Cấu trúc siêu tinh tế các mức năng lượng của nguyên tử

khi xét chuyển đô ̣ng của electron trong trường coulomb trong nguyên tử, xét đến spin. Ta cần giải phương trình

Trong đó

W1, W2, W3 là các hiê ̣u chính tương đối tính cho toán tử hamiltonien.

Để đơn giản hóa viê ̣c giải phương trình (2.6) chúng ta đưa vào toán tử mô men toàn phần của electron

(2.6) (2.7)

Trong to ̣a đô ̣ cầu ta có

Và

Toán tử toàn phần hamiltonien trong phương trình (2.6) giao hoán với các toán

tử . Do đó có thể có các tra ̣ng thái dừng, trong đó tất cả ba đa ̣i lượng tương ứng với các toán tử này có giá tri ̣ xác đi ̣nh. Thực hiê ̣n phép tách biến

Thay từ phương trình (2.11) vào phương trình (2.6) ta tìm được hàm sóng xuyên tâm Rnlj của các tra ̣ng thái dừng của nguyên tử Hyđrô

Trong đó (2.9) (2.10) (2.11) (2.12)

Vì các toán tử Wi có cấp đô ̣ lớn (v/c)2, nên có thể giải phương trình (2.13) bằng phương pháp gần đúng liên tiếp. Trong phép gần đúng cấp không ta có phương trình

Phương trình này hoàn toàn trùng với phương trình phi tương đối tính cho nguyên tử hiđrô không xét đến spin và khi đó ta thu được

Tương ứng với n hàm xuyên tâm Rnj(r) khác nhau ở các số lượng tử l=0,1..n-1. Dùng da ̣ng của các hàm này và trong W2 thay E bằng giá tri ̣ En của nó trong phép

gần đúng bâ ̣c không, ta tìm được hiê ̣u chính năng lượng cho mức trong phép gần đúng bâ ̣c nhất.

(2.13)

Trong đó Phép tính cho ta

Trong đó là hằng số cấu trúc tinh tế, còn là hằng số Rydberg. Từ công thức (2.16) ta viết được công thức cấu trúc tinh tế phổ năng lươ ̣ng của nguyên tử đồng da ̣ng hiđrô

Với nguyên tử hiđrô lấy Z=1. Từ (2.18) nhâ ̣n thấy đô ̣ tách các mức tỉ lê ̣ với bình phương hằng số cấu trúc tinh tế. Hê ̣ các mức năng lượng tương ứng với các giá

tri ̣ khác nhau ứng với cùng mô ̣t giá tri ̣ như nhau go ̣i là cấu trúc tinh tế. Trong lý thuyết phi tương đối tính có sự suy biến theo hướng của spin và cả suy biến theo l. Cấu trúc tinh tế ( tương tác spin- quỹ đa ̣o) đã khử suy biến này,

(2.15)

(2.16)

(2.17)

nhưng không hoàn toàn, các mức với n, j như nhau, nhưng với các

khác nhau vẫn còn suy biến bô ̣i hai( chỉ có các mức có n đã cho với giá tri ̣ khả dĩ cực đa ̣i j=jmax+1/2=n-1/2 là không suy biến).

Khi xét đến spin của electron, ký hiê ̣u “nl” của tra ̣ng thái lượng tử của ha ̣t trong trường đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng “nlj”, trong đó số lượng tử j đă ̣c trưng cho mô men toàn phần của electron trong tra ̣ng thái đã cho. Như vâ ̣y, dãy các mức năng lượng của nguyên tử hyđrô có xét đến cấu trúc tinh tế như sau:

Các tra ̣ng thái có năng lượng như nhau được ga ̣ch dưới. Mức có số lượng tử chính n tách thành nhiều thành phần cấu trúc tinh tế. Cu ̣ thể mức n=1 có 1 thành phần, mức có n=2 tách thành2 thành phần, mức có n=3 tách thành 3 thành phần. Khoảng cách giữa các thành phần riêng lẻ của cấu trúc tinh tế tỉ lê ̣ với bình phương của hằng số cấu trúc tinh tế.

