- Đối với cấu kiện chịu uốn: ϕm =1; cũn σ là giỏ trị lớn hơn trong hai giỏ
2.2.3.1.Lí thuyết chung:
Núi chung một cột cú thể cú ba dạng mất ổn định:
- Mất ổn định do uốn dọc, cấu kiện uốn quanh một trục (vừa xột ở mục 2.2.2).
- Mất ổn định do xoắn: tiết diện xoay quanh tõm xoắn, khụng kốm theo uốn. Dạng này rất ớt xảy ra, chỉ gặp ở cấu kiện ngắn với tiết diện cú độ cứng xoắn nhỏ (tiết diện chữ I, chữ thập, chữ C).
- Mất ổn định do uốn - xoắn: cấu kiện uốn dọc theo hai phương đồng thời bị xoắn. Dạng sau hay xuất hiện ở cỏc tiết diện đối xứng đơn nh thộp mỏng, thộp gúc, tiết diện chữ T hay chữ I cú cỏnh khụng đều nhau. Tiết diện khụng đối xứng luụn luụn oằn theo dạng uốn xoắn.
Xột trường hợp tổng quỏt là mất ổn định do uốn-xoắn : cột bị uốn theo hai phương và chịu xoắn đối với trục dọc, tiết diện cột cú chuyển vị u và v đối với trục x và y và quay gúc φ quanh tõm xoắn C. Bài toỏn đó được nghiờn cứu bởi cỏc tỏc giả Timoshenko, Vlaxov và nhiều tỏc giả khỏc trong thời gian gần đõy để đưa kết qủa nghiờn cứu vào cỏc quy phạm thiết kế.
Phương trỡnh cõn bằng của cấu kiện ở trạng thỏi chuyển vị:
Trong đú J= mômen quỏn tớnh xoắn của tiết diện, đối với cấu kiện thành mỏng cú thể tớnh bằng:
Iw = hằng số vờnh của tiết diện được tớnh theo cụng thức chung là:
Với là tọa độ quạt của cỏc điểm của tiết diện đối với cực.
Với , lần lượt là bỏn kớnh quỏn tớnh của tiết diện đối với trục x và y. xo và yo là tọa độ của tõm uốn.
Đạo hàm được lấy đối với trục dọc z của cấu kiện. Cỏc điều kiện biờn, giả thử khi hai đầu là khớp: Tại z=0 và z=L :
Hỡnh 2-7. Chuyển vị khi mất ổn định uốn-xoắn
(c: trọng tõm; S.C: tõm uốn) Nghiệm của hệ phương trỡnh cú thể viết dưới dạng:
; ;
Thay vào hệ phương trỡnh và cỏc điều kiện biờn, ta được hệ 3 phương trỡnh tuyến tớnh với ẩn là A,B,C. Điều kiện mất ổn định là A,B,C phải khỏc khụng tức là định thức của hệ phương trỡnh tuyến tớnh phải bằng 0. Khai triển định thức và cho triệt tiờu, ta được phương trỡnh đặc trưng để tỡm lực tới hạn.
Phương trỡnh đặc trưng cú dạng:
Trong đú:
= lực tới hạn Euler gõy oằn uốn dọc đối với trục x:
= lực tới hạn Euler gõy oằn uốn dọc đối với trục y:
= lực tới hạn Euler gõy oằn xoắn đối với trục z:
, và là chiều dài tớnh toỏn đối với cỏc trục x, y và khi xoắn.
Phương trỡnh đặc trưng cú 3 nghiệm Pcr , lực tới hạn là lực nhỏ nhất trong 3 nghiệm đú. Xột một số trường hợp thường gặp:
(1) – Tiết diện cú hai trục đối xứng: nh chữ I, chữ thập (hỡnh 2-8). Tõm uốn trựng với trọng tõm tức là . Phương trỡnh đặc trưng trở thành:
.
Lực tới hạn là lực cú giỏ trị nhỏ nhất trong ba nghiệm:
; ;
Cột sẽ bị mất ổn định do uốn dọc hoặc do xoắn, khụng cú uốn-xoắn. ứng suất tới hạn là ứng suất nhỏ nhất trong hai giỏ trị ứng suất oằn uốn dọc
(2.30) Và ứng suất oằn do xoắn
(2.31)
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hỡnh 2-8. Tiết diện cú hai trục đối xứng
(2) – Tiết diện cú một trục đối xứng: nh thộp gúc, chữ C (hỡnh 2-9). Một tọa độ của tõm uốn . Phương trỡnh đặc trưng trở thành:
Một nghiệm của phương trỡnh
Hai nghiệm cũn lại là nghiệm của phương trỡnh
đặt
Giải được:
nhỏ hơn nờn sẽ được lấy là lực tới hạn uốn xoắn. Nú luụn luụn nhỏ hơn và
nhưng so với thỡ cú thể lớn hơn hoặc nhỏ hơn, tựy theo chiều dài cấu kiện.
Hỡnh 2-9. Tiết diện cú một trục đối xứng (S.C tõm uốn; c.g trọng tõm)
Cú thể tỡm được chiều dài để phõn ranh giới giữa oằn uốn dọc ( ) và oằn uốn xoắn ( ). Tỡm bằng cỏch cho . Nếu chiều dài cấu kiện lớn hơn , cấu kiện sẽ oằn do uốn dọc. Nếu , cấu kiện sẽ oằn do uốn-xoắn (hỡnh 2-10).
Hỡnh 2-10. Chiều dài phõn biệt oằn uốn dọc hoặc oằn uốn-xoắn của tiết diện hỡnh
mũ.
Cỏc cụng thức nờu trờn là ỏp dụng cho trường hợp làm việc đàn hồi. Ngoài phạm vi đàn hồi, sẽ thay thế bằng cỏc cụng thức môđun tiếp tuyến , hoặc cụng thức của SSRC hay của AISI đó hiệu chỉnh lại bằng thực nghiệm.