Quy trình dạy học định lí toán học theo hướng PH và GQVĐ

CHƯƠNG 2: QUY TRÌNH DẠY HỌC ĐỊNH LÍ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.2. Quy trình dạy học định lí toán học theo hướng PH và GQVĐ

Ở chương I chúng ta đã trình bày về hai con đường dạy học định lí là con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn.Từ việc nghiên cứu các con đường dạy học định lí cùng với quy trình dạy học phát hiện và GQVĐ tôi đưa ra quy trình dạy học định lí theo hướng phát hiện và GQVĐ vận dụng vào dạy học hình học không gian như sau:

Sau đây chúng ta sẽ phân tích kỹ từng bước trong quy trình trên

Bước 1. Tạo tình huống gợi vấn đề.

Trong dạy học định lí, để khơi dậy nhu cầu nhận thức của HS, GV cần tạo tình huống hàm chứa các đối tượng, các quan hệ, các quy luật chung ẩn chứa trong

Khai thác các ứng dụng của định lí Củng cố định lí:

Hoạt động ngôn ngữ.

Nhận dạng và thể hiện định lí.

Hình thành định lí: Phát biểu nội dung định lí. Giải quyết vấn đề:

Tìm hướng chứng minh mệnh đề dự đoán. Trình bày cách giải quyết.

HS khảo sát, phát hiện vấn đề: Xem xét vấn đề, tìm thông tin. Phân tích vấn đề.

Dự đoán, phát biểu mệnh đề.

những trường hợp riêng lấy trong nội bộ toán học hoặc trong thực tiễn. Đây chính là hoạt động gợi động cơ mở đầu trong dạy học định lý. Tuy nhiên, không phải định lý nào cũng cần thiết tạo tình huống gợi vấn đề, tùy theo từng loại định lý mà GV có thể tạo tình huống gợi vấn đề theo các cách thông dụng như sau:

- Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm (nghiên cứu thực nghiệm qua các ví dụ, các đối tượng cụ thể: số, hình, đồ thị)

- Lật ngược vấn đề. - Xem xét tương tự. - Khái quát hóa.

Nhưng dù hoạt động tạo tình huống gợi vấn đề xuất phát từ thực tế hay từ nội bộ toán học thì đều có mục đích chính là đưa HS vào những vấn đề xảy ra trong hiện thực khách quan cần câu trả lời, kích thích trí tò mò và tạo niềm tin cho học sinh rằng mình có thể giải đáp vấn đề đó.

Ví dụ 1: Khi dạy học định lý “Nếu một đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)”.

GV có thể gợi vấn đề như sau:

- Từ định nghĩa đưởng thẳng vuông góc mặt phẳng ta biết rằng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.GV: Trong một mặt phẳng thì có bao nhiêu đường thẳng ?

HS: Có vô số đường thẳng.

GV: Vậy làm thế nào để kiểm tra được một đường thẳng a có vuông góc với tất cả các đường thẳng

nằm trong mặt phẳng (P) hay không? Khi số đường thẳng trong (P) là không thể liệt kê được?

Do đó, để nhận biết một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta phải dựa vào một dấu hiệu nào đó.

Từ đây gợi cho HS tính tò mò, khơi dậy nhu cầu khám phá.

a

b c

d

Ví dụ 2: Khái quát định lý pitago cho tam giác vuông lên trong không gian.

- GV: Yêu cầu HS phát biểu nội dung định lý pitago trong tam giác vuông. Từ kết quả của định lý pitago trong mặt phẳng hãy mở rộng kết quả trong không gian?

Việc mở rộng kết quả của một định lý trong mặt phẳng lên trong không gian là một việc làm tương đối khó với HS. Tuy nhiên, nếu có sự hướng dẫn của GV, HS sẽ dần làm quen. Ở đây, chúng ta có thể sử dụng CNTT để tạo tình huống gợi vấn đề cho học sinh.

GV: Với tam diện ABCD vuông ở A GV sử dụng công cụ tính diện tích để xác định diện tích của các mặt bên và

diện tích mặt đáy, sau đó so sánh S2 ∆BCD với tổng của S2 ∆ABC, S2 ∆ACD và S2 ∆ADB.

