D H AN = 2S AN (1) I CM = 2 SCM (2)
ĐẶC BIỆT HOÁ ĐỂ CÓ BÀI TOÁN MỚ
Trong quá trình dạy học toán, việc tìm lời giải các bài toán không chỉ là mục đích mà còn là cơ sở để đề xuất các bài toán mới. Nếu ta biết khai thác bài toán vừa giải xong bằng cách đặc biệt hóa thì có thể thu được những bài toán thú vị khác.
Trong bài viết này tôi sẽ trình bày một vài bài toán có được từ một bài toán sau đây.
Bài toán 1 : Từ điểm P trên đường chéo AC của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng d lần lượt cắt các
tia AB, AD tại M và N.
Chứng minh : AB/AM + AD/AN = AC/AP .
Lời giải : (hình 1)
Từ B và D kẻ BB’ // MN, DD’ // MN (B’, D’ thuộc AC). Ta có : AB/AM = AB'/AP ; AD/AN = AD'/AP .
Do đó : AB/AM + AD/AN = (AB' + AD')/AP . Vì ΔBOB’ = ΔDOD’ (g.c.g) => B’O = D’O.
Nên : AB’ + AD’ = 2AO = AC => AB/AM + AD/AN = AC/AP .
* Trong bài toán 1 ta chú ý rằng AO là trung tuyến của ΔABD. Nếu P là trọng tâm của ΔABD thì AP = 1/3.AC . Từ đó ta có bài toán sau :
Bài toán 2 : Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của ΔABC lần lượt cắt các cạnh AB và AC tại M và N.
Chứng minh : AB/AM + AC/AN = 3 .
Lời giải : (hình 2)
AB/AM = AC/AN = 2AO/AG = 2.3/2.AG/AG = 3 . * Trong bài toán 2 nếu đường thẳng d cắt tia CB tại P thì : AC/CN + BC/CP = 3 và AB/BM - BC/BP = 3.
Từ đó ta có bài toán sau :
Bài toán 3 : Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của ΔABC cắt cạnh AB tại M, cạnh AC tại N và tia CB
tại P.
Chứng minh :
Lời giải : (hình 3)
áp dụng bài toán 2 ta có : AB/AM = AC/AN = 3 ; AC/CN + BC/CP = 3 . (1) Riêng vì MN cắt tia CB tại P nên tương tự cách chứng minh bài toán 2, ta có :
BA/BM = BA'/BG ; BC/BP = BC'/BG => BA/BM = BC/BP = 3 . (2) (dễ thấy BA’ - BC’ = 3BG). Từ (1) và (2) => : AB/AM + AC/AN + AC/CN + BC/CP + AB/BM - BC/BP = 9
=> : AB.(AM + MB)/(AM.MB) + AC.(AN + NC)/(AN.NC) - BC.(CP - BP)/(BP.PC) = 9 => : AB2/(AM.BM) + AC2/(AN.CN) - BC2/(BP.CP) = 9 (đpcm)
* Nếu ΔABC đều, cạnh a thì AB = AC = BC = a, ta đề xuất được bài toán :
Bài toán 4 : Đường thẳng d đi qua tâm O của tam giác đều ABC, cạnh a, cắt cạnh AB tại M, cạnh AC tại
N và tia CB tại P. Chứng minh :
Các bạn hãy giải bài toán 4 xem như bài tập. Trên đây là các bài tập định lượng, được khai thác từ bài toán 1 theo hướng đặc biệt hóa.
Bằng phương pháp tương tự mời bạn đọc hãy đề xuất các bài toán mới.