ở các kì thi cuối cấp THCS, các bạn hay gặp một số bài toán "có lời văn" mà các bạn có thể "đại số hoá" để giải quyết.
Muốn giải được bài toán loại này, các bạn cần nắm được:
+ Chọn ẩn cần tìm là đại lương chưa biết nào? (có thể đặt 2 ẩn !)
+ Từ yêu cầu của bài toán thiết lập phương trình (hoặc hệ phương trình nếu có nhiều phương trình !). + Giải phương trình (hoặc giải hệ phương trình).
+ Đối với các bài toán thực tế cần lưu ý sự có nghĩa có giá trị nghiệm tìm được.
Thí dụ 1: hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h
nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc mỗi người, biết rằng quãng đường AB dài 30 km.
giải: gọi x (km/h)là vận tốc của người đi chậm thì vận tốc của người kia là x + 3 (km/h),và x>0.
Thời gian từng người đi từ A đến B lần lượt là 30/x (h) và 30/(x + 3) (h). Do đó ta có phương trình:
30/x - 30/(x + 3) = 30/60
hay x 2 + 3x - 180 = 0 khi và chỉ khi x1 = 12, x2 = - 15. Vì x > 0 nên x1 = 12 (km/h) chấp nhận được. Do đó vận tốc của từng người là 12 km/h và 15 km/h.
Thí dụ 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng nếu
chiều dài tăng thêm 15 m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm đi 450 m2.
Giải: Gọi chiều dài thửa ruộng là x (m) và chiều rộng thửa ruộng là y (m) thì x > y > 0. Khi đó:
2(x + y) = 250 hay x + y = 125 (1) Diện tích thửa ruộng hiện tại là xy.
Diện tích thửa ruộng nếu thay đổi các chiều dài, chiều rộng như bài toán là (x + 15)(y - 15). Do đó ta có phương trình thứ hai:
xy - (x + 15)(y - 15) = 450 Đơn giản và rút gọn, ta được: x - y = 15 (2)
Do đó ta có hệ phương trình hai ẩn (1) và (2)
Giải hệ ta được x = 70 và y = 55 thoả mãn điều kiện x > y > 0. Vậy diện tích thửa ruộng là:
xy = 70.55 = 3850 (m2)
Thí dụ 3: Hai người làm chung một công việc thì hết 1 giờ 12 phút. Họ làm với nhau được 30 phút thì
một người phải đi làm việc khác, người còn lại phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao nhiêu thời gian?
Giải : Ta có 1h 12' = 6/5 h
Gọi x, y lần lượt là thời gian mà người thứ nhất (người chỉ làm 30') và người thứ hai làm một minh để xong toàn bộ công việc thì x, y > 6/5 (đơn vị của x, y là giờ).
Một giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc, người thứ hai làm được 1/y công việc, nên hai người làm chung thì được:
1/x + 1/y = 5/6 công việc (1).
Người thứ nhất thực làm 1/2.1/x = 1/(2x) công việc. Người thứ hai làm trong 30' + 45' = 75' = 5/4 h nên làm 5/4.1/y = 5/(4y) công việc. Khi đó, họ hoàn thành 75% công việc nên:
1/(2x) + 5/(4y) = 3/4 (2)
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được x = 18/7; y = 9/4 thoả mãn điều kiện x, y > 6/5 (có thể đặt 1/x = X ; 1/y = Y).
Vậy thời gian mà mỗi người làm một mình để xong công việc là: - Người thứ nhất cần: 18/7 h
- Người thứ hai cần: 9/4 h
Bài 1: Ba vòi nước A,B,C được đặt vào cùng một bể chứa. Để được đầy bể nước người ta thấy có các
cách sau đây :
1) Vòi A chảy 2h và vòi B chảy 2h30'. 2) Vòi A chảy 1h và vòi C chảy 4h. 3 Vòi B chảy 3h và vòi C chảy 2h.
Nếu chỉ sử dụng một vòi thì mỗi vòi phải chảy bao nhiêu lâu mới đầy bể? Đáp số : A chảy 3h ;B chảy 4h30'; C chảy 6h.
Bài 2:Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/4 chiều dài. Nếu bớt mỗi chiều đi 5m thì diện tích bị giảm
đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật lúc đầu. Đáp số: 50m và 75m.
Bài 3: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h20' có một ca nô chạy từ bến A đuổi theo và đuổi kịp
thuyền tại địa điểm B cách bến A là 20 km. Biết rằng vận tốc ca nô hơn vận tốc thuyền là 12 km/h. Tính vận tốc của thuyền.