khˆong giao nhau. Gia’ su.’ z ∈U(z1,1)∩U
∞, 1 |z1|+ 2 . V`ız∈U(z1,1) nˆen ρ(z,0) 6ρ(z, z1) +ρ(z1,0) <1 +|z1|. M˘a.t kh´ac v`ız ∈ U ∞, 1 |z1|+ 2 nˆen ρ(z,0) >|z1|+ 2. D´o l`a diˆ`u mˆaue thuˆa˜n.
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.4. Tˆa.p ho..p con A⊂C (ho˘a.cC) du.o..c go.i l`a tˆa. p d´ong nˆe´u phˆ` n b`a u CCA cu’a n´o l`a tˆa.p mo’ ..
D- i.nh l´y 1.2.3. Hˆe. c´ac tˆa.p ho..p d´ong tho’a m˜an c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay:
1. C v`a ∅ l`a nh˜u.ng tˆa. p d´ong.
2. Ho..p cu’a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n tˆa.p ho..p d´ong l`a tˆa.p ho..p d´ong.
3. Giao cu’a mˆo. t sˆo´ h˜u.u ha. n hay vˆo ha. n bˆa´t k`y c´ac tˆa. p ho..p d´ong l`a tˆa.p ho..p d´ong.
Ch´u.ng minh. Suy tru..c tiˆe´p t`u. di.nh l´y 1.2.1 v`a c´ac quy t˘a´c lˆa´y phˆa` n b`u.
Nhˆa. n x´et 1.2.1. T`u. di.nh l´y 1.2.1 v`a 1.2.3 suy ra r˘a`ng trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c
C chı’ c´o ch´ınhC v`a tˆa.p ho..p ∅l`a dˆ` ng th`o.i v`o u.a d´ong v`u.a mo.’ trongC.
1.2.2 Phˆ` n trong v`a a phˆ` n ngo`a ai
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.5. Gia’ su.’ A ⊂ C, A 6= ∅. Tˆa.p ho..p c´ac diˆe’m trong cu’a A
du.o..c go.i l`aphˆ` n tronga cu’a A v`a du.o..c k´y hiˆe.u l`a
◦
A. T`u. di.nh l´y 1.2.1 suy ra r˘a`ng
◦
A l`a tˆa.p ho..p mo.’.
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.6. Phˆ` n tronga
◦
_
1.2. C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co. ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 39
Ta c´o
D- i.nh l´y 1.2.4. Diˆe’m z0 ∈ C l`a diˆe’m ngo`ai cu’a tˆa. p ho..p A khi v`a chı’ khi
d(z0, A)>0, trong d´o khoa’ng c´ach
d(z0, A) = inf
z0∈Ad(z0, z0).
Ch´u.ng minh. 1. V`ıd(z0, A) > 0 ⇒ U(z0, d(z0, A)) ⊂ CA, do d´o z0 l`a diˆe’m trong cu’aCA, t´u.c l`a diˆe’m ngo`ai cu’a A.
2. Nˆe´uz0 l`a diˆe’m ngo`ai cu’a A th`ı tˆ` n ta.i h`ınh tr`ono U(z0, r), r >0, n˘a`m trong CA. Nhu. vˆa.y dˆo´i v´o.i diˆe’m z ∈ A bˆa´t k`y ta c´o d(z0, z)> r v`a do d´o
d(z0, A)>r.
1.2.3 D- iˆe’m tu.
Ta x´et diˆe’m tu. cu’a tˆa.p ho..p v`a cu’a d˜ay diˆe’m trˆenC.
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.7. Diˆe’m z0 ∈ C du.o..c go.i l`a diˆe’m tu. (hay diˆe’m gi´o.i ha. n) cu’a tˆa.p ho..p A⊂C nˆe´u trong lˆan cˆa.n bˆa´t k`y cu’a n´o c´o vˆo sˆo´ diˆe’m cu’a A.
Tˆa.p ho..p c´ac diˆe’m tu. cu’a tˆa.p ho..p A thu.`o.ng du.o..c k´y hiˆe.u l`aA0. T`u. di.nh ngh˜ıa 1.2.7 suy r˘a`ng lˆan cˆa.n bˆa´t k`y cu’a diˆe’m z giao v´o.i A khi v`a chı’ khi ho˘a.c z ∈ A, ho˘a.c z l`a diˆe’m tu. cu’a A. V`ı vˆa.y, c´o thˆe’ mˆo ta’ kh´ai niˆe.m tˆa.p ho..p d´ong theo ngˆon ng˜u. lˆan cˆa.n nhu. sau:
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.4’. Tˆa.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i l`a d´ong nˆe´u n´o ch´u.a mo.i diˆe’m tu. cu’a n´o.
