện tớch DMAB theo a.
2. Tớnh khoảng cỏch giữa MB và AC theo a. 3. Tớnh gúc phẳng nhị diện [A, SC, B].
Bài 10. Cho tứ diện S.ABC cú DABC vuụng cõn tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy. Vẽ AH vuụng gúc với SB tại H, AK vuụng gúc với SC tại K.
1. Chứng minh HK vuụng gúc với CS.
2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tớnh sin của gúc giữa SB và (AHK).
4. Xỏc định tõm J và bỏn kớnh R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC.
Bài 11. Cho hỡnh chúp S.ABC cú DABC vuụng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bờn SA = 5 và vuụng gúc với đỏy. Gọi D là trung điểm cạnh AB.
1. Tớnh cosin gúc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tớnh khoảng cỏch giữa BC và SD.
3. Tớnh cosin gúc phẳng nhị diện [B, SD, C].
Bài 12. Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc đều cạnh a. SA vuụng gúc với đỏy và SA =a 3. 1. Tớnh khoảng cỏch từ đỉnh A đến (SBC).
2. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SC.
Bài 13. Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú độ dài cạnh đỏy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( )a đi qua AB và vuụng gúc với SC.
1. Tỡm điều kiện của h theo a để ( )a cắt cạnh SC tại K. 2. Tớnh diện tớch DABK.
3. Tớnh h theo a để ( )a chia hỡnh chúp thành hai phần cú thể tớch bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đú tõm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trựng nhau.