Bài toán 7 Cho một tập n>3 ựiểm trong mặt phẳng, trong ựó không có 3 ựiểm nào thẳng hàng và một số tự nhiên k (k<n). CMR:
Nếu k ≤ n/2, thì từ mỗi ựiểm của tập hợp ựã cho có thể vẽ ựược các ựoạn thẳng nối với ắt nhất k ựiểm khác sao cho trong ựó không có 3 ựoạn nào tạo thành một tam giác
Nếu k>n/2 và mỗi ựiểm của tập hợp ựã cho ựược nối bẳng những ựoạn thẳng với k ựiểm khác, thì trong các ựoạn thẳng ựó bao giờ cũng có 3 cạnh của một tam giác
Giải:
Xét k ≤ n/2 , chọn trong tập X (chứa n ựiểm), một tập con A gồm [n/2] ựiểm. B=X/A chứa [n/2] ựiểm nếu n chẵn và chưa [n/2] + 1 nếu n lẻ.
Vì k nguyên nên k≤ [n/2], do ựó A, B chứa không ắt hơn k ựiểm, xây dựng ựồ thị 2 mảng: mỗi ựỉnh thuộc tập này kề mọi ựỉnh thuộc tập kia thì giả thiết phần a ựược thực hiện, tuy nhiên không có chu trình tam giác nào (ựồ thị 2 mảng thì 2 sắc nên không có chu trình với ựộ dài lẻ). Có thể phát biểu tổng quát hơn : không có ựa giác lẻ ựỉnh.
Xét k> n/2 và mỗi ựiểm trong X ựược nối với k ựiểm khác bởi các ựoạn thẳng. Giả sử (x, y) là một trong các ựoạn thẳng này. Theo giả thiết, x, y mỗi ựiểm ựược nối với k ựiểm nên ngoài (x, y) ra mỗi ựiểm x,y ựều ựược nối với k-1 ựiểm nữa, tổng cộng số ựoạn thẳng có ắt nhất một ựầu nút x hoặc y là 2k-1. Nhưng số ựiểm còn lại (khác x, y) là n-2; k>n/2 nên 2k-2> n-2. Suy ra trong 2k-1 ựoạn thắng nói trên có 2 ựoạn thẳng trùng ựầu mút z. Ta thu ựược một chu trình tam giác (x, y, z)
Tổng quát của bài toán:
Cho tập X có n>3 ựiểm, trong chúng không có 3 ựiểm nào thuộc một ựường thẳng và các số tự nhiên p,k thỏa mãn : 3 ≤ p< n; k < n.
Nếu k/n < (p-2)/ (p-1) thì mỗi ựiểm của X có thể ựược nối bằng các ựoạn thẳng ựến ắt nhất k ựiểm khác nhau của X, sao cho bất kỳ tập con Y (chứa p ựiểm ) nào của X, cũng có 2 ựiểm không ựược nối bẳng ựoạn thẳng.
b. Nếu k/m > (p-2)/ (p-1) và mỗi ựiểm của X ựược nối bởi các ựoạn thẳng với k ựiểm khác của X,thì có một tập con A chứa p ựiểm của X, sao cho 2 ựiểm bất kỳ trong chúng ựều ựược nối bẳng một ựoạn thẳng.
Bài toán 8 Trên mỗi ô của bảng vuông n x n (n>1)viết một chữ cái. Biết rằng tất cá các dòng của bảng ựều khác nhau. CMR trong ựó có một cột, mà sau khi xóa nó, bảng còn lại cũng không có dòng nào trùng nhau (về chữ viết và thứ tự viết)
Giải:
Nếu tồn tại một chỉ số i (1 ≤ i ≤ n ) mà không có 2 dòng nào chỉ khác nhau ở phần tử thứ i, thì sau khi xóa cột i ựi hai dòng nào cũng khác nhau ở một vị trắ nữa và khi ựó bài toán ựã giải xong.
Xét trường hợp: với mỗi i= 1,2,3Ầ..n bao giờ cũng tồn tại ắt nhất một cặp dòng chỉ khác nhau ở phần tử thứ i duy nhất (1).
Xây dựng ựồ thị như sau: Mỗi dòng của bảng là một ựỉnh của ựồ thị như vậy ựồ thị có n ựỉnh. Với mỗi chỉ số có thể có nhiều cặp dòng có tắnh chất (1), song ta chỉ chọn một cặp dòng có tắnh chất này làm cạnh của ựồ thị, như vậy, mỗi i cho ta một dòng, nên có tất cả n dòng. đồ thị này có n>2 ựỉnh và có ắt nhất n cạnh, nên có ắt nhất một chu trình. Ta ký hiệu chu trình này là (a, b, c, Ầ..e, f, a) trong ựó a,b, c, Ầ.e, f là các ựỉnh của ựồ thị ( là các dòng của bảng) . Với cách xây dựng ựồ thị trên ta có a kề b tứ là hai dòng a, b (và cũng chỉ có 2 dòng này, khác nhau phần tử thứ i). Các cặp dòng khác có giá trị trùng nhau
ở vị trắ thứ i , nghĩa là :b, c; c,d;Ầ.;e, f; f, a tại vì trắ thứ i trùng nhau, suy ra b,a trùng nhau tại vị trắ thứ i. điều này hoàn toàn vô lý, vì 2 dòng a, b vừa khác nhau, vừa trùng nhau tại vị trắ i. Từ ựây suy ra khẳng ựịnh của bài toán ựược chứng minh.