Mô tả lý thuyết cho làm lạnh theo cấu hình phân cực Lin┴Lin

3.4.1. Sự biến đổi trạng thái nội tại của nguyên tử

Những tính toán trong luâ ̣n văn này sử du ̣ng gần đúng lưỡng cực và gần đúng sóng quay vì vâ ̣y trường laser cho nguyên tử có thể được viết

D+ và D – là toán tử tăng, giảm của lưỡng cực điê ̣n nguyên tử, E+ và E- là hai thành phần của trường laser và E-=(E+)* với

Đưa vào trường nguyên tử và sử du ̣ng hê ̣ số Clebsh- Gordan chúng ta có (3.10)

(3.11) (3.9)

Chú ý rằng, để đơn giản biểu thức toán ho ̣c trong (3.11) chúng ta di ̣ch chuyển

gốc tru ̣c z mô ̣t khoảng bằng . Trong phương trình (3.11) là tần số Rabi cho 2 sóng cha ̣y tính trong quá trình chuyển đổi mô ̣t nguyên tử với hê ̣ số Clebsh- Gordan là 1 với sự giảm mô men lưỡng cực trong di ̣ch chuyển tới d.

Biểu thức ( 3.11) có thể hiểu như là mô tả tương tác của nguyên tử với sóng

đứng trong sự phân cực tròn . Thay đổi mô ̣t cách đều đă ̣n sau mỗi

khoảng .

Giá tri ̣ trung bình của lực có thể thu được từ gradient thế năng V ở phương trình (3.11)

Với

(3.12)

(3.13)

Trong đó là toán tử mâ ̣t đô ̣ tra ̣ng thái.

Bây giờ chúng ta cần tính toán giá tri ̣ tra ̣ng thái của tra ̣ng thái kết hợp , sử du ̣ng phương trình Block quang ho ̣c.

Ví du ̣ chúng ta áp du ̣ng cho ,

Phương trình (3.15) phù hợp cho mo ̣i trường năng lượng và nguyên tử chuyển

đô ̣ng với vâ ̣n tốc . Nó có thể được đơn giản hóa trong năng lượng thấp và vâ ̣n tốc thấp theo các cách sau:

- Cường đô ̣ thấp ( có nghĩa là phân bố và số kết hợp ở tra ̣ng thái kích

thích nhỏ hơn so với tra ̣ng thái dừng. Do đó chúng ta có thể bỏ qua (3.15)

trong phương trình (3.15) và tính toán và tìm số ha ̣ng đầu tiên

trong

- Với vâ ̣n tốc thấp , thời gian tắt dần ở tra ̣ng thái kết hợp ngắn hơn thời gian tiến triển đă ̣c trưng xét theo sin(kz) hoă ̣c phân bố ở tra ̣ng thái

dừng ( ). Điều này có nghĩa là tra ̣ng thái kết hợp tuân theo phân bố đoa ̣n nhiê ̣t, vì vâ ̣y chúng ta có thể viết:

Với

(3.16)

Tính toán sự phân bố tra ̣ng thái cơ bản để xác đi ̣nh lực F trong phương

trình (3.13) . Chú ý rằng, giữa hai tra ̣ng thái kết hợp không có đóng góp cho tính toán, cuối cùng trở về tra ̣ng thái 0 cho cấu hình laser vì nó không đi đôi với phân bố tra ̣ng thái cơ bản.

Trong tính toán chúng ta viết phương trình Block cho phân bố tra ̣ng thái

kích thích. Ví du ̣ cho

Trong phương trình này, chúng ta thay thế tra ̣ng thái kết hợp bởi biểu thức phân bố tra ̣ng thái cơ bản. Từ thời gian tắt dần của phân bố tra ̣ng thái kích thích, chúng ta la ̣i chú ý rằng phân bố tra ̣ng thái tuân theo kiểu đoa ̣n nhiê ̣t.

Trong đó so là tham số phu ̣ thuô ̣c đô ̣ bão hòa

(3.18)

Chúng ta viết phương trình Block quang ho ̣c cho phân bố tra ̣ng thái cơ bản. Ví

du ̣ đối với

Thế biểu thức của tra ̣ng thái kết hợp và phân bố tra ̣ng thái kích thích ta có được

Trong đó thời gian bơm và phân bố tra ̣ng thái dừng cho bởi

(3.20)

(3.21)

(3.22)

Mô ̣t nguyên tử ta ̣i z, phân bố tra ̣ng thái dừng tỷ lê ̣ ngi ̣ch với năng lượng của laser

3.4.2. Lực tác dụng lên nguyên tử trong cấu hình phân cực Lin┴Lin

Khi tính toán lực phát xa ̣ F ở phương trình (3.13) ta thay thế đóng góp của phân bố kết hơ ̣p bằng biểu thức phân bố tra ̣ng thái cơ bản từ đó dẫn tới

Biểu thức này có ý nghĩa vâ ̣t lý trong di ̣ch chuyển ánh sáng: hai mức g1/2 và g -1/2

di ̣ch chuyển mô ̣t lươ ̣ng tương ứng với tổng hợp hai sóng ánh sáng dừng phân cực

và xuất hiê ̣n trong biểu thức (3.11). Chúng ta có thể đưa vào 2 hê ̣ số không phu ̣ thuô ̣c vào cường đô ̣ yếu vì di ̣ch chuyển giữa hai mức g1/2 và g -1/2

không có liên hê ̣ với các mức kích thích. Sử du ̣ng hê ̣ số Clebsh- Gordan và từ hình 15 ta thu được

Trong đó

(3.23)

(3.24)

Như trong hình 16, hai chùm sáng di ̣ch chuyển giữa các mức, dao đô ̣ng điều hòa

với khoảng lă ̣p là . Gradient chúng ta có

Vì vâ ̣y tri ̣ trung bình của lực ( phương trình 3.23) có thể được viết la ̣i

Lực f là tri ̣ trung bình của hai lực và .

Chúng ta có thể tính toán phân bố từ đánh giá phương trình (3.27). Trước hết chúng ta có mô ̣t nguyên tử , phân bố tra ̣ng thái cho bởi phương trình (3.22) và chúng ta có

Trong đó thế năng U được cho bởi

(3.26)

(3.27)

(3.28)

Thực tế là xuất phát từ mô ̣t thế năng mô ̣t lần nữa cho thấy sự tương tự như kết quả lực lưỡng cực của nguyên tử hai mức trong mô ̣t sóng đứng.

Bây giờ chúng ta xem xét mô ̣t nguyên tử rất châ ̣m trong di ̣ch chuyển Doppler mà

nhỏ hơn . Chú ý rằng điểu kiê ̣n này nghiêm ngă ̣t hơn điều kiê ̣n

cần thiết viết cho phương trình (3.16) và (3.19). Đối với nguyên tử rất châ ̣m,

hiê ̣u ứng di ̣ch chuyển trong phân bố có thể khắc phu ̣c bằng cách khai triển

hê ̣ số nhỏ

Chúng ta thế biểu thức này vào kết quả phương trình (3.27) và chúng ta có (3.30)

Lấy trung bình kết quả này trên mô ̣t bước sóng, ta có giá tri ̣ trung bình là bằng 0, vì vâ ̣y ta có

Trong đó hê ̣ số ma sát cho bởi

Chúng ta thu đươ ̣c kết quả là hê ̣ số ma sát không phu ̣ thuô ̣c vào năng lượng của laser (xem (3.8)). Mă ̣t khác, pha ̣m vi hiê ̣u lực của các kết quả (3.32) tỉ lê ̣ với

năng lươ ̣ng laser. Thâ ̣t vâ ̣y, khai triển (3.30) cho kết quả , trong đó

la ̣i tỉ lê ̣ thuâ ̣n với năng lượng laser.

(3.32)

Cuối cùng chúng ta đến với những tính toán về lực trên pha ̣m vi không

giới ha ̣n với các giá tri ̣ tương đối của và . Phương trình tiến triển (3.22) vẫn đúng, nhưng nó không giải quyết bằng khai triển nhiễu loa ̣n. May mắn là nó có thể giải quyêt chính xác bằng cơ chế bắt buô ̣c của phương trình (3.22)

Thay kết quả vào biểu thức (3.27) và lấy trung bình trên mô ̣t bước sóng ta thu đươ ̣c

Trong đó vâ ̣n tốc tối ưu xác đi ̣nh bởi

(3.34)

(3.35)

Trong cấu hình này, lực cực đa ̣i khi . Trong hình 14,chúng ta vẽ đồ thi ̣ lực

theo vâ ̣n tốc ( đường cong liền nét). Chú ý rằng, biểu thức (3.35) chỉ phù hợp

cho trường hợp . Ở ngoài điều kiê ̣n này thuô ̣c về quá trình làm la ̣nh Doppler. Trong hình 14 chúng ta vẽ đồ thi ̣ lực (đường đứt nét) có được khi tổng hơ ̣p hai sóng đô ̣c lâ ̣p phát xa ̣ khi di ̣ch chuyển Doppler.

