Bài toán 22 Một cơ quan cần tuyển 3 người ựể lập thành một nhóm có ựủ năng lực biên dịch các tài liệu từ 6 thứ tiếng Anh, Pháp, Nga , đức, Trung Quốc và Bồ đào Nha sang tiếng Việt. Có 7 người ựến dự tuyển, trong ựó mỗi người ựều biết 2 thứ tiếng và chỉ 2 trong số 6 thứ tiếng ựó và bất cứ người nào cũng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung
trong 6 thứ tiếng ựó. Biết rằng thứ tiếng nào cũng có ắt nhất 2 người biết. Hỏi có thể xảy ra bao nhiêu trường hợp không thể tuyển chọn ựược như yêu cầu ựã nếu không? Tại sao? Giải:
Ta cho tương ứng mỗi ngoại ngữ là một ựỉnh: A,P, N, D, T, B và một người biết 2 thứ tiếng biểu diễn bằng một cạnh nối 2 ựỉnh tương ứng với 2 ngoại ngữ ựó. Do mỗi người ựều biết 2 ngoại ngữ nên ứng với 7 người ựồ thị có 7 cạnh. Mặt khác vì bất cứ người nào cũng biết nhiều nhất một thứ tiếng chung tức là không có hai cạnh khác nhau cùng nối với 1 cặp ựỉnh. Ngoài ra thứ tiếng nào cũng có ắt nhất hai người biết thành thử mỗi ựỉnh có bậc ắt nhất là 2. Bởi vậy bài toán có thể phát biểu như sau:
Cho ựơn ựồ thị có 6 ựỉnh và 7 cạnh bậc của mỗi ựỉnh không nhỏ hơn 2. Liệu có thể xảy ra trường hợp không có 3 cạnh nào ựôi một không kề nhau hay không? Tại sao ?
Trước hết ta thấy G liên thông vì G có 6 ựỉnh và bậc của mỗi ựỉnh lớn hơn hoặc bằng 2 nếu không liên thông thì 6 ựỉnh ựó cô lập thành 2 tam giác rời nhau và G chỉ có 6 cạnh suy ra g có chu trình(nếu không thì G là một cây và có cạnh treo, ựiều này trái với giả thiết). Mặt khác 7x2=14=6x2+2, nên G có 2 ựỉnh bậc 3 (hoặc 1 ựỉnh bậc 4) và các ựỉnh còn lại phải là bậc 2, ựến ựây ta xét các trường hợp sau :
Trường hợp G có ựỉnh A có bậc 4 (hình a) với 4 cạnh AB, AD, AN, AP. Khi ựó T không thể kề với A mà kề 2 ựỉnh khác, P và N chẳng hạn và 2 ựỉnh còn lại là B và D phải kề nhau. đến ựây ta có thể chọn các cạnh BD, NT, PA là không kề nhau
Trường hợp G có 2 ựỉnh bậc 3, giả sử là A và P. Do G liên thông nên có ắt nhất một ựường ựi từ A tới P. Ta tạm bỏ ựường ựi ựó (vẫn giữ các ựỉnh A và P). Có thể xảy ra: G không còn liên thông . Như vậy ta còn hai chu trình cơ bản (còn gọi là sơ cấp) phân biệt, mỗi chu trình gồm 3 cạnh. Ta chọn cạnh AP và hai cạnh không kề với nó là TB và ND (hình b)
G vẫn liên thông. Khi ựó ta còn một chu trình sơ cấp (vì mỗi ựỉnh ựều có bậc 2). Ta có 3 ựường ựi từ A ựến P (một ựường ựã tạm bỏ, hai ựường theo chu trình), trong ựó ựường ngắn nhất có ựộ dài bằng 1 (hình c) hoặc ựộ dài bằng 2 (hình d: APT hoặc ADB)
Trên hình c trên chu trình cơ bản ựộ dài 6 luôn luôn chọn 3 cạnh kè nhau chẳng hạn AD, PT, BN.
Trên hình d chỉ việc chọn một cạnh thuộc ựường ựi ngắn nhất từ A ựến P và hai cạnh không kề với nó trên chu trình sơ cấp còn lại AD, TB, NB, hoặc DP, AT, NB.
Vậy trong mọi trường hợp ta ựều tìm ựược 3 cạnh ựôi một kề nhau.
Hình 13.14.a Hình
13.14.b
Hình 13.14.c Hình 13.14.d
Hình 13.14 Tuyển chọn biên dịch viên
Bài toán 23 Một tổ học sinh lớp 10 chuyên toán có 11 học sinh. Buổi họp ựầu tiên của tổ vào dịp ựầu năm học, bạn tổ trưởng ựã phát hiện ra ựiều thú vị rằng mỗi bạn trong tổ ựã quen ựúng 3 bạn khác. Ngay lập tức bạn A ựứng lên bác bỏ phát hiện ựó. Vậy trong hai bạn ý ai nói ựúng ? Vì sao ? Giải : N B P A T D A P T N D B D B T P N A T A P N B D
Giả sử bạn tổ trưởng nói ựúng. Khi ựó nếu cho tương ứng mỗi ựỉnh của ựồ thị là một bạn trong tổ và hai bạn quen nhau sẽ có 1 cạnh nối bởi 2 ựỉnh tương ứng. Dễ thấy bậc của ựỉnh là như nhau và bằng 3. Do ựó số cạnh của ựồ thị là 11x3/2. Phép chia này có thương không nguyên, bởi vậy phát hiện của tổ trưởng về số người quen của mỗi bạn trong tổ là không ựúng dẫn ựến bạn A nói ựúng.