4) Kiểm tra và nghiờn cứu lời giải đó tỡm được:
2.2.1. Phương thức 1 Rốn luyện cho học sinh kỹ năng dự đoỏn.
Tỏc dụng của phương thức này là nhắc nhở học sinh luụn quan tõm tới cỏc dự đoỏn cú cơ sở khi giải một số bài toỏn về bất đẳng thức.
“Dự đoỏn là một phương phỏp tư tưởng được ứng dụng rộng rói trong nghiờn cứu khoa học. Đú là căn cứ cỏc nguyờn lý và sự thật đó biết để nờu lờn những giả định về cỏc hiện tượng và quy luật chưa biết” [31, tr. 242].
Nhà toỏn học G. Polya đó phỏt biểu: “Toỏn học được coi như là một mụn khoa học chứng minh. Tuy nhiờn, đú mới chỉ là một khớa cạnh của nú. Toỏn học hoàn chỉnh, được trỡnh bày dưới hỡnh thức hoàn chỉnh, được xem như chứng minh thuần tỳy, chỉ bao gồm cỏc chứng minh. Nhưng Toỏn học trong quỏ trỡnh hỡnh thành gợi lại mọi kiến thức khỏc của nhõn loại trong quỏ trỡnh hỡnh thành. Bạn phải dự đoỏn về một định lý toỏn học trước khi bạn chứng minh nú. Bạn phải dự đoỏn về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Nếu việc dạy toỏn phản ỏnh ở mức độ nào đú việc hỡnh thành toỏn học như thế nào, thỡ trong việc giảng dạy đú, phải dành chỗ cho dự đoỏn cho suy luận cú lý” [16, tr. 6].
Cỏc tỏc giả trong cuốn Giỏo dục học mụn Toỏn nhận xột: “Trong việc giảng dạy và học tập mụn Toỏn, việc tỏch rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyờn nhõn rất cơ bản của sự kỡm hóm sự phỏt triển tư duy sỏng tạo của học sinh” [2, tr. 9].
Ngay lỳc bắt tay vào giải toỏn, đó cú cỏi gỡ đú thỳc dục bạn nhỡn lờn phớa trước. Bạn thử đoỏn trước điều gỡ sẽ xảy ra, bạn dự đoỏn những đường bao của lời giải. Đường nột ấy cú thể mơ hồ, ớt hoặc nhiều, thậm chớ cú thể khụng chớnh xỏc ở mức độ nào đú, nhưng thực tế những đường bao ấy khụng đến nỗi quỏ sai lệch.
“Tất cả những người giải toỏn đều xõy dựng cỏc phỏng đoỏn hay đề ra giả thiết, song giữa phỏng đoỏn của mỗi người cú khỏc nhau” [17, tr. 307].
Lỳc khụng tỡm được cõu trả lời trọn vẹn, người cú nhiều kinh nghiệm sẽ cố gắng dự đoỏn một bộ phận nào đú nột đặc trưng trong lời giải, một tiếp cận nào đú của lời giải. Rồi sau đú cố gắng mở rộng dự đoỏn của mỡnh, đồng thời tỡm cỏch kiểm tra dự đoỏn của mỡnh cú phự hợp với bài toỏn khụng.
Khụng ai biết dự đoỏn của mỡnh triển vọng đến mức nào, khụng thể đỏnh giỏ chớnh xỏc những dự đoỏn này, tuy nhiờn trong nhiều trường hợp người giải cảm nhận được rừ ràng triển vọng của cỏc dự đoỏn do chớnh bản thõn đưa ra.
Như vậy ngoài cảm giỏc về những điều liờn hệ hay khụng liờn hệ với bài toỏn cần giải, ngoài cảm giỏc tiếp nhận lời giải, ta nhận thấy trong suy nghĩ của người giải cũn cú một cảm giỏc khỏc đú là: Dự đoỏn.