Ho..p cu’a tˆa.p ho..p A⊂C v´o.i tˆa.p ho..p mo.i diˆe’m tu. cu’a n´o du.o..c go.i l`abao d´ongcu’a tˆa.p ho..p A v`a k´y hiˆe.u l`a A.
Nhu. vˆa.y A=A∪A0.
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.8. Anh xa.´ zn:N→Cdu.o..c go.i l`a mˆo.t d˜ay diˆe’m trˆenCv`a k´y hiˆe.u l`a
zn n>0. D˜ay{zn} ⊂Cdu.o..c go.i l`ahˆo. i tu. t´o.i diˆe’mz (hayz l`agi´o.i ha. n cu’a d˜ay {zn}) nˆe´u: v´o.i mˆo˜i lˆan cˆa.n V cu’a z, dˆ`ue ∃m0 ∈ N : ∀m ∈N,
T`u. di.nh l´y 1.2.2 (tiˆen dˆe` Hausdorff) ta c´o
D- i.nh l´y 1.2.5. Trong C mo. i d˜ay hˆo. i tu. dˆ`u c´e o gi´o.i ha. n duy nhˆa´t.
Ch´u.ng minh. Nˆe´u d˜ay hˆo.i tu. zn c´o hai gi´o.i ha.n z0 v`a ˜z0 (z0 6= ˜z0) th`ı t`ım du.o..c hai lˆan cˆa.n U v`aV cu’a z0 v`a ˜z0 tu.o.ng ´u.ng sao cho U∩V =∅.
Theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n th`ı∃m0 ∈N;n0 ∈Nsao cho: zn∈U,∀n>m0,
zn∈ V, ∀n> n0, v`ı vˆa.y zn ∈U ∩V khi n >max(m0, n0). Nhu.ng diˆ`u n`aye khˆong thˆe’ xa’y ra.
Nhˆa. n x´et 1.2.2. Gi˜u.a c´ac kh´ai niˆe.m diˆe’m tu. cu’a d˜ay {zn} v`a cu’a tˆa.p ho..p c´ac gi´a tri. {zn} c´o su.. kh´ac nhau. V´ı du., d˜ayxn= 1, n= 0,1,2, . . . c´o diˆe’m tu.x= 1, c`on tˆa.p {zn} chı’ gˆ` m mˆo.t diˆe’mo zn = 1 khˆong c´o diˆe’m tu..
1.2.4 Biˆen cu’ a tˆa. p ho..p
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.9. Tˆa.p ho..p nh˜u.ng diˆe’m cu’a Ckhˆong thuˆo.c phˆa` n trong v`a khˆong thuˆo.c phˆa` n ngo`ai cu’a tˆa.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i l`a biˆen cu’a A v`a k´y hiˆe.u l`a ∂A.
V`ı
◦
A∪
◦
_
CA l`a tˆa.p ho..p mo.’ nˆen ∂Al`a tˆa.p ho..p d´ong.
D- i.nh l´y 1.2.6. Diˆe’m a∈∂Akhi v`a chı’ khi lˆan cˆa. n bˆa´t k`y cu’a diˆe’m a dˆ` ngo th`o.i ch´u.a diˆe’m cu’a A v`a cu’a CA.
Ch´u.ng minh. Gia’ su.’ lˆan cˆa.n V bˆa´t k`y cu’a diˆe’m a dˆ` ng th`o.i giao v´o.io A v`a
CA: V ∩A6=∅; V ∩CA6=∅. Khi d´o V 6⊂A v`aV 6⊂CA. Suy ra a6∈ ◦ A v`a a6∈ ◦ _ CA. Vˆa.y a∈∂A.
Ngu.o..c la.i, gia’ su.’a∈∂Av`aV l`a lˆan cˆa.n n`ao d´o cu’aa. Khi d´oV ∩A6=∅
v`ı nˆe´u V ∩A=∅ th`ıV ⊂CA suy ra a thuˆo.c phˆa` n ngo`ai cu’a A. Tu.o.ng tu..
1.2. C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co. ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 41
1.2.5 Tˆa. p ho..p comp˘a´c
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.10. 1. Tˆa.p ho..pA⊂Cdu.o..c go.i l`atˆa. p ho..p comp˘a´c nˆe´u n´o
d´ong v`a bi. ch˘a.n.
2. Tˆa.p ho..pA ⊂Cdu.o..c go.i l`a tˆa.p comp˘a´c nˆe´u A l`a tˆa.p ho..p d´ong trong
C.
Gia’ su.’ {U} l`a ho. t`uy ´y c´ac tˆa.p ho..p mo.’ phu’ tˆa.p ho..p comp˘a´c A, t´u.c l`a mˆo˜i diˆe’m z ∈ A dˆ`u thuˆo.c ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t tˆa.p ho..p cu’a ho.e {U}. Ngu.`o.i ta c˜ung n´oi r˘a`ng ho.{U}l`a mˆo.t phu’ mo.’ cu’aA. Dˆo´i v´o.i c´ac tˆa.p ho..pA⊂Chai diˆ`u kiˆe.n sau dˆay l`a tu.o.ng du.o.ng v´o.i nhau:e
(I) Al`a tˆa.p ho..p comp˘a´c;
(II) t`u. mo.i phu’ mo’ cu’a. A dˆ`u c´o thˆe’ tr´ıch ra mˆo.t phu’ con h˜u.u ha.n, t´u.ce l`a c´o mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n chı’ sˆo´i1, i2, . . . , in sao cho
A⊂Ui1 ∪Ui2 ∪ · · · ∪Uin, Uik ∈ {U}, k= 1,2, . . . , n.
D´o ch´ınh l`a nˆo.i dung cu’a bˆo’ dˆe` Heine - Borel - Lebesgue.
Mˆo.t trong nh˜u.ng hˆe. qua’ quan tro.ng nhˆa´t cu’a bˆo’ dˆe` Heine - Borel - Lebesgue l`a nguyˆen l´y Bozano - Weierstrass.
D- i.nh l´y 1.2.7. (nguyˆen l´y Bolzano - Weierstrass). D˜ay vˆo ha. n bˆa´t k`y
{zn}, n = 1,2, . . . (1.18)
c´ac diˆe’m cu’a tˆa. p ho..p comp˘a´c K ⊂C c´o ´ıt nhˆa´t mˆo. t diˆe’m tu. .
Ch´u.ng minh. Gia’ thiˆe´t r˘a`ng khˆong mˆo.t diˆe’m n`ao cu’a K l`a diˆe’m gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (1.18). Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa l`ae ∀z ∈ K, ∃δ > 0 sao cho U(z, δ) ch´u.a khˆong qu´a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n diˆe’m cu’a d˜ay (1.18). Ta k´y hiˆe.uU l`a ho. c´ac tˆa.p ho..p mo.’U(z, δ) khiz cha.y trˆenK. D´o l`a phu’ mo.’ cu’aK v`a theo bˆo’ dˆ` Heinee - Borel - Lebesgue c´o thˆe’ tr´ıch phu’ con h˜u.u ha.n phu’ K:
[U(z10, δ1), U(z20, δ2), . . . , U(zn0, δn)].
V`ı mˆo˜i U(z0
k, δk) ch´u.a khˆong qu´a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n diˆe’m cu’a d˜ay (1.18) nˆen d˜ay (1.18) khˆong thˆe’ l`a d˜ay vˆo ha.n. Ngh˜ıa l`a gia’ thiˆe´t cu’a ch´ung ta khˆong d´ung. Do d´o nguyˆen l´y Bolzano - Weierstrass du.o..c ch´u.ng minh.
C ´AC V´I DU.
1. Tˆa.p ho..p mˆo.t diˆe’m l`a tˆa.p ho..p comp˘a´c. 2. Tˆa.p ho..p h˜u.u ha.n diˆe’m l`a tˆa.p ho..p comp˘a´c.
3. Tˆa.p ho..p C khˆong pha’i l`a tˆa.p ho..p comp˘a´c. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u ta x´et phu’ mo.’ v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo. v`a b´an k´ınh > 0 th`ı r˜o r`ang l`a mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n bˆa´t k`y c´ac h`ınh tr`on n`ay n˘a`m tro.n trong mˆo.t h`ınh tr`on b´an k´ınh h˜u.u ha.n. Do d´o n´o khˆong phu’ to`an C du.o..c.
4. Tˆa.p ho..p Cl`a tˆa.p ho..p comp˘a´c. Dˆe’ ch´u.ng minh diˆe`u n`ay ta cu. thˆe’ h´oa tˆopˆo d˜a trang bi. cho C o.’ dˆ` u mu.c nhu. sau:a
a) Tˆa.p ho..p U khˆong ch´u.a diˆe’m ∞ l`a mo.’ trong C nˆe´u n´o mo.’ trong C; b) Tˆa.p ho..p U(∞) ch´u.a diˆe’m ∞ l`a mo.’ trongC nˆe´u phˆ` n b`a u CCU(∞) l`a comp˘a´c trong C.
Ba.n do.c c´o thˆe’ tu.. kiˆe’m ch´u.ng r˘a`ng tˆopˆo n`ay ch´ınh l`a tˆopˆo d˜a x´ac di.nh o.’ trˆen. V´o.i tˆopˆo d˜a cu. thˆe’ h´oa n`ay o.’ trong C ta dˆ˜ d`ang ch´e u.ng minh du.o..c r˘a`ng C l`a comp˘a´c. Thˆa.t vˆa.y, nˆe´u{Ui} l`a mˆo.t phu’ mo.’ cu’a C, th`ı mˆo.t trong c´ac Ui s˜e ch´u.a diˆe’m ∞. Ta k´y hiˆe.u d´o l`a U(∞). Khi d´o phˆ` n b`a u cu’a n´o l`a comp˘a´cK ⊂C n`ao d´o. V`ıK comp˘a´c nˆen n´o du.o..c phu’ bo.’i mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n tˆa.p ho..p Ui1, Ui2, . . . , Uin. T`u. d´o suy ra r˘a`ng c´ac tˆa.p ho..p Ui1, Ui2, . . . , Uin v`a
U(∞) l`a phu’ con h˜u.u ha.n cu’a C.
V`ı m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c C l`a tˆa.p ho..p comp˘a´c, nˆen t`u. nguyˆen l´y Bolzano - Weierstrass suy ra: trong C d˜ay vˆo ha. n bˆa´t k`y c´o ´ıt nhˆa´t l`a mˆo. t diˆe’m tu. .
Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng trong C tˆ` n ta.i nh˜u.ng d˜ay diˆe’m khˆong c´o diˆe’m gi´o.i ha.no thuˆo.c C. Ch˘a’ng ha.n d˜ay 1,2, . . . , n, . . . khˆong c´o diˆe’m gi´o.i ha.n trong C.
1.2.6 Tˆa. p ho..p liˆen thˆong
Gia’ su.’ A l`a tˆa.p ho..p con cu’a m˘a.t ph˘a’ng ph´u.cC. Ta c´o:
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.11. Tˆa.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i l`a tˆa. p ho..p liˆen thˆong nˆe´u khˆong tˆ` n ta.i hai tˆa.p ho..p mo.’o A1 v`a A2 trong C sao cho:
1. A∩A1 6=∅, A∩A2 6=∅; 2. A∩A1∩A2 =∅;
1.2. C´ac kh´ai niˆe.m tˆopˆo co. ba’n trˆen m˘a.t ph˘a’ng ph´u.c 43
3. A⊂A1 ∪A2.
Bˆay gi`o. ta x´et tˆa.p ho..p A trong tˆopˆo ca’m sinh4 bo.’ i tˆopˆo cu’a C. Nhu. ta d˜a biˆe´t, khi d´o tˆa.p ho..p A s˜e tro.’ th`anh khˆong gian tˆopˆo con cu’a C. Do d´o gia’ su.’ A=A∗
1∪A∗
2, trong d´oA∗ 1 v`aA∗
2 l`a nh˜u.ng tˆa.p ho..p mo.’ khˆong trˆo´ng v`a khˆong giao nhau dˆo´i v´o.i A. Khi d´o, tˆ` n ta.i nh˜u.ng tˆa.p ho..p mo.’ khˆong giaoo nhauA1 v`aA2 cu’a C sao cho:
A∗1 =A1∩A, A∗2=A2∩A.
V`ı tˆa.p ho..p A∗
1 v`a A∗
2 l`a nh˜u.ng tˆa.p ho..p b`u nhau mˆo.t c´ach tu.o.ng hˆo˜ dˆo´i v´o.i A nˆen A∗
1 v`a A∗
2 l`a nh˜u.ng tˆa.p ho..p dˆo` ng th`o.i d´ong v`a mo.’ trong A. T`u. d´o ta c´o di.nh ngh˜ıa tu.o.ng du.o.ng sau dˆay:
D- i.nh ngh˜ıa 1.2.12. Tˆa.p ho..p A ⊂ C du.o..c go.i l`a tˆa.p ho..p liˆen thˆong nˆe´u trong A khˆong tˆ` n ta.i mˆo.t tˆa.p ho..p con n`ao dˆoo ` ng th`o.i v`u.a d´ong v`u.a mo.’ trongA tr`u. ch´ınh tˆa.p ho..p A v`a tˆa.p ho..p ∅.
C ´AC V´I DU.