Qua hoạt động này HS sẽ phát hiện và đi đến phát biểu được định lý mở rộng lên không gian của định lý pitago “Cho tứ diện ABCD có tam diện ở đỉnh A vuông.

Khi đó, bình phương diện tích mặt đáy bằng tổng bình phương diện tích các mặt bên”.

Dạy học hình học không gian mà cụ thể là dạy học định lý trong hình học không gian, không chỉ là dạy cho học sinh nắm được định lý mà cần làm cho HS hiểu được cách vận dụng định lý và giải toán, ứng dụng của nó trong thực tế. Tuy nhiên, trong quá trình dạy học hình học không gian không phải bao giờ việc gợi động cơ cho một định lý nào cũng có thể làm được một cách dễ dàng, nó gặp khá nhiều khó khăn bởi hình học không gian nằm trong không gian ba chiều trong khi chúng ta chỉ có thể biểu diễn nó trong không gian hai chiều.

Vì vậy, trong quá trình hình thành định lý cho HS có thể sử dụng sự hỗ trợ của CNTT để tạo các hình ảnh minh họa.

Ví dụ 3: Dạy học định lý “Nếu hai mặt phẳng song song với nhau, bị cắt bởi mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng song song với nhau”.

GV: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau bị cắt bởi mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng có quan hệ với nhau như thế nào?

Với câu hỏi này, HS có thể trả lời được hoặc không. Trong trường hợp không trả lời được là do các em quên, thêm vào đó khả năng tưởng tượng hạn chế. Do đó, GV sẽ sử dụng Cabri 3D để minh họa cho trường hợp trên. Cụ thể là sử dụng chức năng động của Cabri 3D cho HS quan sát sự chuyển động của mặt phẳng thứ 3, từ đó nhận ra vị trí tương đối của hai giao tuyến.

Bước 2: HS khảo sát, phát hiện vấn đề.

Qua các mô hình trực quan, các ví dụ, bài toán với hoạt động phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hóa, hoạt động biến đổi đối tượng làm bộc lộ các mối liên hệ chung, các quy luật chung từ những tình huống mang những hình thức khác nhau.

Ở giai đoạn này, HS cần phân tích vấn đề và tự mình đặt ra các câu hỏi về vấn đề. Hoạt động khảo sát, phát hiện vấn đề của HS tùy thuộc vào trình độ của HS và vấn đề đưa ra mà ta có thể để HS độc lập hoặc hợp tác làm việc với nhau theo nhóm hoặc làm việc dưới sự hướng dẫn của GV. Tuy nhiên dù ở hình thức nào thì ở giai đoạn này, GV cần hình thành cho HS khả năng phát hiện mấu chốt của vấn đề, khả năng tìm ra những quy luật chung từ những đối tượng đã biết, qua đó dự đoán mệnh đề.

Trong quá trình này, GV cần lưu ý tới việc sử dụng các phần mềm dạy học nhằm mục đích giúp học sinh dự đoán các tính chất, đặc điểm nổi bật của đối tượng.

Có nhiều hình thức để tập cho học sinh dự đoán mệnh đề từ đó hình thành định lý như:

- Dự đoán bằng đặc biệt hóa. - Dự đoán bằng tương tự hóa.

- Dự đoán dựa vào những quan sát, phân tích, so sánh.

Ví dụ 1: Tập cho HS dự đoán mệnh đề bằng hoạt động nhóm:

Dạy học định lý về thể tích của khối lăng trụ “Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ đó”.

HS thường gặp những bài toán có đáy là tam giác, tứ giác, ít khi gặp những bài toán có đáy là lục giác, thất giác… nên để dẫn dắt HS đi đến định lý này, GV có thể phân lớp thành 2 nhóm.

Nhóm 1: Tính thể tích của khối lăng trụ có đáy là tam giác.

Nhóm 2: Tính thể tích của khối lăng trụ có đáy là tứ giác.

Ở nhóm 1: GV yêu cầu HS chia khối lăng trụ ABC A’B’C’ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng (A’BC’) và mặt phẳng (A’BC).

HS có thể tìm được câu trả lời: Ba khối tứ diện là A’ABC, BA’B’C’, A’BCC’. HS có thể tự chứng minh được ba khối tứ diện đó có thể tích bằng nhau.

