Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn

: Chứng minh tồn tại (hay khơng tồn tại)

R 2: Trong kiểu nhiệm vụ chứng minh giới hạn hàm số bằng định nghĩa, học sinh khơng cĩ

3.2 Tổ chức didactic mà giáo viên sử dụng để giảng dạy các khái niệm giới hạn hữu hạn

Để mơ tả và phân tích tổ chức didactic mà giáo viên đã triển khai để xây dựng tổ chức tốn học mơ tả ở trên, chúng tơi sẽ xuất phát từ các thời điểm nghiên cứu đã được thực hiện và cách thức thực hiện chúng (theo lý thuyết của tổ chức didactic mà chúng tơi đã đề cập đến trong phần đặt vấn đề của luận văn).

Thời điểm gặp gỡ đầu tiên

Ta thấy với hai kiểu nhiệm vụ T1 và T2, thời điểm này xuất hiện khi giáo viên giới thiệu hoạt động : HOẠT ĐỘNG Cho h/s 2 2 2 ( ) 1 x x f x x − = − . Biết n 1 n x n + = a) Tìm f x( )n b) Tính limxn, lim (f xn)

Thời điểm xây dựng cơng nghệ - lý thuyết của kỹ thuật định nghĩa (2 – 9)

Các yếu tố cơng nghệ liên quan đến kỹ thuật định nghĩa xuất hiện khi giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động 1 (trong tiết 53)

2. GV ghi lên bảng: “Cho h/s ( ) 2 2 2 1 x x f x x − = − . Cho 1 n n x n + = , tìm f x( )n ”. GV đặt câu

hỏi: “Để tìm f x( )n theo n ta làm như thế nào?”

3. Một số HS: “Thay n 1 n x n + = vào x”

4. GV: “Đúng rồi, tất cả hãy tính f x( )n ” 5. Một HS: “ f x( n) 2n 2

n

+

= ”

6. GV vừa nĩi vừa ghi lên bảng: “ 2n 2 2(n 1) 2xn

n n

+ = + =

. Hãy tính limxn, lim (f xn) theo

n?”

7. HS tính tốn bên dưới, một số HS đưa kết quả: “limxn =1, limf x( )n =2” 8. GV: “Khi đĩ ta nĩi hàm số ( ) 2 2 2 1 x x f x x − = − cĩ giới hạn là 2 khi x→1. Tất cả mở SGK

trang 124 ghi nội dung định nghĩa 1”

9. HS làm theo lời GV

Ở đây, chúng ta cĩ thể nhận thấy trong việc tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động 1 (SGK 11.CB, tr.123), giáo viên khơng quan tâm tổ chức cho học sinh thực hiện một thực nghiệm số để tìm các giá trị của hàm số f(x) ứng với giá trị của biến x được cho trong bảng. Giáo viên chỉ quan tâm đến mục đích hình thành định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm bằng ngơn ngữ của dãy số, đồng thời xây dựng yếu tố cơng nghệ cho kỹ thuật định nghĩa.

Thời điểm nghiên cứu kỹ thuật định nghĩa (10 – 13)

Nhờ một hệ thống câu hỏi gợi mở, giáo viên đã cho phép triển khai việc xây dựng kỹ thuật định nghĩa khi hướng dẫn học sinh giải VD1 (trong tiết 53), nhưng ngay sau đĩ chúng ta cĩ thể thấy kỹ thuật này khơng cịnđược giáo viên nhắc đến trong các ví dụ sau đĩ.

