Trong tự học nhiều khi giúp tìm đến những điều thú vị trong toán học. Bài viết này xin được trao đổi cùng bạn đọc về một bài toán mà trong việc tự học toán tôi đã tìm đến những bài toán mới, bài toán tổng quát.
Bài toán 1 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
1/(a + b + c) + 1/(a - b + c) + 1/(- a + b + c) ≥ 1/a + 1/b + 1/c
(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TP Hồ Chí Minh, 1992-1993)
Hướng dẫn
Bài toán phụ : Cho x, y > 0. Chứng minh rằng : 1/x + 1/y ≥4/(x + y) Lời giải : Vận dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên:
a + b > c ; a + c > b ; b + c > a ; a + b - c > 0 ; a - b + c > 0 ; - a + b + c > 0. Vận dụng bài toán phụ trên ta có:
1/(a + b - c) + 1/(a - b + c) ≥ 4/(a + b - c + a - b + c ) = 4/(2a) = 2/a (1) Chứng minh tương tự ta cũng có:
1/(a + b - c) + 1/(- a + b + c) ≥ 2/b (2) 1/(a - b + c) + 1/(- a + b + c) ≥ 2/c (3) Từ (1), (2), (3) ta có điều cần chứng minh.
Bài toán phụ giúp ta nhận ra rằng nếu n thuộc N thì:
Từ đó ta đến với bài toán mới, bài toán tổng quát của bài toán 1.
Bài toán 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
với mọi n thuộc N.
Vẫn chưa vừa lòng với kết quả nhận được tôi thử tìm cách thay đổi tử của các phân thức ở vế trái của bất đẳng thức ở bài toán 1 và nhận được bài toán mới.
Bài toán 3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
c/(a + b - c) + b/(a - b + c) + a/(- a + b + c) ≥ 3
(Đề kiểm tra đội tuyển toán 9, quận Tân Bình, TP Hồ Chí Minh 2000-2001) Hướng dẫn :
Đặt - a + b + c = x, a - b + c = y, a + b - c = z
Ta có a = (y + z)/2 ; b = (x + z)/2 ; c = (x + y)/2 . Do đó:
c/(a + b - c) + b/(a - b + c) + a/(- a + b + c) = (x + y)/(2z) + (x + z)/(2y) = (y + z)/(2x) = 1/2[(x/y + y/x) + y/z + z/y) + x/z + z/x)] ≥ 1/2.(2 + 2 + 2) = 3
Suy nghĩ ... và suy nghĩ giúp tôi tìm và giải được bài toán 4, bài toán tổng quát của bài toán 1 và bài toán 3.
Bài toán 4 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
với mọi n thuộc N. Hướng dẫn :
Với n = 0 ta có bài toán 1, và với n = 1 ta có bài toán 3.
Xét n ≥ 2 ta có: (an - 2 - bn - 2)(a - b) ≥ 0 => an - 1 + bn - 1 ≥ an - 2b + abn - 2 (1) Tương tự bn - 1 + cn - 1 ≥ bn - 2c + bcn - 2 (2) ;
cn - 1 + an - 1 ≥ an - 2c + acn - 2 (3)
Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
Từ (1), (2), (3), (4), (5) và (6) ta có:
Bài toán 1, chắc chắn còn nhiều điều thú vị nữa nếu chúng ta tiếp tục khai thác tìm tòi.