Yêu cầu của bài tốn tính tốn phổ HHG là giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian của điện tử trong nguyên tử, phân tử khi chịu tác dụng của trường lade. Như vậy, trên nguyên tắc, chúng ta cĩ thể thu nhận được phổ HHG bằng phương pháp giải chính xác phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian (TDSE). Đây là hướng giải quyết trực tiếp để tìm được phổ HHG. Một số tác giả đã sử dụng hướng giải quyết này và thu nhận phổ HHG của các nguyên tử, phân tử với sự hỗ trợ đắc lực của máy tính. Song vì tính chất phức tạp của bài tốn nguyên tử, phân tử trong điện trường, cùng với sự giới hạn về mặt tài nguyên của máy tính, do đĩ các kết quả thu nhận được hiện nay chỉ dừng lại cho H2 hay ion của nĩ H2+ [18]. Vì vậy, một yêu cầu đặt ra trong việc nghiên cứu về HHG trong giai đoạn này là xây dựng một mơ hình gần đúng để tính tốn phổ HHG. Chính các kết quả đã thu nhận được bằng việc giải bài tốn chính xác sẽ là cơ sở quan trọng để kiểm chứng tính đúng đắn của các mơ hình gần đúng.
Mơ hình ba bước bán cổ điển của nhĩm Corkum [12] (gọi là mơ hình Lewenstein theo tên tác giả chính) ra đời năm 1993 và hiện nay được xem là một mơ hình “đẹp” giải thích thành cơng các đặc tính của HHG. Mơ hình này được xét trong phép gần đúng chuẩn tĩnh, tức là sự thay đổi của điện trường diễn ra chậm so với chuyển động của electron ở trạng thái liên kết, nhờ vậy hàm sĩng electron cĩ thểđiều chỉnh cho phù hợp với thế năng tổng hợp, đồng thời electron cũng cĩ đủ thời gian để xuyên hầm hoặc vượt rào ra khỏi hố thế tổng hợp và đi vào miền liên tục của trường lade trước khi trường lade đổi dấu.
Theo mơ hình, quá trình phát xạ sĩng hài bậc cao cĩ thểđược mơ tả qua ba bước:
Bước 1 – Electron sẽ xuyên hầm từ trạng thái cơ bản ra miền năng lượng liên tục.
Bước 2 – Electron được gia tốc bởi trường điện của lade.
Bước 3 – Do tính tuần hồn của lade, khi lade đổi chiều electron bị kéo ngược về lại, kết hợp lại với ion mẹ và phát ra HHG.
Hình 2.10:Mơ hình ba bước bán cổđiển Lewenstein.
Mơ hình ba bước Lewenstein được xây dựng dựa trên hai giả thuyết:
Trong vùng phổ liên tục (năng lượng dương), tác dụng của trường Coulomb đươc bỏ qua, hạt cĩ thểđược coi như một hạt tự do;
Phần đĩng gĩp của tất cả các trạng thái liên kết khác ngồi trạng thái cơ bản vào quá trình phát sĩng hài là khơng đáng kể.
Khi bị chiếu xung lade cĩ cường độ mạnh, nguyên tử cĩ thể bị ion hĩa theo cơ chếđa photon, hoặc xuyên hầm hoặc vượt rào. Thơng thường, trong hiện tượng phát xạ HHG, nguyên tử sẽ bị ion hĩa theo cơ chế xuyên hầm. Khi đĩ electron sẽ xuyên hầm thốt khỏi liên kết của hạt nhân trong nguyên tử, đi vào miền liên tục của trường lade. Theo giả thuyết thứ nhất, chuyển động của electron trong vùng này hồn tồn tuân theo các quy luật cổ điển. Electron sẽ đổi chiều chuyển động khi trường lade đổi dấu, quay về tương tác với ion mẹ. Sự tương tác giữa electron và ion mẹ sẽ tạo ra một lưỡng cực điện. Lưỡng cực này dao động sẽ phát ra photon năng lượng cao, đĩ chính là HHG. Tần số tức thời của lưỡng cực dao động này tương quan với động năng của electron khi tái kết hợp. Nĩi cách khác, electron và photon phát ra liên hệ nhau qua sự bảo tồn năng lượng, năng lượng của photon phát ra bằng với năng lượng tái kết hợp của electron và ion mẹ. Do hàm sĩng tái kết hợp trở về trạng thái ban đầu nên tồn bộ động năng của electron tại thời điểm va chạm và năng lượng ion hĩa ban đầu sẽ chuyển thành năng lượng của photon phát ra, tương ứng với một sĩng hài cĩ tần số ω (là một bội số của tần sốω0 của lade chiếu vào)
0 k p
N E I
Với Ek là năng lượng electron thu được khi dao động trong miền liên tục của trường lade.
Thực chất, HHG phát ra với nhiều tần số khác nhau. Những tần số khác nhau của HHG tương ứng với các quỹ đạo khác nhau của điện tử khi trở về tái va chạm, làm cho động năng của điện tử tại thời điểm va chạm là khác nhau (hay nĩi cách khác đĩ là do năng lượng dao động của hàm sĩng kết hợp khác nhau). Giá trị động năng của điện tử khi quay trở về được xác định là một bội số của thế
truyền động Up: Ek=k.Up. Năng lượng quay trở lại của electron tại thời điểm t1, Ek cĩ thểđạt giá trị cực đại là Ek= 3,17 Up. Như vậy photon phát ra cĩ năng lượng cao nhất là