+ Nhiệm vụ t52 Kĩ thuật : Tìm tiệm cận ngang 52 τ : - Xét lim ( ) 0 f x y x = → +∞ hoặc lim ( ) 0 f x y x = → −∞ - Kết luận : 0 y= y là tiệm cận ngang Cơng nghệ θ52 : Định nghĩa tiệm cận ngang
Ví dụ : (trang 29 – SGK Giải tích 12 – năm 2008)
Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị ( )C của hàm số 1
2x x y x − = + Giải : Vì lim 1 1 2 x x x − = +
→ +∞ nên đường thẳng y=1 là tiệm cận ngang của ( )C
Kiểu nhiệm vụ T5
Kỹ thuật liên quan đến kiểu nhiệm vụ T
được xác định rõ qua các yêu cầu : Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số ; Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số. Thể hiện qua số lượng bài tập tương đối lớn (30/151 số lượng bài tập) bao gồm : 4 ví dụ + 9 bài tập (SGK 12.CB), 4 ví dụ + 21 bài tập (SGK 12.NC).
5
Việc vẽ đồ thị hàm số, rồi từ đồ thị kết luận về các đường tiệm cận của đồ thị hàm số khơng được thể chế hiện hành quan tâm (khơng cĩ một bài tập nào trong hai bộ SGK của chương trình hiện hành cĩ yêu cầu đến vấn đề vẽ đồ thị hàm số, trước khi kết luận về các đường tiệm cận). Qua đĩ cho phép quan điểm khoa học luận của khái niệm giới hạn hàm số thể hiện trong việc tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số là quan điểm đại số.
được xây dựng và cũng dễ sử dụng, vì nĩ giải quyết được tất cả các bài tốn liên quan đến việc tìm tiệm cận của đồ thị hàm số. Hơn nữa trọng tâm của kỹ thuật cũng chỉ là việc tính giới hạn của hàm số mà học sinh đã được trang bị khá kĩ trong chương trình lớp 11.
Yếu tố cơng nghệ θ5 giải thích cho kỹ thuật được xây dựng theo con đường quy nạp qua việc quan sát và nhận xét khoảng cách của điểm M x y( ; ) ( )∈ C với đường thẳng ;
0 0
x=x y= y .
2.2.1.3. Một số kết luận
Qua việc phân tích và so sánh mối quan hệ thể chế đối với việc dạy học khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số trong chương trình hiện hành và chương trình chỉnh lí hợp nhất, chúng tơi rút ra một số kết luận sau đây :
• Lý do xây dựng khái niệm giới hạn được sách giáo khoa của chương trình hiện hành nĩi rõ ngay phần mở đầu của chương IV thể hiện qua nghịch lí của Zê – Nơng (nghịch lí A – sin đuổi rùa), qua đĩ làm cho học sinh ý thức được về tầm quan trọng của khái niệm giới hạn v à do đĩ cĩ nhu cầu, hứng thú nghiên cứu nĩ.
• Việc định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm, tại vơ cực trong bộ SGK cơ bản của chương trình hiện hành được xây dựng theo con đường quy nạp, thơng qua các bài tốn xấp xỉ liên quan đến thực nghiệm số và quan sát đồ thị của biểu thức hàm số cần tính giới hạn,qua đĩ cĩ thể hình thành quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn hàm số.
• Trong chương trình hiện hành (đặc biệt là ở bộ sách giáo khoa 11.CB), các nhiệm vụ thuộc tổ chức tốn học OM2 tồn tại nhưng tương đối ít (11/151 tổng số nhiệm vụ trong hai bộ SGK 11.CB và 11.NC). Đối với các hoạt động liên quan đến bài tốn xấp xỉ số và xấp xỉ hình học, sách giáo viên cũng khơng đặt ra yêu cầu phải hình thành quan điểm xấp xỉ của khái niệm giới hạn hàm số qua việc tổ chức dạy học khái niệm giới hạn cho học sinh.
thuật liên quan đến các nhiệm vụ thuộc tổ chức tốn học OM2.