Dự đoỏn này cú liờn hệ với vấn đề khụng? Cũn xa lời giải khụng? Dự đoỏn này chớnh xỏc đến mức nào? Những cõu hỏi đú luụn theo người giải trờn từng bước đi. Cỏc cõu hỏi này cũng như những cõu trả lời của chỳng được cảm nhận nhiều hơn là được trả lời.
Dự đoỏn khụng những giỳp ta thật sự hiểu bài toỏn mà trong giải bài tập cũn giảm được những cỏch giải mày mũ, mự quỏng, trước những bài toỏn khú khụng vội đi vào tớnh toỏn, chứng minh ngay mà biết căn cứ vào dữ kiện và mục tiờu cần giải quyết để cú những trự liệu, phỏn đoỏn. Nú thuộc loại vấn đề gỡ? Đại thể nờn bắt đầu từ đõu? Sau đú mới bắt tay vào tớnh toỏn, chứng minh. Khi đạt được một kết quả nào đú thỡ kết hợp với mục tiờu dự đoỏn, cảm nhận được cỏch giải nào sẽ đạt được kết quả. Nếu thấy cú thể được thỡ sẽ tiếp tục phương phỏp đú, nếu cảm nhận thấy khụng được thỡ phải quay lại điều kiện ban đầu để dự đoỏn, tỡm cỏch giải khỏc, điều chỉnh cho tới khi giải được bài toỏn.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn thỡ hiện nay việc dạy học toỏn ở nhà trường trung học phổ thụng thường chỉ chỳ ý đến truyền thụ tri thức mà ớt quan tõm đến việc dạy tỡm tũi, bởi vậy, phương phỏp thực nghiệm và quy nạp bị coi nhẹ.
Cú ý kiến cho rằng, nếu dạy cho học sinh dự đoỏn thỡ sẽ rất tốn kộm về mặt thời gian và khối lượng kiến thức truyền thụ được sẽ bị hạn chế. Thực ra, tuy là cú tốn kộm về mặt thời gian thật, nhưng sau đú "sẽ được đền bự nhanh chúng khi mà tư duy học tập của học sinh đó được phỏt triển".
Trong quỏ trỡnh dạy học mụn Toỏn, nhiều lỳc người giỏo viờn thể hiện sự ỏp đặt về mặt kiến thức. Sở dĩ họ ỏp đặt về mặt kiến thức vỡ họ khụng tài nào lớ giải cho học sinh hiểu tại sao ta lại tiến hành biến đổi bài toỏn theo cỏch ta đang làm, chẳng hạn như đối với bài toỏn sau:
Bài toỏn 2.2.1.1. Cho hai số thực dương x và y thỏa món x+y≤1. Tỡm giỏ trị
nhỏ nhất của biểu thức P=x+y+1x+1y .
“ (x y) y y x x P=4 +1+4 +1 −3 + . Áp dụng bất đẳng thức Cụ – si, ta cú 4 1 4 1 . 4 2 1 4 + ≥ ⇒ + ≥ x x x x x x . Tương tự 4 + 1 ≥4 y y .
Theo giả thiết ta cú x+ y≤1⇒−3(x+y)≥−3. Do đú: P≥5. 2 1 1 4 1 4 1 0 ; 0 5 ⇔ = = = = = + > > ⇔ = x y y y x x y x y x p .
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của P là 5.”, mà khụng quan tõm tới việc lý giải hoặc yờu cầu học sinh giải thớch tại sao lại giải như thế.
Thực ra mấu chốt ở đõy là việc dự đoỏn P sẽ đạt giỏ trị nhỏ nhất khi
21 1
== y = y
x .
Hiệu quả của giờ dạy học khụng chỉ là thể hiện cỏch giải nhiều bài toỏn, mà điều quan trọng nằm ở chỗ cỏch thức tư duy, cỏch phỏt hiện vấn đề. G. Polya viết: "Khi đọc sỏch toỏn người ta cú hai điều mong muốn: thứ nhất là, xỏc nhận được bước chứng minh mỡnh đang đọc là đỳng; thứ hai là, rừ mục đớch bước đú. Một người thầy phải biết rằng tất nhiờn cần phải viết và núi đỳng, nhưng như thế là chưa đủ; một sự suy luận dự đỳng thỡ vẫn cú thể khú hiểu và chẳng bổ ớch nếu người đọc khụng hiểu được nhờ đõu mà tỏc giả cú được sự chứng minh như vậy".