Suy ra: VABCA’B’C’ = 3.VA’ABC = 3. 3 1

SABC. h = S.h (h là chiều cao của khối lăng trụ).

Do đó thể tích khối lăng trụ tam giác bằng diện tích đáy nhân chiều cao.

Ở nhóm 2: GV hướng dẫn HS chia khối lăng trụ thành hai khối lăng trụ tam giác rồi thực hiện các yêu cầu như ở nhóm 1.

B' C' C' A C A' B Hình 13

Từ đó suy ra :

VABCDA’B’C’D’ = VABDA’D’B’ + V BCDB’D’C’ = (SABD + SBDC).h

= SABCD, h

Như vậy, thể tích của lăng trụ tứ giác cũng bằng tích số của diện tích đáy với chiều cao.

Từ đó HS có thể đưa ra một mệnh đề dự đoán về thể tích của khối lăng trụ bất kỳ. Tìm cách

chứng minh mệnh đề dự đoán.

Ví dụ 2: Dạy học định lý về công thức hình chiếu: S’= S. cosα

Trước hết GV đưa ra bài toán : cho hình chóp SABC, Có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), H là hình chiếu của A lên BC, α là góc tạo bởi 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC),

Hãy nêu mối liên hệ giữa SABC và SSBC ?

Ở đây GV có thể sử dụng CNTT để giúp HS phát hiện VĐ.

GV sử dụng cabri để dựng hình, sử dụng công cụ đo diện tích để đo SABC và SSBC,

Dùng công cụ đo góc để đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC),

Cho kết quả : cosα =.

SBCABC ABC S S B C' B' D' C A D A' Hình 14 Hình 15 Hình 16

Từ đây HS có thể dự đoán được mệnh đề nhưng vẫn có những nghi vấn rằng nếu S hoặc A thay đổi thì cosα cúng thay đổi , Khi đó liệu đẳng thức có còn đúng nữa không?

GV có thể dùng chức năng động thay đổi vị trí của điểm A và điểm S. Cho HS quan sát thì thấy cosα thay đổi, SABC và SSBC cũng thay đổi, nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức : Cosα = SBC ABC S S

Khi đó HS tin vào dự đoán của mình là Cosα = SBC ABC S S và tìm cách chứng minh dự đoán,

Sau khi HS chứng minh GV đưa ra nhận xét: Chúng ta thấy ∆ABC và ∆SBC có mối liên hệ gì với nhau?

Câu trả lời được mong đợi: ABC là hình chiếu của SBC lên mặt phẳng đáy.

GV: Như vậy khi khái quát bài toán trên cho hình đa diện cũng chứng minh được kết quả tương tự, đó chính là định lí về công thức diện tích hình chiếu.

Hoạt động trên có sự hỗ trợ của phần mềm cabri 3D đã giúp HS phát hiện vấn đề và tạo niềm tin để đi chứng minh vấn đề đó.

Tuy nhiên việc áp dụng phần mềm có những ưu điểm và nhược điểm riêng của nó. Nếu ta sử dụng phần mềm một cách hợp lý, đúng lúc thì sẽ làm tăng hiệu quả của bài giảng, giúp HS tư duy, biết nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ, nhất là dưới góc độ của sự vận động, còn nếu ta lạm dụng những tính năng của phần mềm sẽ làm mất đi trí sáng tạo, tạo ra môi trường lười nhác cho HS.

Do đó việc sử dụng CNTT phải hợp lý, đúng cách.

Bước 3: Giải quyết vấn đề.

Sau quá trình biến đổi đối tượng, hoạt động điều ứng, phân tích, thiết lập các mối liên hệ giữa vấn đề với kiến thức đã biết, HS có thể trình bày cách giải quyết. Giải thích các quy luật, các mối liên hệ theo quy tắc lô gic.

Trong giai đoạn này, không thể bỏ qua đánh giá phản hồi của GV. GV không chỉ là người chính xác hóa lại nội dung kiến thức mà còn là người kết luận

cuối cùng tính ngắn gọn và ưu Việt của giải pháp. Một vấn đề có thể có nhiều hướng giải quyết, nhưng cần chọn ra hướng giải quyết tốt nhất cho HS.

Khi HS lúng túng trong việc giải quyết vấn đề thì GV cần hướng cho HS quay trở lại phân tích vấn đề để tìm ra cách giải quyết.