10.GV: “Tất cả ghi xong chưa? Bây giờ chúng ta vận dụng định nghĩa để giải ví dụ sau:

Cho h/s ( ) 2 9 3 x f x x − = + . Cm: ( ) 3 lim 6 x f x →− = − ” 11.GV: “Tìm TXĐ của hàm số trên?”. Một số HS: “x≠ −3”

12.GV vừa nĩi vừa viết trên bảng: “ ∀(xn),xn ≠ −3 và xn → −3 khi n→ +∞. Ta cĩ

( )

limf xn =?”. Trong lớp một số tiếng xì xào nổi lên nhưng khơng cĩ câu trả lời. GV tiếp

tục: “Vận dụng tương tự bài tốn lúc nãy, thay x bằng xn rồi tính lim f x( )n ”. HS bắt đầu tính và đưa ra câu trả lời: limf x( )n = −6

13.GV: “Theo nội dung định nghĩa ta cĩ lim3 ( ) ?

x f x

→− = ”. Một số HS: “Bằng -6”

Tại thời điểm này, chúng ta cũng cĩ thể nhận thấy giáo viên chỉ hướng dẫn học sinh lấy một dãy số hình thức của biến để “chứng minh lim ( )

x a f x L

→ = ”. Ngồi ra khơng thấy yêu cầu nào từ phía giáo viên đặt ra cho học sinh là phải thực hiện một thực nghiệm số bằng việc tính tốn các giá trị của

hàm số f(x) ứng với một dãy cụ thể các giá trị của biến x khi thực hiện giải quyết nhiệm vụ trên. Điều này cho phép chúng tơi hợp thức một phần giả thuyết H1.

Thời điểm thể chế hố cơng nghệ - lý thuyết và nghiên cứu kỹ thuật đại số (14 – 24).

Giáo viên thực hiện việc thể chế hố yếu tố cơng nghệ - lý thuyết liên quan đến kỹ thuật đại số bằng chữ viết trên bảng và căn dặn học sinh xem nội dung định lí giới hạn hữu hạn trong sách giáo khoa.

14.GV: “Chúng ta cĩ các nhận xét sau: 0 0 0 lim ; lim x x x x x x c c → = → = ”. HS ghi lại nhận xét.

15.GV: “Về giới hạn hữu hạn của hàm số, ta cũng cĩ các định lí về tổng, hiệu, tích, thương và khai căn giống giới hạn của dãy số. Chúng ta về xem trong SGK. Và bây giờ

chúng ta sẽ áp dụng nội dung định lí để tìm giới hạn của hàm số”

Tiếp theo, giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu kỹ thuật đại số liên quan đến kiểu nhiệm vụ “tính lim ( )

x a f x

→ ” bằng việc giải các ví dụ tìm giới hạn của hàm số qua hệ thống câu hỏi vấn đáp gợi mở :

16.GV ghi lên bảng : “Tính các giới hạn sau

( ) 2 2

2

2

1 2 1 2

2 3 4 5 5 6

1) lim 3 1 ; 2) lim ;3) lim ; 4) lim

5 1 4 x x x x x x x x x x x x x x → → → → + + − − + + + + − − ”

17.HS ghi đề bài trên bảng vào tập. Một số HS hỏi làm thế nào để tính các giới hạn.

18.GV hướng dẫn : “với BT1 thì vận dụng định lí giới hạn của một tổng bằng tổng các

giới hạn, ta cĩ được gì nào?”.

19. Hầu hết HS trả lời : lim (3 2 1) lim 3 2 lim lim 1

1 1 1 1

x x x x

x x x x

+ + = + +

→ → → → .

20.GV tiếp tục : “bây giờ áp dụng các giới hạn đặc biệt khi nãy, ta cĩ được kết quả của

BT là bao nhiêu?”. Một số HS: “kết quả bằng 5”. GV nhận xét lại kết quả đồng thời hướng dẫn HS vì sao lại cĩ được kết quả đĩ, rồi trình bày nhanh lời giải.

21.GV : “muốn áp dụng định lí giới hạn của một thương thì cần điều kiện gì?”. HS trả

lời : “mẫu số khác khơng”. GV tiếp tục: “BT2 cĩ áp dụng được định lí này khơng? Vì

sao?”. HS trả lời được vì khi x→2 thì mẫu số khác 0. GV yêu cầu HS áp dụng định lí

tìm giới hạn của BT2, HS vận dụng và giải đúng kết quả BT2 là 1.