1. Tˆa.p ho..p trˆo´ng v`a tˆa.p ho..p gˆo` m mˆo.t diˆe’m l`a nh˜u.ng tˆa.p ho..p liˆen thˆong. 2. Tˆa.p ho..p C l`a tˆa.p ho..p liˆen thˆong.
3. Tˆa.p ho..p C\ {mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n diˆe’m} l`a tˆa.p ho..p liˆen thˆong. 4.Doa.n th˘a’ng I = [a, b]⊂R l`a tˆa.p ho..p liˆen thˆong.
Dˆo´i v´o.i tˆa.p ho..p mo.’ khˆong trˆo´ng cu’a m˘a.t ph˘a’ng C ta c´o:
D- i.nh l´y 1.2.8. Gia’ su.’ U l`a tˆa. p ho..p mo.’ trong C. Hai diˆ`u kiˆe.n sau dˆay l`ae tu.o.ng du.o.ng
1. Tˆa. p ho..p U liˆen thˆong.
2. Qua hai diˆe’m t`uy ´y cu’a tˆa. p ho..p U c´o thˆe’ nˆo´i ch´ung b˘a`ng mˆo. t du.`o.ng gˆa´p kh´uc n˘a`m tro.n trong U.
4Tˆopˆo cu’a tˆa.p ho..p A⊂C, trong d´o lˆan cˆa.n cu’a c´ac diˆe’m l`a giao cu’a A v´o.i c´ac lˆan cˆa.n cu’a ch´ınh c´ac diˆe’m ˆa´y trong tˆopˆo cu’aCdu.o..c go.i l`a tˆopˆo ca’m sinh
Ch´u.ng minh. Ta ch´u.ng minh t`u. (1) suy ra (2). Gia’ su.’ a ∈ U l`a diˆe’m bˆa´t k`y cho tru.´o.c. Ta k´y hiˆe.u E l`a tˆa.p ho..p nh˜u.ng diˆe’m cu’aU m`a ta c´o thˆe’ nˆo´i ch´ung v´o.i diˆe’m a b˘a`ng nh˜u.ng du.`o.ng gˆa´p kh´uc trong U. Tˆa.p ho..p E c´o c´ac t´ınh chˆa´t sau dˆay:
a) Tˆa.p ho..p E 6=∅v`ı n´o ch´u.a ´ıt nhˆa´t l`a diˆe’m a.
b) Tˆa.p E l`a mo.’ . Thˆa.t vˆa.y, v`ıU mo.’ nˆen v´o.i mˆo˜i diˆe’m c0 ∈ U tˆ` n ta.io mˆo.t lˆan cˆa.n h`ınh tr`on v´o.i tˆam l`a c0 n˘a`m tro.n trong U. Mˆo˜i diˆe’m cu’a h`ınh tr`on n`ay dˆ`u c´o thˆe’ nˆo´i v´o.ie c0 b˘a`ng mˆo.t du.`o.ng gˆa´p kh´uc (ch˘a’ng ha.n, nˆo´i theo b´an k´ınh). Nhu. vˆa.y, nˆe´u diˆe’mc0 c´o thˆe’ nˆo´i v´o.i diˆe’ma b˘a`ng du.`o.ng gˆa´p kh´uc n˘a`m tro.n trongU th`ı tˆ` n ta.i mˆo.t lˆan cˆa.n cu’a diˆe’mo c0 m`a mo.i diˆe’m cu’a n´o dˆ`u c´o thˆe’ nˆo´i v´o.ie a b˘a`ng du.`o.ng gˆa´p kh´uc ∈U. Do d´oE l`a tˆa.p ho..p mo.’. c) E l`a tˆa.p ho..p d´ong. Thˆa.t vˆa.y, gia’ su.’ diˆe’m c0 ∈ U l`a diˆe’m tu. cu’a E. Ta s˜e ch´u.ng minh r˘a`ng c0 ∈ E. V´o.i r > 0 n`ao d´o, h`ınh tr`on S = S(c0, r) v´o.i b´an k´ınhr v`a v´o.i tˆam ta.i c0 du.o..c ch´u.a trong U. V`ı diˆe’m c0 l`a diˆe’m gi´o.i ha.n cu’aE nˆen t`ım du.o..c diˆe’mc∈S(c0, r)∩E. Diˆe’mcc´o thˆe’ nˆo´i v´o.i diˆe’ma
v`ıc∈E v`a diˆe’m cc˜ung c´o thˆe’ nˆo´i v´o.i c0 bo.’ i doa.n th˘a’ng trongU. Nhu. vˆa.y
