Bài toán 4 Một lớp học có 40 học sinh về nghỉ hè. Biết rằng mỗi em có ựịa chỉ ắt nhất của 20 bạn và nếu bạn này có ựịa chỉ của bạn kia thì bạn kia cũng có ựịa chỉ của bạn này. CMR bất cứ 2 em nào trong lớp cũng có thể nhắn tin cho nhau.
Giải:
Ta cho mỗi học sinh tương ứng với mỗi ựỉnh của ựồ thị, còn hai học sinh có trao ựổi ựịa chỉ cho nhau thì hai ựỉnh tương ứng ựược nối bởi một cạnh, mỗi em có ựịa chỉ ắt nhất của 20 bạn nghĩa là mỗi ựỉnh có bậc ắt nhất bằng 20. Khi ựó 2 bạn có thể nhắn tin cho nhau nếu trên ựồ thị tồn tại một ựường ựi giữa hai ựỉnh tương ứng. Ta ký hiệu ựồ thị trên là G
Theo hệ quả 4.1 ựồ thị G liên thông, nên hai ựỉnh tùy ý ựều có ựường nối với nhau. Bới vậy hai bạn bất kỳ trong lớp ựều có thể nhắn tin cho nhau.
Bài toán 5 Tại mỗi ựỉnh của một ựồ thị liên thông ta viết một số thực sao cho số viết tại mỗi ựỉnh bằng trung bình cộng của các số viết tại mỗi ựỉnh kề với ựỉnh này. CMR tất cả các số ựược viết ựều bằng nhau
Giải:
để cho gọn, ta ký hiệu số ghi tại ựỉnh x cũng là x
Giả sư a là số nhỏ nhất trong các số ựược viết tại tất cả các ựỉnh và b là số viết tại ựỉnh b bất kỳ, ta sẽ chứng minh a=b.
Vì ựồ thị liên thông, nên tồn tại ựường ựi (a, a1, a2, Ầ..ak). Nếu a ựược nối với m ựỉnh x, y,Ầ. ,z thì :
a =(x+y+ẦẦ+z)/m
Song a≤ x; y; Ầ..;z nên a = x = y = Ầ..= z điều ựó cũng có nghĩa là a = ai
Cho a1 ựóng vai trò của a (ựiều này hoàn toàn có thể ựược vì a1 = a) nên cũng là số nhỏ nhất trong các số ựã viết ) thì a1 =a2 =Ầ.. cuối cùng ta có kết quả là a =a1=a2=ẦẦak =b
Bài toán 6 CMR ựối với ựồ thị liên thông G tùy ý có n cạnh luôn luôn có thể ựánh các số cạnh của G bằng các số 1,2,Ầ.n sao cho tại mỗi ựỉnh mà ở ựó có ắt nhất 2 cạnh của ựồ thị thì USCLN của các số nguyên viết trên các cạnh thuộc ựỉnh này bằng 1
Giải :
Từ một ựỉnh x bất kỳ, ựi dọc theo các cạnh phân biết của ựồ thị, ta ựánh số các cạnh bằng 1,2,Ầ. Theo thứ tự ta gặp chúng, cho tới khi gặp lại cạnh ựã ựược ựánh số thì dừng lại (không ựi theo cạnh nào lần 2). Nếu còn cạnh chưa ựược ựánh số, do G liên thông, nên trong các cạnh này phải có cạnh mà ựỉnh thuộc nó ựã nằm trên ựường ựi vừa ựánh số. Lại xuất phát từ ựỉnh ựó, lấy số vừa dừng lại, tiếp tục ựi theo các cạnh chưa ựánh số ựể ựánh số tiếp (theo cách ựã làm trên ) cho ựến khi gặp lại tình huống cũ. Lặp lại quá trình này cho ựến khi tất cả các cạnh ựều ựược ựánh số.
Giả sư y là ựỉnh nối với k cạnh (k ≥ 2). Nếu y trùng với x thì y là ựỉnh ựầu cạnh ghi số 1, nên bài toán ựã chứng minh xong
Nếu y ≠ x, giả sử lần ựầu tiên gặp y tại ựỉnh cuối của cạnh ựánh số r. Lúc này có k- 1 (k-1 ≥ 1) cạnh chưa ựược ựánh số nối với y. Do vậy, từ y ra theo một trong các cạnh còn lại này phải ựánh số r+1. Do (r , r+r) = 1, nên USCLN của các số ghi trên các cạnh y cũng bằng 1.