Ta cũng xột tập hợp A và tập hợp B (Phần tử cấu trỳc) trong , thỡ phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B được kớ hiệu A B và viết dưới dạng cụng thức như sau:
A B = z| B z A, (0.16)
Với Bz b z b, B, (0.17)
Phộp co nhị phõn của tập hợp A bởi phần tử cấu trỳc B là tập hợp cỏc điểm z (z nằm ở tõm điểm của phần tử cấu trỳc B) sao cho Bz là tập con của A.
Xột hỡnh vẽ sau:
Hỡnh 2.8: Phộp co nhị phõn trờn hai đối tượng d/8 d/4 d/2 d Hướng 3d/4 d/8 d/4 d d d d/8 d/8 3d/ 4 d/8 d/8 d/ 2 d/4 d/4 d/2
Hỡnh 2.8a bao gồm:
+ Tập hợp A cú hai cạnh bờn kớch thước là d.
+ Phần tử cấu trỳc vuụng B kớch thước d/4 (Dấu chấm đen ở giữa là tõm điểm).
+ Cuối cựng là kết quả của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B.
Phần cú màu nhạt hơn là kết quả sau khi thực hiện co hỡnh ảnh bởi phần tử cấu trỳc B. Hỡnh 2.8b gồm những thành phần tương tự nhưng với phần tử cấu trỳc B
là hỡnh chữ nhật, và cho ta một kết quả khỏc.
Vậy phộp co nhị phõn của ảnh A với phần tử cấu trỳc B là quỹ tớch cỏc điểm được tạo ra bởi tõm điểm của phần tử cấu trỳc B khi tịnh tiến trờn hỡnh ảnh A.
Từ đú ta cú cụng thức: A B B b B A , (0.18)
Phộp co nhị phõn và gión nhị phõn cú thể được với nhau qua phộp bự và phộp phản xạ của tập hợp, luận lý này sẽ được minh họa qua cụng thức sau:
(A B)c=Ac B , (0.19) Ta chứng minh cụng thức trờn là đỳng: Từ cụng thức co nhị phõn ta cú: (A B)c = z| B z Ac, (0.20) Nếu tập hợp Bz là tập con tập hợp A thỡ ta cú, BzAc=, cho nờn, trong trường hợp này ta sẽ cú:
(A B)c=z| B z Ac c
, (0.21)
Vỡ phần bự của phộp gión nhị phõn giữa tập hợp A và tập hợp B luụn thỏa món:
(A B)c=z| B z Ac
| z A B z B A Suy ra: (A B)c= Ac B , (dpcm)
Như vậy, phần bự của phộp co nhị phõn giữa tập hợp A và phần tử cấu trỳc B
là phộp gión nhị phõn giữa phần bự của tập hợp A với phản xạ của phần tử cấu trỳc
B.
Một ứng dụng quan trọng của phộp co nhị phõn là dựng để loại trừ cỏc chi tiết khụng cần thiết trờn hỡnh ảnh. Vớ dụ, trờn một hỡnh ảnh , ta cú cỏc đối tượng cú cỡ tương ứng 1,4,6 và 11 điểm ảnh, Bõy giờ nếu muốn loại trừ cỏc đối tượng nhỏ khụng cần thiết trờn ảnh, chỉ để lại cỏc đối tượng cú kớch thước lớn, như trong hỡnh vẽ đối tượng ta cần giữ lại là những đối tượng cú kớch thước 11 điểm ảnh. Ta sẽ sử dung phần tử cấu trỳc cú kớch thước 10x10 điểm ảnh để thực hiện phộp co nhị phõn ( Erosion ). Kết quả sẽ chỉ cũn lại 3 đối tượng cú kớch thước 1 điểm ảnh (Hỡnh 2.9b). Sau đú để cỏc đối tượng trở lại kớch thước ban đầu ta sử dụng phộp gión nhị phõn ( Dilation ) với phần tử cấu trỳc cú kớch cỡ tương ứng (Hỡnh 2.9c).
Hỡnh 2.9: Quỏ trỡnh lọc đối tượng sử dụng phộp co nhị phõn và phộp gión nhị phõn. )
b
)
Quỏ trỡnh thực hiện cú thể được minh họa rừ ràng qua hỡnh vẽ sau:
Hỡnh 2.10: Ứng dụng của phộp co ảnh dưới dạng số nhị phõn.
a) Hỡnh ảnh ban đầu; b) Hỡnh ảnh quỏ trỡnh co nhị phõn trờn đối tượng với phần tử cấu trỳc 9x9, phần tử được tụ đậm màu sẽ cú giỏ trị 1 sau quỏ trỡnh co nhị phõn; c) Phúng to đối tượng và giỏ trị của đối tượng sau quỏ trỡnh co nhị phõn với phần tử cấu trỳc 9x9.