Ví dụ 1:

Sau khi dẫn dắt HS dự đoán đưa ra mệnh đề : “ Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng vuông góc với mặt phẳng đó”.

GV có thể hướng dẫn HS GQVĐ như sau :

    ≡ × ⊥ ⊥ a Q P R Q R P ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

Do đó cần chứng minh a vuông góc với (R)

GV: Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng ta có những hướng nào ?

HS :

- Hướng 1: chứng minh a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (R) - Hướng 2: tìm một đường thẳng d nào đó vuông góc với (R) và chứng minh a song song với d.

GV : Căn cứ vào giả thiết ta nên chọn hướng nào? HS : Hướng 2

GV phân tích : (P) ⊥ (R ) nên tồn tại đường thẳng a nằm trong (P) và d ⊥ (R ). (Q) ⊥ (R ) nên tồn tại đường thẳng b nằm trong (Q) và b ⊥ (R ). GV : Dựa vào các định lí đã học tìm mối tương quan giữa d, b, và a ?

Mong đợi HS trả lời :

- Nếu d trùng với a hoặc b trùng với a thì suy ra a vuông góc với (R ). - Nếu d khác a và b khác a thì do d ⊥ (R ), b ⊥ (R ) nên d // b. Do đó qua d và b xác định mặt phẳng (d, b) a Q P R Hình 17

Áp dụng định lí về giao tuyến của 3 mặt phẳng đối với (P), (Q), (d,b) ta có : a // d, a // b ⇒ a ⊥ (R ).

Ví dụ 2 : Khi dạy học định lý về thể tích của khối lăng trụ. Sau khi đưa ra được mệnh đề dự đoán : V = S.h GV có thể hướng dẫn cho HS chứng minh mệnh đề như sau : khi đáy lăng trụ là một đa giác bất kỳ thì hãy dựa vào trường hợp đáy là tam giác để chứng minh, Vi đa giác nào cũng có thể phân chia được thành các tam giác không có điểm trong chung nên có thể phân chia khối lăng trụ đó thành các khối lăng trụ tam giác.

Từ đó HS có thể định hướng được cách chứng minh và tiến hành tiếp công việc chứng minh.

Bước 4: Phát biểu định lý.

Tất cả mọi hoạt động ở trên đều nhằm mục đích giải quyết một vấn đề và khi vấn đề được giải quyết là đã hoàn thành nhiệm vụ kiến tạo một định lý mới cho HS bằng những hoạt động của HS. Ở bước này, cần làm cho HS nắm vững các điều kiện giả thiết và kết luận suy ra được khi có các giả thiết đó. Nội dung của giả thiết phải đầy đủ, chính xác thì kết luận mới đúng.

Ví dụ khi dạy học định lí “ Một đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng b, c cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P)”.

Cần nhấn mạnh cho HS hiểu hai đường thẳng b, c nằm trong mặt phẳng (P) phải thỏa mãn điều kiện là cắt nhau.

GV có thể đặt câu hỏi: vậy trong trường hợp b, c không cắt nhau thì liệu định lí còn đúng không ?

Lấy một phản ví dụ cho HS thấy nếu không có giả thiết là hai đường thẳng cắt nhau thì định lí không còn đúng nữa. Chẳng hạn

có thể đưa ra ví dụ sau :

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’, Khi đó AB’ vuông góc với B’C’ và AB’ vuông góc với

D' C' C' B' B A D C A' Hình 18

A’D’. Ta có A’D’ và B’C’ là hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng A’B’C’D’, A’D’ song song với B’C’.

Rõ ràng ở đây AB’ không vuông góc với mặt phẳng (A’B’C’D’) vì góc ∠AB’A bằng 45 độ.Hay AB’ không vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (A’B’C’D’).

Bước 5: Củng cố và vận dụng định lý.

Việc củng cố tri thức, kỹ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học toán.

Củng cố cần được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kỹ năng, kỹ xảo, thói quen và thái độ. Tuy nhiên, việc củng cố ở đây ta chỉ xét ở việc củng cố tri thức và kỹ năng.

Hình thành định lý xong không chỉ dừng lại ở đó mà GV có thể đưa ra các câu hỏi, các tình huống giúp HS liên hệ, so sánh định lý này với các định lý đã