CHƯƠNG 2: QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.3.3. Một vài bài mô phỏng dạy học định lí theo quy trình trên
Ví dụ 1 : Dạy học định lí về sự tồn tại đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Bước 1: Tạo tình huống, tạo nhu cầu nhận thức thông qua xét bài toán cụ thể sau: 1. Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có tâm là O.Gọi M là trung điểm cạnh CD.
a. Xét vị trí tương đối của đường thẳng AB với hai đường thẳng chéo nhau AD và BB’.
b. Xét vị trí tương đối của đường thẳng OM với hai đường thẳng chéo nhau CD và AC’.
2. Cho tứ diện vuông OABC có góc tam diện đỉnh O là góc tam diện vuông, Xác định đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau OC và AB.
Bước 2. HS khảo sát và phát hiện.
D' C' C' B' B A D C A' M N P Q Hình 23 C O M D A D' B' C' A' B Hình 24
Nhờ các kiến thức về hình lập phương, thông qua các hoạt động phát hiện, hoạt động biến đổi đối tượng HS nhận biết :
Trong bài toán 1.
- Đường thẳng AB cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau AD và BB’. - Đường thẳng OM chứa đường cao OM của tam giác cân MAC’ và OCD nên OM vuôn góc với hai đường thẳng chéo nhau CD và AC’, đồng thời cắt cả hai đường thẳng đó.
Trong bài toán 2: Yêu cầu đường thẳng cần dựng cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau là OC và AB nên đường thẳng đó là giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt qua OC, Đường thẳng đó là OM chứa đường cao vẽ từ O của tam giác OAB.
Từ các hoạt động khảo sát trên GV yêu cầu HS nêu mệnh đề tổng quát : “Tồn tại và duy nhất một đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau a,b bất kỳ”.
Bước 3. Giải quyết vấn đề:( chứng minh dự đoán).
Trong trường hợp này HS cần chỉ ra có thể dựng đường thẳng ∆ cắt và vuông góc với a và b, và chứng tỏ ∆ là duy nhất.
Có thể bồi dưỡng các hoạt động nhận thức của HS thông uqua các bước phân tích bài toán dựng hình nhằm để HS hoạt động biến đổi đối tượng về dạng có thể có thể sử dụng các bước cơ bản để dựng đường thẳng ∆ như sau:
- GV: Em hãy cho biết để xác định ∆ cần xác định những điều kiện nào? - Yêu cầu HS nhận thức : Cần xác định hai điểm
của đường thẳng ∆ hoặc cần xác định một điểm và phương của ∆.
- GV: Trong bài toán trên yếu tố nào đã biết ?có thể xác định được phương của ∆ hay không ? Yêu cầu HS chỉ ra : Phương của ∆ là phương vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua điểm O bất kỳ trong không gian và (P) song song với a,b. Như vậy (P) là mặt phẳng xác định. b' a' a b H Hình 25
Trong trường hợp riêng (P) đi qua b và (P) song song với đường thẳng a. GV: Điểm thuộc ∆cần xác định là điểm nào?
Yêu cầu HS nhận thức : Giả sử ∆ dựng được, khi đó điểm H là giao của a’ và b’ (là các hình chiếu của a,b lên (P)) xác định.
Từ sự phân tích trên suy ra cách dựng ∆. Yêu cầu HS thực hiện các bước sau:
- Dựng mặt phẳng (P) đi qua O bất kỳ trong không gian và (P) sog song với a,b chéo nhau.
- Dựng các dường thẳng a’,b’ là hình chiếu của a,b lên mặt phẳng (P). - Dựng giao điểm H của a’,b’.
- Dựng đường thẳng ∆ qua H và vuông góc với (P).
Yêu cầu HS lập luận chứng minh ∆ là đường thẳng cắt và vuông góc với cả a, b và đồng thời ∆ là duy nhất.
Bước 4: Phát biểu định lí.
Bước 5: Hoạt động củng cố định lí.
- Sử dụng ngôn ngữ toán học diễn đạt AB là đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau a,b.
+ AB là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a,b
⇔A ∈ a, B ∈ b, AB ⊥ a, AB ⊥ b. + AB là đường vuông góc chung của a,b
⇔ A ∈ a, B ∈ b, AB. u = 0, AB. v=0. Trong đó u, v là các véctơ chỉ phương của a,b.
- Hoạt động nhận dạng:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Xét xem các mối quan hệ sau đúng hay sai?
a. Đường thẳng AD là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB’ và DD’?
b. Đường thẳng IJ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AB’ và CD’, trong đó I,J là tâm các mặt ABB’A’, CDD’C’.
a
b A
B
c. Đường thẳng AC’ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và C’D’?
d. Đường thẳng CC’ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’B’?
- Hoạt động thể hiện :
Có thể tiến hành luyện tập cho HS hoạt động thể hiện như sau: Hoạt động 1:Cho tứ diện ABCD có AB=CD, AC=BD, AD=BC.
Hãy xác định các đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng chéo nhau : a. AB và CD
b. AC và BD c. AD và BC
Hoạt động 2: Cho a,b là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Hãy trình bày hai cách dựng đường vuông góc chung của a và b?