Tổng hơ ̣p la ̣i, chúng ta có được biểu thức giải tích cho sự phu ̣ thuô ̣c giữa vâ ̣n tốc

và lực ( phương trình 3.35) cho hê ̣ số ma sát và vâ ̣n tốc . 3.4.3. Sự cân bằng nhiệt trong cấu hình phân cực Lin┴Lin

Bây giờ chúng ta chuyển sang đánh giá sự cân bằng nhiê ̣t trong phương pháp làm la ̣nh sisyphus. Trước tiên chúng ta đánh giá hê ̣ số khuếch tán mô men và sau đó tính toán cân bằng nhiê ̣t đô ̣ từ kết quả mô tả làm la ̣nh và sự phát nhiê ̣t do khuếch tán.

Cuối cùng, chúng ta xem xét về sự phù hợp của phương pháp tính toán xấp xỉ lý thuyết bán cổ điển áp du ̣ng trong khảo sát lý thuyết của phương pháp làm la ̣nh này.

Trong tính toán chính xác hê ̣ số Dp, để tính toán chính xác giá tri ̣ của Dp, chúng ta sử du ̣ng hàm tương quan của toán tử lực.

Có 3 đóng góp chính đối với Dp, hai đóng đầu tiên là trong di ̣ch chuyển Jg=0 Je=1 và đóng góp thứ ba là mô ̣t nguyên tử với tra ̣ng thái cơ bản.

- Có sự thay đổi mômen do phát xa ̣ huỳnh quang photon. - Có sự thay đổi tổng số photon hấp thu ̣ giữa 2 sóng laser

- Có sự thay đổi do dao đô ̣ng lưỡng cực tức thời giữa f1/2(z) và f-1/2(z) ta ̣i giá

tri ̣ .

Với mô ̣t di ̣ch chuyển Jg=0 Je=1, cả hai đóng góp đầu tiên cho mô ̣t mô hình phát

Chúng ta giả thiết rằng phương trình (3.38) vẫn đúng cho trường hợp di ̣ch

chuyển giữa hai mức Jg=1/2 Je=3/2. Để tính toán sự đóng góp thứ 3, chúng ta bắt đầu từ

Tính toán cho nguyên tử ở vi ̣ trí z, lực f(t) dao đô ̣ng giữa f1/2(z) và f-1/2(z) và hàm tương quan của chúng có thể được viết bởi

Ở đây đa ̣i diê ̣n cho xác suất tra ̣ng thái i ta ̣i thời điểm t và tra ̣ng

thái j ta ̣i thời điểm . Tính toán tương tự được sự du ̣ng để đánh giá sự biến đổi mô men lực lưỡng cực cho nguyên tử hai mức và từ đó dẫn tới

Lấy trung bình trên mô ̣t bước sóng ta có

(3.39)

(3.40)

Trong hê ̣ số thứ hai này chiếm ưu thế hơn nhiều so với hê ̣ số ngay khi

. Từ đó, bỏ qua hê ̣ số . chúng ta có

Kết hơ ̣p với (3.20) cho s0 ta có

Nó làm xuất hiê ̣n đô ̣ng năng dư thừa trong các biểu thức trong di ̣ch chuyển của tra ̣ng thái cơ bản. Kết quả đơn giản này được so sánh với kết quả thu được

cho mô ̣t nguyên tử hai mức ( ) nó dẫn tới mô ̣t nhiê ̣t đô ̣ thấp hơn nhiều, và nó phù hợp với kết quả thực nghiê ̣m, ngay khi có sự di ̣ch chuyển tinh tế các mức có thể bỏ qua:

(3.42)

(3.43)

- Với mô ̣t năng lượng xác đi ̣nh ( bất biến) nhiê ̣t đô ̣ giảm khi đô ̣ lê ̣ch tần tăng

- Với mô ̣t đô ̣ lê ̣ch tần nhất đi ̣nh, năng lượng giảm thì nhiê ̣t đô ̣ giảm.

Chúng ta nhâ ̣n thấy rằng các nguyên tử ở tra ̣ng thái tĩnh tu ̣ la ̣i xung quanh các

điểm chứ không phân bố mô ̣t cách đồng đều.