Một số yờu cầu sau đõy là nờn thực hiện để nhằm phỏt triển cho học sinh năng lực dự đoỏn:
Thứ nhất, cần phải cú quan điểm và thỏi độ đỳng mực đối với việc luyện tập cho học sinh dự đoỏn. Trong quỏ trỡnh dạy học toỏn khụng thể hoàn toàn bỏ qua việc luyện tập cho học sinh dự đoỏn, tuy vậy cũng khụng nờn thỏi quỏ đối với vấn đề dự đoỏn. Chẳng phải khi nào cũng buộc học sinh dự đoỏn và khụng phải trong mọi tỡnh huống thỡ hàm lượng của dự đoỏn đều là như nhau. Giỏo viờn phải căn cứ vào khả năng nhận thức của học sinh để quyết định vấn đề như thế nào thỡ yờu cầu học sinh dự đoỏn, những vấn đề như thế nào thỡ học sinh dự đoỏn một phần.
Thứ hai, cần làm cho học sinh hiểu bản chất của dự đoỏn là nú cũn cú tớnh bấp bờnh, cho nờn nú khụng được thay thế cho cỏc phộp chứng minh, vỡ vậy muốn cú một lời giải trọn vẹn thỡ sau những bước dự đoỏn cần thiết phải cú những hoạt động chứng minh. Ta cú thể lựa chọn một số vớ dụ mà đa phần học sinh khi thực hiện việc dự đoỏn vào vớ dụ ấy thường bị mắc sai lầm. Với những vớ dụ như vậy sẽ giỳp học sinh cú sự cảnh giỏc với những lần dự đoỏn sau này.
Thứ ba, trong quỏ trỡnh tập luyện cho học sinh dự đoỏn cần động viờn khớch lệ nhưng đồng thời cũng thể hiện mối quan hệ biện chứng giữa quy nạp và suy diễn. Hoạt động dạy và hoạt động học đương nhiờn chịu ảnh hưởng của những yếu tố tõm lý. Học sinh chỉ cú thể tớch cực suy nghĩ nếu cú hứng thỳ học tập và như Krutexki đó chỉ ra thỡ: "Hứng thỳ thường mang màu sắc xỳc cảm", bởi vậy sự động viờn khớch lệ một cỏch hợp lớ cũng là điều rất cần thiết. Ta khụng nờn nghĩ rằng, trong quỏ trỡnh dạy học chỉ cần truyền thụ kiến thức sao cho đầy đủ và chớnh xỏc là được. Mà ý thức được rằng yếu tố tõm lớ luụn cú một vai trũ quan trọng tỏc động đến hiệu quả của việc chiếm lĩnh tri thức.
Nếu thầy giỏo yờu cầu học sinh dự đoỏn về một tỡnh huống thỡ cú thể họ đưa ra cõu trả lời mà thầy biết là chưa đỳng, lỳc đú thầy giỏo đừng nờn bỏc bỏ một cỏch độc đoỏn, mà phải cố gắng chỉ ra ớt nhất một phản vớ dụ để giỳp học sinh điều chỉnh phương hướng dự đoỏn của họ. Về vấn đề này, J. Piaget cú quan điểm: "chỉ cú sự hoạt động được giỏo viờn thường xuyờn khớch lệ nhưng vẫn luụn tự do trong mũ mẫm và ngay cả trong những sai lầm thỡ mới cú thể đưa tới sự độc lập về mặt trớ tuệ".