• Qua việc phân tích các tổ chức tốn học, chúng tơi rút ra các nhận xét :
Quan điểm đại số của khái niệm giới hạn hàm số hồn tồn chiếm ưu thế, thể hiện qua số lượng các kiểu nhiệm vụ và các bài tập cĩ liên quan đến tổ chức tốn học OM1 (4/5 kiểu nhiệm vụ và 140/151 số lượng bài tập). Thêm vào đĩ là sự vận dụng phổ biến các kỹ thuật đại số để giải quyết hầu như tồn bộ các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn hữu hạn của hàm số như : xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, tính đạo hàm của hàm số tại một điểm …
Quan điểm xấp xỉ x của khái niệm giới hạn mặc dù cĩ tồn tại nhưng khơng đủ nhiều, thể hiện qua số lượng kiểu nhiệm vụ và các bài tập liên quan đến tổ chức tốn học OM2 (1/5 kiểu nhiệm vụ và 11/151 số lượng bài tập). Hơn nữa các kỹ thuật để giải quyết các kiểu nhiệm vụ của tổ chức tốn học này cũng khơng dễ sử dụng.
Bảng thống kê số lượng nhiệm vụ thuộc vào từng kiểu nhiệm vụ
TCTH tham chiếu tham chiếu
Kiểu nhiệm vụ
SGK cơ bản SGK nâng cao
OM1 T1 14 (34,2%) 71 (64,5%) OM2 T21 + T22 6 (14,6%) 5 (4,5%) OM1 T3 6 (14,6%) 5 (4,5%) OM1 T4 6 (14,6%) 8 (7,3%) OM1 T5 9 (22%) 21 (19,2%) Tổng 41 (100%) 110 (100%) Bảng 2.5 Từ bảng thống kê chúng tơi kết luận :
Vết của tổ chức tốn học OM1 chiếm ưu thế (chiếm tỷ lệ 35/41 nhiệm vụ trong bộ SGK cơ bản và 105/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao).
Vết của tổ chức tốn học OM2 tồn tại nhưng ít hơn OM1 (chiếm tỷ lệ 6/41 nhiệm vụ trong bộ SGK cơ bản và 5/110 nhiệm vụ trong bộ SGK nâng cao).
Lí do dẫn đến kết quả trên cĩ thể được giải thích : Vì các kiểu nhiệm vụ và kỹ thuật là vết của tổ chức tốn học OM2 hầu như khơng được sử dụng với mục đích là cơng cụ nghiên cứu các đối tượng tri thức khác cĩ liên quan đến khái niệm giới hạn như : khái niệm hàm số liên tục, đạo hàm, các đường tiệm cận của đồ thị hàm số ...
Chúng tơi chọn phân tích bộ SGK : « Precalculus : Graphical, Numerical, Algebraic – year 12 ». Nội dung của giới hạn được trình bày trong chương 10 với tiêu đề chương là « An Introduction to Calculus : Limits, Derivativess, and Integrals » (một giới thiệu về phép tính vi tích phân : giới hạn, đạo hàm và tích phân) và được chia thành 4 phần lớn :
10.1 Limits and Motion : The Tangent Problem (Giới hạn và chuyển động : Bài tốn tiếp tuyến)
10.2 Limits and Motion : The Area Problem (Giới hạn và chuyển động : Bài tốn diện tích)
10.3 More on Limits (Giới hạn)
10.4 Numerical Derivatives and Integrals (đạo hàm và tích phân)
Sau đây chúng tơi sẽ đi phân tích một cách rõ ràng hơn về nội dung giới hạn được đề cập trong bộ SGK Mỹ (SGK.M), với cách trình bày nghiên cứu hồn tồn giống với việc phân tích các bộ SGK Việt Nam để cĩ thể dễ dàng so sánh những điểm giống và khác nhau trong cách xây dựng và trình bày tri thức giới hạn hữu hạn của hàm số. Từ đĩ làm rõ những lựa chọn sư phạm khác cĩ thể sử dụng trong việc giảng dạy khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số ở trường phổ thơng.
2.2.2.1 Giới hạn hữu hạn của hàm số hoạt động dưới dạng là Đối tượnga) Phần lý thuyết a) Phần lý thuyết