Cuối cùng chúng ta tìm nhiê ̣t đô ̣ thấp nhất có thể đa ̣t được trong cấu hình này. Biểu thức (3.44) cho thấy để đa ̣t tới nhiê ̣t đô ̣ thấp phải giảm năng lượng chùm laser nhưng thực tế la ̣i không đúng. Thâ ̣t vâ ̣y kiểm tra vâ ̣n tốc từ biểu thức (3.31) cho thấy vâ ̣n tốc vrms nhỏ hơn vc rất nhiều, vì vâ ̣y lực để làm la ̣nh thực sự là tuyến tính cho mo ̣i vâ ̣n tốc vrms. Từ đó ta có

Dưới sự ràng buô ̣c tính phù hợp của năng lượng laser từ đó đưa tới giới ha ̣n thấp nhất của vâ ̣n tốc vrms:

(3.45)

Kết luận chương III

Trong chương này chúng tôi đã đa ̣t được các kết quả sau :

1. Thứ nhất dịch chuyển ánh sáng lớn hơn hai lần do có hai sóng chạy. Thứ hai, sự tạo cặp đã thay đổi do có sự tách thành nhiều mức ở trạng thái cơ bản được biểu diễn bởi hằng số Cge2 . Giải tích bán cổ điển của các vấn đề không mang lại quá trình phát xạ tự phát, các tính toán giải tích chi tiết hơn đưa tới kết quả biểu thức ( )2 2 0 2 1 δ γ δ + = ∆Eg  s Cge

2. Nắm đươ ̣c do sự phân cực của ánh sáng , mô ̣t nguyên tử chuyển đô ̣ng trong trường tổng hợp của 2 ánh sáng truyền ngược chiều nhau chi ̣u tác du ̣ng của lực lưỡng cực

3. Nghiên cứu sự phân bố các nguyên tử theo tru ̣c z và nhâ ̣n thấy rằng các

nguyên tử ở tra ̣ng thái tĩnh tu ̣ la ̣i xung quanh các điểm trong tổng hơ ̣p 2 sóng ánh sáng truyền ngược chiều chứ không phân bố mô ̣t cách đồng đều. 4. Trình bày cơ chế làm la ̣nh nguyên tử trong cấu hình phân cực thẳng Lin Lin. Đó là quá trình biến đô ̣ng năng thành thế năng và sau đó thế năng được phát xa ̣ tự phát.

5. Dẫn ra công thức xác đi ̣nh nhiê ̣t đô ̣ thấp nhất mà phương pháp này có thể đa ̣t

tới. Nhiê ̣t đô ̣ thấp nhất được xác đi ̣nh qua trong khi đó giới ha ̣n làm

la ̣nh Doppler là ( ) 2 Dopp min B T k Γ

≈ h và nên T<TDopp(min)

Kết luận chung

Với phương pháp làm la ̣nh Doppler, nguyên lý dựa trên sự phát xa ̣ năng lượng photon, nhưng có ha ̣n chế là gă ̣p phải sự chuyển đô ̣ng giâ ̣t lùi của nguyên tử do đi ̣nh luâ ̣t bảo toàn xung lượng. Để tiếp tu ̣c làm giảm vâ ̣n tốc chuyển đô ̣ng của nguyên tử thấp hơn giới ha ̣n Doppler chúng ta dựa trên hiê ̣u ứng Sisyphus, quá trình biến đô ̣ng năng nguyên tử thành thế năng trong trường năng lượng ta ̣o bởi hai sóng laser truyền ngược chiều nhau và chuyển thế năng qua phát xa ̣ photon , lă ̣p đi lă ̣p la ̣i và các nguyên tử sau khi giảm vâ ̣n tốc thì phân bố quanh các vi ̣ trí

trong trường tổng hợp 2 sóng laser.

Quá trình làm la ̣nh dựa trên hiê ̣u ứng Sisyphus chi ̣u chi phối của các quy tắc di ̣ch chuyển mức năng lượng, hiê ̣u ứng Stark, cấu trúc tinh tế phổ năng lượng của nguyên tử. Trong luâ ̣n văn đã trình bày mang tính cơ sở lý thuyết để ứng du ̣ng

nghiên cứu nô ̣i dung tro ̣ng tâm là nghiên cứu đô ̣ng ho ̣c nguyên tử trong cấu hình