Đối với những vấn đề mà thầy giỏo biết rằng học sinh đó dự đoỏn đỳng thỡ cũng chưa nờn núi ngay rằng em đó đoỏn đỳng mà cú thể thay vào đấy nờn yờu cầu học sinh kiểm tra thờm dự đoỏn của mỡnh một lần nữa. Đồng thời chỳng ta cũng chỳ ý rằng, đối với những cõu trả lời của học sinh chưa được như mong đợi của mỡnh thỡ lỳc đú thầy giỏo cú thể dẫn dắt thờm để hướng dẫn học sinh đến cõu trả lời chuẩn xỏc; tuy nhiờn, nếu theo lý thuyết tỡnh huống thỡ "trong dạy học, sự giỳp đỡ của thầy giỏo cần phải kiềm chế một cỏch tối đa trong chừng mực cú thể được, và cú thể thực hiện mức độ dần đến đỏp ứng những mức độ cần thiết".
Thứ tư, cần làm cho học sinh ý thức được ý nghĩa của hoạt động dự đoỏn. Làm cho học sinh thấy được vai trũ của dự đoỏn khụng cú nghĩa là ta chỉ nhấn mạnh bằng lời mà phải thụng qua những tỡnh huống cú chuẩn bị trước, được cài đặt trước, để rồi từ đấy thuyết phục được và tỏc động đến sự cảm nhận của học sinh. Học tập bằng sự thớch nghi với mụi trường, tạo ra mụi trường chứa đựng những khú khăn, chướng ngại, tạo ra sự mõu thuẫn, sự mất cõn bằng. Một mụi trường nếu khụng cú dụng ý sư phạm, khụng cú dụng ý dạy tri thức kiến thức thỡ mụi trường đú khụng hội đủ điều kiện để truyền thụ cho học sinh những kiến thức và xó hội mong muốn. Bản chất của vấn đề này là gợi động cơ, tức là làm cho học sinh ý thức được ý nghĩa của hoạt động (đõy cũng chớnh là một trong những vấn đề trọng tõm của lớ thuyết hoạt động),
muốn vậy cần thiết kế những vớ dụ khỏ tinh tế, để thụng qua đú học sinh cú thể thấy được rằng: trong vấn đề này, khõu then chốt nằm ở hoạt động dự đoỏn, nhờ cú dự đoỏn mà mỡnh đó đưa ra được cỏch biến đổi hợp lớ hoặc cỏc thao tỏc phự hợp, từ đú hướng tới việc định hướng và giải được bài toỏn.
Trong luận văn này Chỳng tụi quan tõm tới cỏc dự đoỏn sau:
2.2.1.1. Dự đoỏn bằng khỏi quỏt húa.
Khỏi quỏt húa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cỏch nờu bật một số trong cỏc đặc điểm chung của cỏc phần tử của tập hợp xuất phỏt [9, tr. 55].
Trong cuộc sống và học tập, khắp nơi và mọi lỳc đều cần đến phương phỏp tư duy khỏi quỏt. Khụng cú khỏi quỏt thỡ khụng cú khoa học, khụng biết khỏi quỏt là khụng biết cỏch học. Khả năng khỏi quỏt là khả năng học tập vụ cựng quan trọng. Khả năng khỏi quỏt Toỏn học là một khẳ năng khỏi quỏt đặc biệt. Khỏi quỏt húa cú nhiều vấn đề bao gồm: khỏi quỏt cỏc tài liệu Toỏn học, cỏc quan hệ số lượng, quan hệ hỡnh vẽ khụng gian và khả năng tớnh toỏn, khỏi quỏt phương phỏp giải,…
Trong Toỏn học khả năng khỏi quỏt húa cú vai trũ quan trọng trong việc hỡnh thành cỏc kiến thức hay tiến hành giải cỏc bài toỏn. Người ta thường xuất phỏt từ những trường hợp cụ thể để đi đến cỏi tổng quỏt và ngược lại cú thể dựng cỏi tổng quỏt để soi sỏng những trường hợp cụ thể. Chẳng hạn:
Vớ dụ 2.2.1.1.1. Từ bất đẳng thức Cụ - si đối với hai số khụng õm: “Với mọi
0 ,
0 ≥
≥ b
a ta cú a+b≥ ab
2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b” và bất đẳng thức Cụ - si đối với ba số khụng õm: “Với mọi a≥0, b≥0, c≥0 ta cú
3
3 abc
c b
ta cú dự đoỏn: “Với mọi a1 ≥0, a2 ≥0, ... an ≥0 ta cú n n n aa a n a a a ... ... 2 1 2 1+ + + ≥
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1= a2= ... =an”.