Bước 6 : Khai thác các ứng dụng.
- Dựng đường vuông góc chung xét trong các mô hình cụ thể. - Tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Ví dụ1 :Cho hình tứ diện ABCD, AB=CD =a, AC=BD= b, AD=BC=c. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB, CD theo a, b, c.
Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. - Dựng đường vuông góc chung của BD và AB’.
- Tính độ dài đường vuông góc chung trên theo a.
Ví dụ 2: Dạy học định lý về điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Bước 1: Tạo tình huống gợi vấn đề. Giáo viên có thể gợi vấn đề như sau:
-Từ định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta biêt rằng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
GV: Trong một mặt phẳng thì có bao nhiêu đường thẳng ? HS: Có vô số đương thẳng.
GV: Vậy làm thế nào để kiểm tra được một đường thẳng a có vuông góc với tất cả các đường thẳng nằm trong mặt phảng (P) hay không? khi số đường thẳng trong (P) là không thể liệt kê được?
Do đó, để nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta phải dựa vào một dấu hiệu nào đó.
Từ đây gợi cho học sinh nhu cầu khám phá.
Bước 2: HS khảo sát phát hiện vấn đề.
GV dùng công cụ mặt phẳng của phần mềm cabri 3D, dựng mặt phẳng (P).
Dựng hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O, dựng đường thẳng d qua O, vuông góc với a và b, dựng đường thẳng c qua O.
Dịch chuyển đường thẳng c cho học sinh quan sát và dự đoán về quan hệ giữa d và c, Có thể học sinh có thể dự đoán được d vuông góc với c và tìm cách chứng minh dự đoán,
GV: Sử dụng phần mềm và thuộc tính ẩn\hiện để hiện một đường thẳng c’ bất kỳ trong mặt phẳng (P).
Cho học sinh quan sát và dự đoán mối quan hệ giữa d và c’.
GV: Kiểm tra góc giữa các đường thẳng d và c bằng công cụ đo góc của phần mềm Canbri, để khẳng định dự đoán của học sinh.
Bước 3: Giải quyết vấn đề.
GV: Với d là đường thẳng bất kỳ trong (P) phải chứng minh được a vuông góc với d.
GV: Nêu các cách chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng trong không gian?
HS: - Chỉ ra góc giữa chúng bằng 900.
- Chứng minh tích vô hướng của hai VTCP bằng 0.
GV: Ở đây liệu chúng ta có thể sử dụng phương pháp 1 không? khi mà d là một đường thẳng có thể thay đổi ? (không thể ).
Vậy chúng ta sẽ nghĩ đến việc dùng phương pháp 2.
d b a c P O Hình 27
GV: Nêu mối quan hệ giữa ba VTCP b, c, d ?
HS : VTCP b , c, d đồng phẳng, VTCP b, c không cùng phương
⇒ d = m b+ nc (*) ( m,n duy nhất)
- GV: lúc này thay d bằng vế trái của (*), tính a.d bằng bao nhiêu? HS: a.d = a.( m b+ nc) = ma b + na c= 0
Suy ra : a ⊥d
Bước 4 : Phát biểu định lý
Nếu một đường thẳng vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng
Bước 5: Hoạt động củng cố định lý.
HS có thể không chú ý đến diều kiện 2 đường thằng cắt nhau. Do đó khi dạy định lý này giáo viên cần phải nhấn mạnh điều kiện trên. Có thể đưa ra phản ví dụ sau cho học sinh thấy rõ.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, xét mối quan hệ giữa CD với A’D’ và CD với B’C’
Bằng kiến thức đã có của hình lập phương và định lý vừa học hs chứng minh được
Chúng vuông góc.
GV: CD’ có vuông góc với C’D’ không ? HS : không, vì góc ∠CD’C’ = 450.
Vậy nếu ta bỏ giả thiết 2 đường thằng b, c cắt nhau thì định lý không còn đúng.
- Nhận dạng và thể hiện định lý :
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, O là giao điểm của AC và BD, Chứng minh : a) SO ⊥(ABCD)
b) BD ⊥ (SAC)
c) Chỉ ra một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SBD)
Ví dụ 2: Đưa ra bài trắc nghiệm : Phát biểu nào sau dây là sai?
B' C' D' D B C A' A Hình28 O A D C S B Hình 29
a) Một đường thẳng vuông góc với 2 cạnh của một tam giác thì sẽ vuông góc với cạch còn lại.
b) Một đường thẳng vuông góc với 2 cạnh kề nhau của một tứ giác thì vuông góc với mọi dường thẳng trong mặt phẳng chứa tứ giác đó.
c) Một đường thẳng vuông góc với 2 cạnh của một tứ giác thì vuông với mặt phẳng chứa tứ giác đó.
d) Một đường thẳng vuông góc với 2 cạnh cắt nhau của một ngũ giác thì vuông góc với mặt phẳng chứa ngũ giác đó.
Bước 6 : Ứng dụng định lý - Ứng dụng trong toán học.
+ Chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. + Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc.