I. NGÔN NGữ Vị Từ BậC MộT
b. Giâ trị một công thức theo diễn giải
Cho một diễn giải I của một miền D cho một công thức G.
Nếu G lă một mệnh đề, khi đó, giâ trị gân cho G do định nghĩa của I được gọi lăgiâ trị của G theo I.
Nếu G lă một trực kiện mă không phải lă một mệnh đề, khi đó, với mỗi phĩp lựa chọn
Ccâc giâ trị trong D cho câc biến của G (nếu tồn tại), ta nhận được một giâ trịtruehay
falsetheo câch định nghĩa I. Giâ trị năy được gọi lăgiâ trị của G theo I đối với lựa chọn
Ccâc giâ trị của câc biến.
Chẳng hạn, trong công thức G3ở trín được diễn giải theo I3, nguyín tử T(f(X), a) nhận giâ trị T nếu X được gân phần tử 4 của D3, vă cũng nhận giâ trị T nếu X nhận một giâ trị khâc (giả sử 5) của D3.
Nếu G có dạng (X)G’, ta định nghĩa giâ trị của G theo I lă T (true) nếu giâ trị của G’ theo I cho mọi giâ trị của biến X (trong D) lă T, nếu không lă F (false). Chẳng hạn, giâ trị của G1 được diễn giải theo I lă F.
Nếu G có dạng (X)G’, ta định nghĩa giâ trị của G theo I lă T (true) nếu giâ trị của G’ theo I đối với ít nhất một giâ trị của biến X (trong D) lă T, nếu không lă F (false). Chẳng hạn, giâ trị của Q(X, Y) được diễn giải theo I2lă T khi gân 1 cho X vă 3 cho Y. Từ đó suy ra rằng giâ trị của (Y)Q(X, Y) theo I2, khi X nhận giâ trị 1, lă T. Ngược lại, giâ trị của G2theo I2lă F.
Nếu G có dạng (G’), người ta định nghĩa giâ trị của G’ theo I, khi giâ trị năy của G’ theo I được định nghĩa, căn cứ theo bảng sau :
Giâ trị của G’ theo I Giâ trị của (G’) theo I (giả sử G)
T F
F T
Nếu G có dạng (G’ G’’), hoặc (G’ G’’), hoặc (G’ G’’), hoặc (G’ G’’), người ta định nghĩa giâ trị của G theo I, khi câc giâ trị của G’ vă G’’ theo I được định nghĩa, căn cứ theo câc bảng chđn lý (truth table) tương ứng sau :
G’ G’’ (G’ G’’)
F F F
F T T
T F T
G’ G’’ (G’ G’’) F F T F T F T F F T T T G’ G’’ (G’ G’’) F F T F T T T F F T T T
Chẳng hạn, giâ trị của G3theo I3lă T.
Khi một công thức G lă T theo một diễn giải I, người ta nói rằng diễn giải I lă một mô hìnhcủa G.
Chú ý rằng giâ trị của một công thức theo một diễn giải đê cho được định nghĩa theo câch qua lại tương hỗ ngay khi tất cả câc biến được lượng tử hoâ.
I.2. Câc tính chất
I.2.1. Tính hợp thức / không hợp thức, tính nhất quân / không nhất quân
Một công thức được gọi lăhợp thức(valid) nếu vă chỉ nếu mọi diễn giải đều cho giâ trị T. Nếu không, nó được gọi lăkhông hợp thức(nonvalid).
Một công thức được gọi lă không nhất quân (inconsistent) nếu vă chỉ nếu với mọi diễn giải đều cho giâ trị F. Nếu không, nó được gọi lănhất quân(inconsistent).
Ví dụ:
Cho G1: (X) (P(X) (Q(X))) G2: (X) (P(X) (P(X)))
G3: ((X) (P(X)) ((Y) (P(Y)))
Công thức G1lă nhất quân vì diễn giải I’1sau đđy trả về cho nó giâ trị T : I’1 : D = {1} P(1) T Q(1) T
Tuy nhiín, nó lă không hợp thức vì diễn giải I’’1sau đđy trả về giâ trị F : I’’1 : D = {1} P(1) F Q(1) T
Công thức G2 lă hợp thức vì nếu không, giả sử I lă một diễn giải thuộc miền D lăm sai G2, khi đó tồn tại một giâ trị «a» của X, lấy trong D, sao cho (P(a) (P(a))) lă F, mă điều năy không thể xảy ra do câch định nghĩa câc phĩp vă. Như vậy, G2phải lă hợp thức.
Công thức G3lă không hợp thức vì nếu không, giả sử I lă một mô hình của G, I phải lăm thoả mên (Y) (P(Y)), khi đó tồn tại một giâ trị «a» trong D, sao cho P(a) có giâ trị F, nhưng (X) (P(X) không thể thoả mên trín D. Như vậy, G3phải lă không hợp thức.
Chú ý:
Một số tâc giả gọi câc công thức hợp thức lă câchằng đúng(tautology) vă câc công thức không nhất quân lă câcmđu thuẫn(contradiction).
Câch viết công thức có thể gđy nhầm lẫn. Chẳng hạn công thức : (X) (MAN(X) MORTAL(X)).
gợi ý rằng «tất cả mọi người đều chết» vă công thức lă hợp thức. Thực tế, công thức năy lă nhất quân, nhưng không hợp thức, vì giâ trị trả về của công thức phụ thuộc văo diễn giải theo biến X.
I.2.2. Tính không quyết định được vă tính nửa quyết định được
Khi một công thức không chứa câc biến, người ta có thể sử dụng câc bảng chđn lý để tiến hănh một số hữu hạn câc phĩp toân nhằm xâc định một công thức đó lă hợp thức hay không, có nhất quân hay không. Vấn đề trở nín vô cùng phức tạp khi câc công thức có chứa biến vă câc dấu lượng tử.
Người ta đê chỉ ra rằng trong logic vị từ bậc một, không thể tìm được một thuật toân tổng quât để quyết định xem với chỉ một số hữu hạn phĩp toân, một công thức bất kỳ năo đó đê cho có lă hợp thức hay không. Do vậy, người ta gọi logic vị từ bậc một lă không quyết định được (indecidability) (theo định lý về tính không quyết định được của A. Church xđy dựng năm 1936).
Tuy nhiín, người ta có thể xđy dựng câc thuật toân tổng quât để quyết định tính hợp thức của một số họ câc CTC. Đặc biệt, tồn tại câc thuật toân đảm bảo tính hợp thức ngay từ đầu khi ứng dụng mộtCTChợp thức năo đó, bằng câch dừng lại sau khi âp dụng một số hữu hạn (nhưng không bị chặn trín) câc phĩp toân để kết luận rằng công thức đê cho lă hợp thức. Một thuật toân như vậy khi âp dụng cho một công thức không hợp thức có thể không bao giờ dừng. Chính vì vậy mă người ta nói logic vị từ bậc một lă nửa quyết định được (half
decidability).
I.2.3. Công thức tương đương
HaiCTC G vă H được gọi lă tương đương nếu vă chỉ nếu chúng có cùng giâ trị (T hoặc F) cho mọi diễn giải. Người ta viết : với mọi diễn giải I, I(G) = I(H).
Ví dụ:
(P(a) Q(b)) vă ((P(a) Q(b)) lă tương đương. Có thể kiểm tra lại kết quả bằng bảng chđn lý.
Hình 2.1 dưới đđy lă danh sâch câc công thức tương đương với quy ước rằng :
G, H, K lă câcCTCbất kỳ,
G(X), H(X) lă câcCTCvới X lă biến tự do,
biểu diễn mộtCTChợp thức,
biểu diễn mộtCTCkhông nhất quân.
Công thức tương đương Được gọi lă
(G H) ((G) H) (G H) ((G H) (H G)) ((G)) G ((G H)) ((G) (H)) ((G H)) ((G) (H)) ((G (HK)) ((G H) (G K)) ((G (HK)) ((G H) (G K)) (G H) (H G) (G H) (H G) ((G H)K) (G (H K)) ((G H)K)) (G (H K)) Luật De Morgan Luật phđn phối Luật giao hoân
Luật kết hợp cho phĩp loại bỏ dấu ngoặc
Công thức tương đương Được gọi lă (G ) G (G ) (G ) (G ) G (G (G)) (G (G)) (X)(G(X)) (Y)(G(Y)) (X)(G(X)) (Y)(G(Y)) ((X)G(X)) (Y)(G(Y)) ((X)G(X)) (Y)(G(Y)) (X)(G(X) H(X)) ((X)G(X) (Y)H(Y)) (X)(G(X)) H(X)) ((X)G(X) (Y)H(Y))
Luật dùng chung câc biến
Hình 2..1 Bảng câc công thức tương đương
I.2.4. Hậu quả logic
Công thức G được gọi lăhậu quả logictừ câc công thức H1,..., Hnnếu vă chỉ nếu mọi mô hình của H1,..., Hnlă một mô hình của G.
Ví dụ:
P(a) lă hậu quả logic của (X) P(X)
(X) Q(X) lă hậu quả logic của (X) ((P(X)) Q(X)) vă (X) P(X) Dễ dăng chỉ ra rằng G lă hậu quả logic của H1,..., Hnnếu vă chỉ nếu :
((H1... Hn) G) lă hợp thức, hay nếu vă chỉ nếu (H1... Hn) (G)) lă không nhất quân.
I.3. Quan hệ giữa định lý vă hậu quả logic
Ta thấy rằng việc định nghĩa câc luật suy diễn, rồi đưa ra câc định lý vă chứng minh lă độc lập với câc khâi niệm diễn giải (đưa văo câc giâ trị true văfalse), tương đương vă hậu quả logic.
I.3.1. Nhóm câc luật suy diễn «đúng đắn» (sound)
Khi câc định lý, nhận được bằng câch âp dụng một nhóm câc luật suy diễn đê cho, lă hậu quả logic một câch hệ thống từ một tập hợp câc tiín đề bất kỳ năo đó, người ta nói rằng nhóm câc luật suy diễn năy lă đúng đắn.
Ví dụ, dễ dăng chỉ ra rằng câc luật suy diễn modus ponensvă chuyín dụngđê nói trước đđy lă đúng đắn.
I.3.2. Nhóm câc luật suy diễn «đầy đủ»
Một nhóm câc luật suy diễn đê cho lă đầy đủ đối với phĩp suy diễn (deduction complete) nếu với bất kỳ một tập hợp câc CTC, mọi hậu quả logic của chúng đều được dẫn đến từ chúng như những định lý, nghĩa lă bởi âp dụng một số hữu hạn lần câc luật suy diễn của nhóm.
Ví dụ, nhóm câc luật suy diễn chỉ được rút ra từ luậtmodus ponens sẽ không lă đầy đủ đối với phĩp suy diễn, (X) (G(X) H(X)) lă một CTC hậu quả logic của hai CTC (X) G(X) vă (X) H(X). Nhưng công thức đầu tiín chỉ có thể được suy diễn từ hai công thức năy bởimodus ponensmă thôi.
I.3.3. Vì sao cần «đúng đắn» hay «đầy đủ» ?
Trong hệ thống hợp giải căc băi toân, logic vị từ bậc một thường dùng để biểu diễn những khẳng định lă đúng hay sai trong những miền ứng dụng chuyín biệt. Người ta quan tđm đến phĩp suy diễn câcCTC.
Nếu ta lấy câc luật suy diễn trong những hệ thống năy, thì một câch tự nhiín, chúng phải tạo thănh nhóm «đúng đắn».
Rõ răng người ta mong muốn nhóm câc luật phải đầy đủ. Nghĩa lă mọi hậu quả logic của câc tiín đề phải lă một định lý vă do vậy phải được lăm rõ bởi dẫn xuất câc luật suy diễn. Tuy nhiín trong thực tế, không phải luôn luôn như vậy.
Sau đđy ta sẽ chỉ ra một luật suy diễn quan trọng lă phĩp hợp giải (principle of resolution), hay nói gọn lăhợp giải(resolution).