22.Đến BT3 cĩ một số ý kiến : “Thầy ơi, 0

0 thì bằng ∞ hả Thầy?”.GV xuống xem xét lời

giải của một vài HS sau đĩ đi lên bảng và giải thích: “Ở BT3 khi x→1 thì mẫu số cĩ

giới hạn bằng 0, nên ta chưa thể áp dụng định lí để tìm giới hạn của BT3 được”. Cĩ một

vài câu hỏi bên dưới: “Thầy ơi,vậy làm sao để giải?”. GV tiếp tục: “khi x→1 ta thấy tử

và mẫu đều cĩ giới hạn bằng 0, ta gọi dạng tốn này là dạng vơ định 0

hạn ta phải khử dạng vơ định này”.

23.Một số HS dưới lớp nĩi làm sao để khử. GV nêu phương pháp bằng cách liệt kê thành các bước ghi trên bảng: “B1: phân tích các đa thức của tử và mẫu thành nhân tử; B2: đơn giản tử số và mẫu số; B3: thay giá trị của x để tính giới hạn”. HS ghi lại phương

pháp.

24.Một số HS hỏi phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử, GV trình bày hai cách: chia đa thức cho đa thức, sơ đồ hosner. Sau đĩ GV hướng dẫn HS vận dụng phương pháp đã ghi để giải BT3 và BT4, HS thực hiện các yêu cầu của GV để tìm lời giải

BT.

Ở đây, chúng ta cĩ thể dễ dàng nhận thấy việc lấn át hồn tồn của kỹ thuật đại số trước kỹ thuật định nghĩa khi tính giới hạn của hàm số. Giáo viên chủ yếu chỉ tập trung hình thành và xây dựng các kỹ thuật đại số, kỹ thuật định nghĩa chỉ được giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện khi đứng trước kiểu bài tốn : chứng minh lim f x( ) L

x a

=

→ hoặc dùng định nghĩa tìm lim f x( )

x→a . Qua đĩ cho phép chúng tơi rút ra một quy tắc hợp đồng : khi đứng trước yêu cầu tính giới hạn, thì học sinh sử dụng

kỹ thuật đại số để giải quyết bài tốn; khi đứng trước yêu cầu chứng minh lim f x( ) L

x a

=

→ hoặc

dùng định nghĩa tìm lim f x( )

x→a , thì học sinh sử dụng kỹ thuật định nghĩa để giải bài tốn.

Thời điểm đánh giá (25 – 26)

Thời điểm này được thể hiện qua việc giáo viên đặt câu hỏi và học sinh trả lời theo suy nghĩ cá nhân :

25.GV: “chúng ta thấy cách tìm giới hạn bằng định nghĩa và bằng định lí, cách nào dễ

thực hiện hơn?”.

26.Đa số HS đều cĩ sự lựa chọn là dùng định lí. GV gật đầu đồng ý nhưng nhắc nhở lại

HS phải ghi nhớ điều kiện của định lí trong khi giải tốn.

Ở đây, chúng ta cĩ thể nhận thấy được kỹ thuật nào là dễ sử dụng trong việc tính giới hạn của hàm số theo quan điểm của học sinh, và kỹ thuật nào giáo viên mong muốn xây dựng và hình thành ở học sinh. Qua đĩ chúng ta cũng cĩ thể rút ra kết luận : quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn thể hiện ở kiểu nhiệm vụ T1: Tính lim f x( )

x→a với a là một số thực, −∞ hoặc +∞ là quan điểm đại số.

