Xét bài toán
min
x∈H F(x) (2.23) trong không gian Hilbert thực H, với F là hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới yếu trên H có dạng
F(x) = 1
ở đây A là một toán tử tuyến tính hoàn toàn liên tục, tự liên hợp xác định không âm trênH. VìF0(x) = Ax, nênx0 là nghiệm của bài toán (2.23) khi và chỉ khi x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (2.1) với f ≡ θ ∈ H. Từ Bổ đề 2.1.1 ta có A : H →H là một toán tử ngược đơn điệu mạnh. Hơn nữa A khả vi Fréchet với đạo hàm Fréchet là A. Điều kiện ii) của Định lý 2.1.2 trở thành
A(x0)∗z = x0, (x∗ = θ).
áp dụng kết quả trên chúng ta giải bài toán tìmx0 ∈ RM thỏa mãn
hA(x0), x−x0i ≥ 0, ∀x ∈ RM,
trong đó A= BTB là ma trận vuông cấp M với ma trận được xác định bởi
B = (bij)Mi,j=1, b1j = sin(2009), j = 1, ..., M, b2j = 1 2009sin(2009), j = 1, .., M, bij = 1 i+jsin(i)cos(j), i = 3, ..., M, j = 1, ..., M, M > 3. Ah = Ih+A là xấp xỉ của A, trong đó I là ma trận đơn vị cấp M.
Với toán tử A được cho như trên, x0 = (0,0, ...,0)T ∈ RM là nghiệm của bài toán (2.23) có chuẩn nhỏ nhất. Bây giờ áp dụng Định lý 2.1.2 với tham số α được chọn bởiα ∼ (h+δ)2/3, h = δ = 1
M2 để nhận được đánh giá rτα,M = kxτα,M −x0k.
Sử dụng phương pháp hiệu chỉnh lặp tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán (2.16) như sau (xem [4]): cho trước z0 ∈ H, dãy {zm} được xác định bởi sơ đồ lặp zm+1 = zm−βm A(zm) +αm(zm −x∗) , (2.24)
ở đây x∗ là phần tử trong không gian Hilbert H, {αm} và {βm}là các dãy số dương, với tiêu chuẩn dừng của dãy lặp là
max
1≤j≤M|x(jm)−x(jm−1)| ≤10−5,
ở đây m là số lần lặp.
Bảng 2.1 được tính toán với αm = (1 +m)−1/4 và βm = (1 +m)−1/2. M α rα,Mτ 4 0.25 0.00043035 8 0.099213 0.00029142 16 0.039373 0.00025093 32 0.015625 0.00022259 64 0.0062008 0.00018165 Bảng 2.1
Bảng 2.2 được tính toán với αm = (1 +m)−1/8 và βm = (1 +m)−1/2. M α rα,Mτ 4 0.25 0.00019561 8 0.099213 0.00011663 16 0.039373 0.00009597 32 0.015625 0.000087559 64 0.0062008 0.000073737 Bảng 2.2
kết luận
Đề tài đã nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đặt không chỉnh với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực. Đồng thời xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều cho bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh (2.4), thiết lập được sự hội tụ của dãy nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều tới nghiệm chính xác của bài toán ban đầu và đánh giá được tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều. Cuối cùng chúng tôi đưa ra một ví dụ và kết quả số minh họa cho tốc độ hội tụ của phương pháp nghiên cứu.
Với những ứng dụng quan trọng trong thực tế, những vấn đề được trình bày trong đề tài hiện đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đi sâu nghiên cứu.
Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kỳ Anh và Nguyễn Bường, Bài toán không chỉnh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005.
[2] Hoàng Tụy, Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003.
[3] Y. Alber and I. Ryazantseva, Nonlinear ill-posed problems of monotone type, Springer, 2006.
[4] A. B. Bakushinskii and A. G. Goncharskii, Ill-Posed Problems: The- ory and Applications, Kluwer Academic Publishers Dordrecht, Boston, London, 1994.
[5] V. Barbu, Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden The Netherlands, 1976.
[6] I. Ekeland and R. Temam, Convex analysis and Variational problems, Amstedam: North Holland, 1976.
[7] M. Hanke, A. Neubauer and O. Scherzer, A convergence analysis of the Landweber iteration for nonlinear ill-posed problems, Numerische Math- ematik, 72, pp. 21-37, 1995.
[8] D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An introduction to Variational In- equalities and Their Applications, Academic Press, 1980. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[9] F. Liu and M. Z. Nashed, Regularization of nonlinear ill-posed vari- ational inequalities and convergence rates, Set-Valued Analysis, 6, pp. 313-344, 1998.
[10] I. P. Ryazantseva, On solving variational inequalities with monotone operators method of regularization, Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz. 23, 479- 483, 1983.
[11] Ng. T. T. Thuy, Ng. T. Mai and D. T. Huong, Convergence rates in regulaiation for monotone variational inequalities, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 50(2), pp. 58-61, 2009.
[12] Ng. T. T. Thuy, Ng. T. Thang and L. T. T. Thuy, Finite-dimensional approximation for ill-posed variational inequalities, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Thái Nguyên, 53(5), pp. 51-55, 2009.