Khi tính toán phổ năng lượng của nguyên tử

hiđrô trong nguyên tử ta đã coi trường ha ̣t nhân là trường đối xứng xuyên tâm. Tuy nhiên ha ̣t nhân nguyên tử hiđrô và nhiều ha ̣t nhân nguyên tử khác có mô men từ. Tương tác của các mô men từ electron và ha ̣t nhân dẫn đến sự tách các mức năng lượng suy biến( theo hình chiếu của mô men toàn phần nguyên tử) của nguyên tử. Vì mô men từ nha ̣t nhân nhỏ hơn mô men từ quỹ đa ̣o của electron

khoảng 103

lần so với đô ̣ tách mức gây bởi tương tác spin- quỹ đa ̣o ( cấu trúc tinh tế). Do đó sự tách mức năng lượng gây bởi mô men từ ha ̣t nhân go ̣i là sự tách mức siêu tinh tế. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Nguyên nhân của cấu ta ̣o siêu tinh tế của các mức và các va ̣ch là do có mă ̣t của mô men từ ha ̣t nhân nguyên tử. Do tương tác giữa mô men từ ha ̣t nhân và mô

men từ của nguyên tử sẽ xuất hiê ̣n mô ̣t năng lượng phu ̣. Nếu go ̣i là mô men từ ha ̣t nhân và môn men của nguyên tử thì

Do co thê tìm t̉ ừ sơ đồ cô ̣ng mô men toàn nguyên tử

Ta có

(2.19)

(2.20)

Thay và thì có thể viết tổng quát

Với

Áp du ̣ng đi ̣nh luâ ̣t lươ ̣ng tử hóa đối với bình phương mô men cơ ta thu đươ ̣c giá tri ̣ năng lượng phu ̣, giải thích cấu ta ̣o siêu tình tế của các mức

Từ (2.23) ta thấy với mô ̣t ha ̣t nhân và mô ̣t số ha ̣ng đã cho (I,J) không đổi, giá tri ̣ số gia năng lươ ̣ng của mức phu ̣ thuô ̣c số lượng tử F. vì F có thể nhâ ̣n 2J+1 giá tri ̣

khi J I hoă ̣c 2I+1 khi I J thì với sự có mă ̣t của mô men từ ha ̣t nhân, mỗi mức của mô ̣t số ha ̣ng sẽ được phân làm (2J+1) hoă ̣c (2I+1) mức con và dẫn đến cấu ta ̣o siêu tinh tế của mức.

(2.22)

Từ cấu ta ̣o siêu tinh tế của mức dẫn đến cấu ta ̣o siêu tinh tế của va ̣ch. Khi có sự di ̣ch chuyển giữa các mức cần thỏa mãn nguyên lý cho ̣n lo ̣c đối với số lượng tử

F:

Ví du ̣ va ̣ch của Cd ứng với di ̣ch chuyển 50P1- 63S1. Khi để ý đến momen từ ha ̣t nhân giá tri ̣ I=1/2 sẽ xuất hiê ̣n 4 va ̣ch.

Trong cấu trúc siêu tinh tế của các mức, nguyên lý khoảng cách hoàn toàn thỏa mãn. Xét khoảng cách ba mức con liên nhau F; F+1; F+2 ta có từ (2.23)

Từ đó đúng như nguyên lý khoảng cách

Với các va ̣ch trong cấu ta ̣o siêu tinh tế, theo cơ ho ̣c lượng tử công thức về cường đô ̣ giống như công thức cượng đô ̣ đã tìm được trong cường đô ̣ va ̣ch phổ. Các số lươ ̣ng tử S,L,J được thay bằng các số lượng tử I,J,F. Cu ̣ thể trong di ̣ch chuyển như hình vẽ

P(F)=(F+J)(F+J+1)-I(I+1) Q(F)=I(I+1)-F(F-J)(F-J+1)

(2.24) (2.25)

R(F)=F(F+1)+J(J+1)-I(I+1)

Từ các công thức này có thể rút ra nguyên lý cường đô ̣ Dorgels- Burger