Thời điểm làm việc với kỹ thuật đại số và hé mở kỹ thuật giới hạn một bên

Thời điểm này được thực hiện bằng việc giáo viên gọi học sinh lên bảng tính giới hạn của hàm số dưới hình thức kiểm tra bài cũ, đồng thời tạo ra một bài tốn cĩ vấn đề đối với tất cả học sinh

28.GV kiểm tra bài cũ : “Tính: 2 3 2 3 1 7 12 1 ) lim ; ) lim 3 2 3 x x x x x a b x x x → → − + − − + − ”. Một số HS giơ tay,

GV gọi Nam lên bảng và HS này giải đúng, GV cho HS 8 điểm.

29.GV giới thiệu cơng việc : “Chúng ta tiếp tục nội dung bài giới hạn của hàm số, phần

tiếp theo: Giới hạn một bên”

30.HS ghi tiêu đề bài học. Cĩ tiếng HS Nam : “Sao Thầy chỉ cho em 8 điểm, em xung

phong mà”. GV giải thích : “Vì câu hỏi dễ, nếu bây giờ ai cĩ thể giải được bài tốn sau

thì được 10điểm”. GV gh i lên bảng : “Cho h/s ( ) 2 2 1 khi 1 2 3 khi 1 1 x x x f x x x x x  + + ≥  =  + − <  −  . Tính ( ) 1 lim x f x → ”

Thời điểm thể chế hố yếu tố cơng nghệ - lý thuyết và nghiên cứu kỹ thuật giới hạn một bên (31 – 38)

Thời điểm này được thực hiện qua sự hợp tác của giáo viên và học sinh, và giáo viên là người giữ vai trị chính

31.Dưới lớp cĩ nhiều tiếng xì xào, cĩ tiếng ai đĩ: “Thầy ác quá, cĩ đến hai biểu thức thì

làm sao biết tính”. GV cũng nghe thấy và giải thích: “Vậy mới xứng đáng điểm 10 chứ.

Thơi, chúng ta tạm ngưng BT này lại, mở SG K trang 126 đọc cho Thầy nội dung định

nghĩa 2”.

32.HS mở SGK và GV gọi một HS đứng tại chổ đọc định nghĩa và yêu cầu HS về xem

SGK.

33.GV tiếp tục cơng việc: “Trong phần giới hạn một bên, chúng ta cần ghi nhớ nội dung định lí sau: lim ( ) lim ( ) lim ( )

0 0 0 f x L f x f x L x x x x x x = ⇔ = = + − → → → ”.

34.Một số HS: “x0+ và x0− là gì vậy thầy ?” GV: “x0+ nghĩa là giới hạn bên phải của hàm

số, - 0

x là giới hạn bên trái của hàm số”. HS lại tiếp tục ghi nội dung định lí vào vở.

35.GV: “Bây giờ quay lại bài tốn vừa rồi, chúng ta cùng nhau đi tìm

1lim ( ) lim ( ) x f x + → và 1 lim ( ) x − f x

→ ”. GV tiếp tục: “ khi x→1+, nghĩa là x≥1 thì hàm số được cho bằng biểu thức nào?”. HS : “ 2

1

x + +x ”. GV: “Lúc đĩ giới hạn của hàm số là bao nhiêu?”. Một số HS:

“Bằng 3”.

36.GV: “Cả lớp cĩ đồng ý với kết quả đĩ khơng?”. Hầu hết HS đều trả lời: “Đồng ý”.

GV: “Vậy chúng ta tiếp tục tìm

1

lim ( )

x − f x

→ , nhưng trước hết cần phải biết được điều gì?”.

hạn”. GV gật đầu và yêu cầu HS giải tiếp bài tốn và cho kết quả là 4.

37.GV: “Vậy

1

lim ( ) ?

x f x

→ = ”. Một số tiếng tranh luận về kết quả, GV gợi ý: “Chúng ta xem

lại định lí ,

0

lim ( )

x x f x L

→ = khi nào?”. Một HS trả lời: “Khơng cĩ

1

lim ( )

x f x

→ ”, GV hỏi ngay HS đĩ: “Vì sao em lại nĩi khơng cĩ lim ( ) ?