Vớ dụ 2.2.1.1.2. Để giải bài toỏn: “Chứng minh rằng với mọi tam giỏc ABC,
ta cú 3cosA+2 3cosB+2cosC≤4”, ta cú thể nghĩ đến việc giải bài toỏn tổng quỏt hơn: “Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng với mọi tam giỏc
ABC, ta cú 2 cos cos cos 2 2 2 y z x C xy B xz A yz + + ≤ + + ”. Ta cú thể giải vắn tắt bài
toỏn tổng quỏt này như sau: “Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
(zcosB+ycosC−x) (2 + zsinB−ysinC)2 ≥0”.
Bài toỏn ban đầu là một trường hợp cụ thể của bài toỏn tổng quỏt (
3, , 1 , 2 = = = y z
x ), nhưng việc tỡm lời giải bài toỏn ban đầu là khú hơn rất nhiều so với việc tỡm lời giải bài toỏn tổng quỏt.
2.2.1.2. Dự đoỏn bằng đặc biệt hoỏ.
Đặc biệt húa là thao tỏc tư duy ngược lại của khỏi quỏt húa. Đặc biệt húa là thao tỏc tư duy chuyển từ việc nghiờn cứu một tập hợp đối tượng đó cho sang nghiờn cứu một tập nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu [16, tr. 24]. Chẳng han, ta đặc biệt húa khi chuyển từ việc nghiờn cứu một đa giỏc sang nghiờn cứu một tam giỏc (là đa giỏc đặc biệt cú số cạnh là ba); tiếp tục ta đặc biệt húa khi chuyển từ tam giỏc bất kỡ sang tam giỏc đều (là tam giỏc đặc biệt cú cỏc cạnh bằng nhau); ta cú thể đặc biệt nữa nếu xột cỏc cạnh cú độ dài là 1 đơn vị.
Đặc biệt húa cú vai trũ quan trọng khi giải toỏn. Trong toỏn học cú khụng ớt những bài toỏn chỳng ta mà việc giải quyết bài toỏn đú lại phải nhờ vào việc xột và giải những trường hợp đặc biệt. Chẳng hạn đối với bài toỏn:
Bài toỏn 2.2.1.2.1. Cho số nguyờn n≥3. Giả sử n số dương a1, a2, …, an thỏa
món bất đẳng thức ( ) ( )( 4 4) 2 4 1 2 2 2 2 2 1 a ... an n 1 a a ... an a + + + > − + + + .
Hóy chứng minh ba số bất kỡ ai, aj, ak (1≤i<j<k≤n) là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc.
Để giải được bài toỏn này chỳng ta phải hiểu điều cần chứng minh là: chứng minh ba số bất kỡ ai, aj, ak (1≤i<j<k≤n) là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc nghĩa là ta cần chứng minh ai + aj > ak; aj + ak > ai; ai + ak > aj . Để chứng minh trực tiếp điều này là rất khú vỡ thế ta thử chứng minh bài toỏn khi n=3: “Với n=3, bất đẳng thức trờn cú dạng ( ) ( 4) 3 4 2 4 1 2 2 3 2 2 2 1 a a 2a a a a + + > + + ( 1+ 2+ 3)( 1+ 2 − 3)( 2 + 3 − 1)( 3+ 1− 2)>0 ⇔ a a a a a a a a a a a a (1) Vỡ vai trũ cỏc số a1, a2, a3 bỡnh đẳng nờn khụng mất tớnh tổng quỏt ta cú thể giả sử 0<a1 ≤a2 ≤a3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a1 + a2 > a3 (3)
Từ (2) và (3) suy ra a1, a2, a3 là độ dài cỏc cạnh của một tam giỏc”.