để xét quan hệ giữa các ựỉnh ta xét 3 dạng ựặc biệt
- Tập ổn ựịnh trong(OđT): A ⊂V dgl tập OđT nếu ∀i, j∈A thì i và j ko kề nhau(tức là ko có cạnh(cung) nối giữa chúng)
-Tập ổn ựịnh ngoài(OđN): B⊂V dgl tập OđN nếu ∀i∈V \B thì luôn tồn tại j ∈B ựể i kề j (tức là có cạnh (i,j) hoặc cung(i,j) nối từ i tới j)
Bài toán 24 Bài toán 8 con hậu: Có bao nhiêu cách ựặt 8 con hậu bằng bàn cờ 8 ừ 8 ựể chúng không ăn lẫn nhau.
Xét bàn cờ n ừ n ô (n ≥ 2)
Bài toán 25 Có thể ựặt ựặt tối ựa bao nhiêu cách ựặt con Mã (tượng, xe, hậu) trên bàn cờ ựể chúng không ăn lẫn nhau?
Bài toán 26 Cần ựặt tối thiểu bao nhiêu con Mã (xe, tượng, hậu) ựể nó khống chế ựược bàn cờ?
Bài toán 27 Cần ựặt tối thiểu bao nhiêu con Mã (xe, tượng, hậu) ựể chúng không ăn lẫn nhau và khống chế ựược các ô còn lại?
Phương pháp: Giải bài toán 1+2+3 bằng phương pháp ựồ thị gồm 3 bước: Xây dựng ựồ thị tương ứng, ựồ thị hóa (ựưa bài toán thành ựồ thị) Sử dụng kết quả của lý thuyết ựồ thị
đưa n2 thường
*Bước 1: Ta dùng cách kắ hiệu các phần tử mặt trận ựể kắ hiệu các ô của bàn cờ n ừ n : aij (i,j =1 ựến n)
- đỉnh: Lấy các ựỉnh bằng mặt phẳng ( hoặc ) tương ứng với các ô của bàn cờ. Sử dụng ngay kắ hiệu các ô của bàn cờ ựể ghi trên các ựỉnh tương ứng
- Cạnh: Qui tắc ựi của quân cờ.
1) Con Mã có qui tắc ựi là 2 ựầu mút của ựường chéo thuộc hình chữ nhật : 3 x 2
2 x 3
Hình 13.15 Quy tắc ựi của quân mã
Khi ựó 2 ựỉnh bất kỳ tương ứng với 2 ô ựâù mút của ựường chéo hình chữ nhật 2 ừ 3.(3 ừ 2) ựều ựược nối bởi 1 cạnh.
Ta kắ hiệu GM là ựồ thị nhận ựược.
GM mô tả toàn bộ nước ựi của con Mã trên bàn cờ n ừ n. VD: Xác ựịnh GM cho bàn cờ 4 ừ 4:
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Hình 13.16 Quy tắc ựi của quân mã trên bàn cờ 4 ừ 4
2) Qui tắc ựi của con Tượng : GT
Nước ựi của con Tượng la 2 ựầu mút của ựường chéo hình vuông tùy ý. Nên bất kì 2 ựỉnh nào tương ứng với 2 ựầu mút ựường chéo hình vuông tùy ý ựều ựược nối bởi 1 cạnh .
đồ thị nhận ựược kắ hiệu GT.
GT mô tả toàn bộ nước ựi của con tượng.
+
+ +
VD: Hãy xác ựịnh ựồ thị xây dựng mô tả nước ựi của con Tượng trên bàn cờ 4 ừ 4? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Hình 13.17 Quy tắc ựi của quân tượng trên bàn cờ 4 ừ 4
3) Qui tắc ựi của con Xe : GX
Con Xe có nước ựi hàng ngang Ờ (dọc) => Nên 2 ựỉnh tương ứng vớ 2 ô của bàn cờ hoặc nằm băng 1 hàng ngang hoặc theo chiều dọc ựều ựược nối bởi 1 cạnh.
Kắ hiệu ựồ thịn nhận ựược GX
GX mô tả toàn bộ nước ựi của con Xe
VD: Hãy xác ựịnh ựồ thị mô tả nước ựi của con Xe trên bàn cờ 4 ừ 4?