1

f x

x→ ”. HS: “Vì x→lim1+ f x( )≠x→lim1− f x( )”.

38.GV: “ Đúng rồi, muốn cĩ lim ( ) 1 f x x→ thì lim ( ) lim ( ) 1 1 f x f x x x = + − → → . Chúng ta nhớ rõ điều này nhé!” Ở đây, chúng ta cĩ thể rút ra các nhận xét sau :

+ Giáo viên khơng giải thích ký hiệu x→x0+ hoặc x→x0−cho học sinh theo quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số. Giáo viên hình thành một hợp đồng : Nếu trong bài tốn, nhìn thấy ký hiệu x→ x0+ (x→ x0−), thì chọn biểu thức của hàm số ứng với x> x0 (x<x0) để tính giới hạn.

+ Kỹ thuật ngầm ẩn được sử dụng để giải quyết bài tốn trên là kỹ thuật đại số. Quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn thể hiện ở nhiệm vụ này là quan điểm đại số.

Thời điểm xây dựng yếu tố cơng nghệ - lý thuyết và hé mở kỹ thuật đồ thị

Thời điểm này xuất hiện khi giáo viên tổ chức cho học sinh thực hiện hoạt động 3 (SGK 11.CB, tr. 127) dưới hình thức vấn đáp gợi mở :

39.GV: “Tất cả nhìn vào hình 52 trang 127, đây là đồ thị của hàm số ( ) 1 2

f x x

=

− .

Chúng ta thấy khi x→ +∞ thì giá trị f x( ) biểu diễn trên đồ thị dần đến giá trị nào trên

hình vẽ?”

40.Một số HS: “Dần đến 2”. GV: “Khơng phải, đĩ là giá trị của x, nhìn lại thật kỹ khi

x→ +∞, tức là x nhận các giá trị ngày càng xa gốc tọa độ về phía bên phải, thì

( ) ?

f x → ”. Một số HS: “Dần tới 0”

41.GV: “Đúng rồi, tương tự khi x→ −∞ thì f x( )→?”. Một số HS: “ f x( )→0” 42.GV: “Như vậy ta nĩi lim f x( ) 0

x

=

→ +∞ hoặc lim f x( ) 0

x

=

→ −∞ . Chúng ta đi vào nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực”

Ở thời điểm này, chúng tơi cĩ những nhận xét sau :

+ Giáo viên khơng yêu cầu và hướng dẫn học sinh phải thực hiện việc quan sát đồ thị, đi kèm với việc tổ chức một thực nghiệm số. Đĩ chính là lí do vì sao mà học sinh khơng đưa ra được câu trả lời đúng ngay từ đầu, và giáo viên cũng khơng đưa ra lời giải thích rõ vì sao học sinh lại

trả lời đúng cho các câu hỏi đặt ra trong hoạt động 3.

+ Mục đích chính mà giáo viên đưa ra hoạt động này là nhằm dễ dàng phát biểu nội dung định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại vơ cực.

Qua đĩ cho phép chúng tơi kết luận :

+ Quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn khĩ cĩ cơ hội xuất hiện qua vấn đề thực nghiệm

bằng đồ thị ở hoạt động 3 (SGK 11.CB, tr. 127). Đồng thời hợp thức một phần giả thuyết H1.

+ Kỹ thuật đồ thị mặc dù cĩ cơ hội xuất hiện, nhưng đã khơng được giáo viên ưu tiên đào sâu

và quan tâm một cách đúng mức để cĩ thể giúp học sinh nắm vững kỹ thuật. Từ đĩ chúng ta cĩ thể dự kiến sự “sống yếu ớt” của kỹ thuật này trong thể chế dạy học Việt nam.

Thời điểm thể chế hố một phần yếu tố cơng nghệ và làm việc với kỹ thuật đại số liên quan