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
Hình 13.18 Quy tắc ựi của quân xe trên bàn cờ 4 ừ 4
4) Qui tắc ựi của con Hậu GH
Con hậu có nước ựi bao gồm nước ựi của con Xe và Tượng. Bởi vậy 2 ựỉnh tương ứng với cặp ô hoặc 2 ựầu mút của hình vuông tùy ý hoặc nằm theo 1 hàng dọc ( hoặc nằm trên 1 hang ngang) ựều nối 1 cạnh.
VD: Xây dựng ựồ thị mô tả nước ựi của con Hậu trên bàn cờ 3 ừ 3?
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Hình 13.19 Quy tắc ựi của quân hậu trên bàn cờ 4 ừ 4
*Bước 2 : Sử dụng kết quả của lý thuyết ựồ thị ựể suy ra ựáp án.
Bài toán 25 Do cách xây dưng cạnh của ựồ thị GM . (GT , GX , GH). 2 con Mã không ăn ựược lẫn nhau (2 con Tượng, Xe, Hậu) chúng ựứng bằng 2 ô tương ứng với 2 ựỉnh không kề nhau, bởi vậy:
Số con Mã ( Tượng , Xe , Hậu) không ăn ựược lẫn nhau chúng ựứng trên các ô thuộc cùng 1 tập OđT.
=>Số con Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối ựa có thể ựặt trên bàn cờ n x n bằng số OđT của ựồ thị GM (GT , GX , GH )
Số cách ựặt bằng số tập OđT có l2 max trong GM (GT , GX , GH )
Bài toán 26 Theo tắnh chất của tập OđN. Nếu A là tập OđN thì mọi x thuộc A Ờ A ựều tồn tại y thuộc A ựể (x,y) có cạnh nối =>bất kỳ 1 ô nào tương ứng với 1 ựỉnh nằm ngoài tập A thì luôn luôn tồn tại 1 ô ứng với ựỉnh nằm trong A ựể 2 ô này nằm trên cùng 1 nước ựi của quân cờ . Do ựó : Nếu ta ựặt tất cả các quân cờ nằm trên các ô tương ứng với 1 tập QđN thì nó sẽ khống chế ựược tất cả các ô còn lại của bàn cờ.
Bởi vậy số con Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối thiểu cần ựặt trên bàn cờ GM (GT Ờ GX Ờ GH ) = số OđN của ựồ thị GM ( GT . GT . GH)
Số cách ựặt bằng số tập OđT có l2 bằng số OđN của ựồ thị GM (GT Ờ GX Ờ GH) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài toán 27 để số quân cờ ta ựặt khống chế ựược tất cả các ô còn lại của bàn cờ thì các ô này tương ứng với 1 tập OđN trong ựồ thị nhưng ựể ựáp ứng nhu cầu các quân cờ không ựược ăn lẫn nhau thì chúng phải ựược ựặt trên các ô tương ứng với các ựỉnh thuộc cùng 1 tập OđT =>Bởi vậy:
để các quân cờ không ựược ăn lẫn nhau và khống chế ựược tất cả các ô còn lại trên bàn cờ thì chúng phải ựược ựặt trên các ô tương ứng với 1 tập là nhân của ựồ thị
Do ựó số con Mã (Tượng, Xe, Hậu) tối thiểu cần ựặt trên bàn cờ ựể chúng không ăn lẫn nhâu và khống chế ựược toàn bộ bàn cờ bằng l2 của 1 trong những nhân có ắt phần tử nhất trong ựồ thị GM (GT - GX Ờ GH)
Số cách ựặt bằng số nhân có l2 bé nhất trong ựồ thị GM (GT - GX Ờ GH)
NX: Nếu ta thay tắnh chất T cho các quy tắc chơi cờ và cũng xây dựng ựồ thị GT mô tả toàn bộ tắnh chất T trên tập M nào ựó thì ựồ thị nhận ựược sẽ cho ta cách phân loại những tập con gồm các phần tử ựồng thời có tắnh chất T.
VD: M= {a1 , a2 , Ầ.,an} a1 thuộc N. (i thuộc 1 ựến n) T: Là tắnh chất có ước chung (hoặc nguyên tố cùng nhau)
Khi ựó : Ta sẽ ựược 1 phân loại các tập con của tập M theo tắnh chất có ước chung(nguyên tố cùng nhau).